岳玉芳（北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京100088）

0 引 言

為消除目標(biāo)運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)及載機(jī)平臺(tái)對(duì)目標(biāo)跟蹤的影響，在光電經(jīng)緯儀、地面圖像跟蹤裝置、艦載光電瞄準(zhǔn)裝置、導(dǎo)彈導(dǎo)引頭等光電跟蹤系統(tǒng)中，普遍采用光電跟蹤傳感器（包括可見光電視、紅外電視等）設(shè)計(jì)跟蹤隨動(dòng)系統(tǒng)［1－2］。然而，一方面，光電跟蹤傳感器在有限的時(shí)間內(nèi)必須接收足夠的光子數(shù)才能達(dá)到一定的光電轉(zhuǎn)換能力；另一方面，為精確跟蹤快速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，對(duì)傳感器采集到的圖像往往需要應(yīng)用各種計(jì)算量大的信號(hào)處理方式，例如多尺度方法、小波算法等，借以準(zhǔn)確得到目標(biāo)特征點(diǎn)。這兩個(gè)方面的情況使得目前的數(shù)字信號(hào)處理器 （DSP）、大規(guī)?，F(xiàn)場可編程器件 （FPGA）等硬件的處理能力難以滿足要求，導(dǎo)致了可觀的探測器信號(hào)處理延遲［1－2］。這種純延遲對(duì)各個(gè)頻段的輸入信號(hào)均帶來了非常不利的影響，容易引起系統(tǒng)的超調(diào)和振蕩，限制了帶寬的提高，制約了系統(tǒng)的快速性。如何克服電視純延遲現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)跟蹤性能的影響，如何在控制器設(shè)計(jì)中補(bǔ)償電視純延遲環(huán)節(jié)的作用一直是國內(nèi)外光電跟蹤系統(tǒng)研究的熱點(diǎn)問題。學(xué)者研究了應(yīng)用Kalman濾波器和目標(biāo)位置／速度信號(hào)的順饋閉環(huán)跟蹤［3］，進(jìn)行坐標(biāo)變換的導(dǎo)引頭隨動(dòng)系統(tǒng)跟蹤［4］，將Kalman濾波器用于接收機(jī)角誤差、天線座角度、測速機(jī)速度的信號(hào)處理系統(tǒng)［5］等。這些算法都是在特定的工作環(huán)境下，采用預(yù)測器抵消延遲時(shí)間。

本文從延遲環(huán)節(jié)線性化、經(jīng)典的PI控制器設(shè)計(jì)開始，討論考慮延遲環(huán)節(jié)的PI控制器算法設(shè)計(jì)方法以及一種新型的Kalman濾波器設(shè)計(jì)方法，該Kalman濾波器使用了Kalman狀態(tài)方程一步遞推和對(duì)應(yīng)延遲時(shí)間的多步預(yù)測，以及通過位置預(yù)測信號(hào)差分得到速度預(yù)測信號(hào)，用于速度前饋控制，與使用Kalman濾波器的某個(gè)輸出項(xiàng)作為速度預(yù)測信號(hào)用于速度前饋控制的方法有所不同。通過Bode圖比較和Matlab環(huán)境下運(yùn)行的仿真實(shí)例，充分說明這種新型Kalman控制器設(shè)計(jì)方法相對(duì)于考慮延遲環(huán)節(jié)的PI控制器設(shè)計(jì)方法更為優(yōu)越，系統(tǒng)帶寬提高，跟蹤性能顯著改善。新型Kal－man控制器設(shè)計(jì)方法與文獻(xiàn) ［3］中Kalman濾波控制器設(shè)計(jì)方法得到的仿真結(jié)果也基本相當(dāng)。

1 問題的提出

電視純延遲相當(dāng)于在原有系統(tǒng)中增加了非線性環(huán)節(jié)——延遲環(huán)節(jié) （e－τs）。它對(duì)系統(tǒng)的幅頻特性沒有影響，只對(duì)系統(tǒng)相頻特性產(chǎn)生影響，而且相頻特性中隨著頻率提高，延遲對(duì)相位的影響增大。例如圖1為實(shí)測與擬合對(duì)象的Bode圖［6］，兩者的差異是由做頻響測試時(shí)，采樣頻率僅為1kHz，以及采樣保持器 ［（1－e－τs）／s］與模數(shù)／數(shù)模轉(zhuǎn)換、計(jì)算延遲 （e－τs）給實(shí)測對(duì)象引入了附加的相位延遲所致［6］。

圖1 純延遲50ms的Pade近似

圖1 表明，對(duì)電視純延遲來說，若系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶寬要求較高，則延遲作用對(duì)系統(tǒng)性能的影響較大。為方便使用線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法進(jìn)行仿真，需要對(duì)延遲環(huán)節(jié)進(jìn)行線性化模型逼近。本文采用PADE近似進(jìn)行線性逼近，逼近的效果與所選擇的PADE階次有關(guān)。隨著PADE階次的提高，線性模型對(duì)延遲環(huán)節(jié)的近似程度提高，如圖2所示。在離散控制系統(tǒng)中，延遲時(shí)間通常以采樣時(shí)間的整數(shù)倍表示，光電跟蹤自動(dòng)使用最近得到的電視脫靶量，延遲環(huán)節(jié)延遲時(shí)間到來前的增益作用總是為1，故純延遲環(huán)節(jié)的相頻特性逼近是仿真中需要重點(diǎn)考慮的，仿真系統(tǒng)允許放寬對(duì)純延遲環(huán)節(jié)幅頻特性逼近程度的要求。若系統(tǒng)帶寬要求在8Hz以內(nèi)，進(jìn)行2階PADE近似基本可以滿足仿真精度要求，若系統(tǒng)帶寬要求在40Hz以內(nèi)，8階近似基本可以滿足精度要求。

2 考慮延遲的目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)PI控制器設(shè)計(jì)

2.1 控制對(duì)象模型和跟蹤控制結(jié)構(gòu)

在某轉(zhuǎn)臺(tái)跟蹤系統(tǒng)中，控制對(duì)象為直流電機(jī)、轉(zhuǎn)臺(tái)負(fù)載結(jié)構(gòu)，采用圖3所示的速度環(huán)、位置環(huán)構(gòu)成的多環(huán)路結(jié)構(gòu)控制直流力矩電機(jī)［7－9］。轉(zhuǎn)臺(tái)跟蹤系統(tǒng)在方位、俯仰方向的控制對(duì)象、機(jī)械諧振頻率均不相同，不失一般性，本文以式 （1）方位方向的線性化模型為控制對(duì)象傳遞函數(shù)，進(jìn)行光電跟蹤系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

2.2 考慮延遲環(huán)節(jié)的PI控制器

對(duì)于直流電動(dòng)機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)裝置最有效的控制方案，就是有一個(gè)電流內(nèi)環(huán)再套上轉(zhuǎn)速控制外環(huán)，再加上一個(gè)位置環(huán)來進(jìn)行位置控制。這種多環(huán)路的結(jié)構(gòu)多年來己在無數(shù)的應(yīng)用中被證明是有效的。速度回路的頻帶寬度寬于位置環(huán)路的頻帶寬度，即速度環(huán)路的響應(yīng)速度快于位置環(huán)路的響應(yīng)速度。系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，首先設(shè)計(jì)出速度環(huán)路使能夠迅速抑制作用在系統(tǒng)上的干擾。然后把速度回路作為位置回路的一個(gè)環(huán)節(jié)，來設(shè)計(jì)位置回路，用來確保跟蹤精度。

在多環(huán)路系統(tǒng)中，對(duì)速度環(huán)，被控對(duì)象GP（s）的傳遞函數(shù)就是式 （1）的Gm（s），對(duì)位置環(huán)，被控對(duì)象GP（s）的傳遞函數(shù)是速度環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

設(shè)Gc（s）為控制器傳遞函數(shù)，表達(dá)式為

為使校正后系統(tǒng)的nyquist曲線在開環(huán)截止頻率ω＝ωGc處通過1∠ （―180°＋PM），即在ω＝ωGc處能夠?qū)崿F(xiàn)要求的相角裕度PM，根據(jù)控制理論［10－11］可知

當(dāng)控制器為PI控制器時(shí)，KD＝0。此時(shí)，已知開環(huán)截止頻率ωGc和相位裕度PM，可以應(yīng)用式 （2）、式 （3）設(shè)計(jì)PI控制器。

光電傳感器的電視延遲發(fā)生在位置環(huán)，因此設(shè)計(jì)速度環(huán)的PI控制器時(shí)不考慮延遲的影響，設(shè)計(jì)出速度PI控制器，得到速度閉環(huán)傳遞函數(shù)，作為位置環(huán)的被控對(duì)象傳遞函數(shù)。

同時(shí)，事先假設(shè)電視延遲時(shí)間已經(jīng)通過最小二乘方法辨識(shí)出來，為已知參數(shù)。不管延遲時(shí)間的長短，都希望通過PI控制器相應(yīng)于延遲時(shí)間的不同設(shè)計(jì)，使得系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性為理想開環(huán)幅頻特性，其相位裕度在中頻段頻率為處取得最大值［10］。

本文提出如下步驟，作為考慮延遲環(huán)節(jié)的PI控制器設(shè)計(jì)方法：

（1）首先設(shè)延遲時(shí)間為0，在仿真系統(tǒng)中設(shè)計(jì)位置PI控制器，得到系統(tǒng)位置環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)特性，例如圖4所示，其剪切頻率處系統(tǒng)相位為－100°，即相位裕度為80°。

（2）純延遲環(huán)節(jié)只影響系統(tǒng)相位，設(shè)延遲時(shí)間τ已經(jīng)通過采集頻響儀實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和應(yīng)用最小二乘辨識(shí)方法得到，為已知參數(shù)。希望系統(tǒng)在有延遲作用下仍有45°的相位裕量，則純延遲環(huán)節(jié)的相位在開環(huán)截止頻率fc處應(yīng)滿足

根據(jù)式 （4），可以求出新的開環(huán)截止頻率fc，重新設(shè)計(jì)位置PI控制器。

圖4 延遲時(shí)間為0時(shí)的位置環(huán)開環(huán)特性

（3）根據(jù)延遲時(shí)間和新的位置PI控制器，得到系統(tǒng)閉環(huán)特性，驗(yàn)證系統(tǒng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)特性。

對(duì)圖3的直流電動(dòng)機(jī)方位方向伺服跟蹤系統(tǒng)而言，應(yīng)用PI控制器設(shè)計(jì)其速度環(huán)，再使用考慮延遲環(huán)節(jié)的PI控制器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)位置環(huán)，依據(jù)不同的延遲時(shí)間τ可以設(shè)計(jì)出各種位置控制器，得到直流電動(dòng)機(jī)方位方向伺服跟蹤系統(tǒng)閉環(huán)特性，當(dāng)延遲時(shí)間為20ms、40ms、60ms、80ms、100ms時(shí)得到的系統(tǒng)閉環(huán)特性如圖5所示，大于100ms的位置環(huán)閉環(huán)特性為不穩(wěn)定的。

圖5 各種延遲時(shí)間下位置環(huán)閉環(huán)特性

3 應(yīng)用Kalman預(yù)測濾波補(bǔ)償延遲作用的控制器設(shè)計(jì)

對(duì)考慮延遲環(huán)節(jié)的控制器設(shè)計(jì)而言，采用預(yù)測器進(jìn)行前饋控制是一種有效方法［12－13］。這是因?yàn)椋孩偾梆伩刂票旧砜梢暂^好的解決一般系統(tǒng)普遍存在的精度和穩(wěn)定性之間的矛盾，很容易將跟蹤精度提高幾倍甚至幾十倍，但又不影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；②使用預(yù)測器可以預(yù)測未來時(shí)間段的信號(hào)，因而可以抵消延遲環(huán)節(jié)的時(shí)間純延遲的影響。

在 “被動(dòng)”跟蹤目標(biāo)的光電跟蹤系統(tǒng)中，設(shè)計(jì)前饋控制器的前提是依據(jù)當(dāng)前各種編碼器、測速儀等位置、速度傳感器測量值以及由電視傳感器、圖像處理方法得到的幾個(gè) “延遲”時(shí)刻前的脫靶量測量值，應(yīng)用各種預(yù)測器方法，例如自適應(yīng)濾波器、Kalman濾波器等，準(zhǔn)確地估計(jì) “當(dāng)前”的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)角度、速度、加速度狀態(tài)值。在此基礎(chǔ)上，將這種 “當(dāng)前”的估計(jì)值作為跟蹤系統(tǒng)位置前饋控制和速度前饋控制的輸入信號(hào)。

Kalman濾波器［14－15］作為一個(gè)線性遞歸濾波器，基于系統(tǒng)以前的狀態(tài)序列對(duì)當(dāng)前狀態(tài)做最優(yōu)估計(jì)，具有無偏、穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)。在光電跟蹤系統(tǒng)中，Kalman預(yù)測濾波廣泛用于實(shí)現(xiàn)前饋控制和對(duì)延遲時(shí)間進(jìn)行補(bǔ)償，是提高隨動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種優(yōu)良方法。

光電跟蹤系統(tǒng)－目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的視線角運(yùn)動(dòng)包括方位、俯仰兩個(gè)方向的數(shù)學(xué)模型。目前，有兩種建立Kalman狀態(tài)模型的方法，一種是在笛卡爾坐標(biāo)下建立目標(biāo)在三維空間中的運(yùn)動(dòng)方程，經(jīng)過空間坐標(biāo)到以跟蹤系統(tǒng)為中心的極坐標(biāo)的非線性轉(zhuǎn)換，得到視線角的模型；另一種是將視線角運(yùn)動(dòng)看作是線性運(yùn)動(dòng)，非線性部分看作是噪聲，得到視線角模型。前一種方法的方位、俯仰方向的模型是相互關(guān)聯(lián)的，后一種方法的方位、俯仰方向模型是相互獨(dú)立的。

本文采用后一種方法，目標(biāo)相對(duì)光電跟蹤系統(tǒng)的視線角運(yùn)動(dòng)是非線性，在Kalman濾波器中設(shè)計(jì)中采用疊加噪聲的牛頓定律模型進(jìn)行逼近；將方位、俯仰方向的跟蹤過程分開，設(shè)計(jì)兩個(gè)相互獨(dú)立的Kalman濾波器，將二維濾波預(yù)測降為一維濾波預(yù)測。以方位方向?yàn)槔?，設(shè)Xk表示Kalman預(yù)測器的狀態(tài)向量

狀態(tài)x1（k）表示目標(biāo)的角位移，狀態(tài)x2（k）表示目標(biāo)的角速度，狀態(tài)x3（k）表示目標(biāo)中心的角加速度，狀態(tài)x4（k）表示目標(biāo)中心的角加速度變化率，也稱為 “角加加速度”，它與角加速度之間的關(guān)系類似于角加速度與速度之間的關(guān)系。

根據(jù)牛頓定律，設(shè)光電傳感器采樣時(shí)間為τ，跟蹤目標(biāo)的離散狀態(tài)方程和測量方程為如下形式

式中：Yk——系統(tǒng)的m維觀測序列，Wk－1——p維系統(tǒng)過程噪聲序列，Vk——m維觀測噪聲序列，Φk，k－1——系統(tǒng)的n×n維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Tk，k－1——n×p維噪聲輸入矩陣，Hk——m×n維觀測矩陣

對(duì)系統(tǒng)過程噪聲和觀測噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，假定過程噪聲與觀測噪聲為互不相關(guān)的滿足高斯分布的白噪聲

則隨機(jī)線性離散系統(tǒng)基本Kalman一步預(yù)測濾波方程為

狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣記為P，只要給定初值X0、P0，根據(jù)k時(shí)刻的觀測值Yk，就可遞推計(jì)算得k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)Xk（k＝1，2，…）。

本文采用新型的Kalman濾波預(yù)測方法：將相應(yīng)時(shí)刻的目標(biāo)位置信號(hào)同電視傳感器信號(hào)疊加，得到有一定延遲時(shí)間的目標(biāo)信號(hào)，然后將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ設(shè)為Φk，k－1，實(shí)現(xiàn)從 （k－1）到k步的一步預(yù)測，得到Kalman一步濾波之后的信號(hào)，即延遲時(shí)間 （mτ）前時(shí)刻輸入信號(hào)的狀態(tài)平滑估計(jì)向量，再應(yīng)用該向量預(yù)測 （mτ）步的信號(hào)，得到當(dāng)前時(shí)刻輸入信號(hào)的狀態(tài)量。

在文獻(xiàn) ［3］中，將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ設(shè)為Φk，k－m，利用Φk，k－m進(jìn)行Kalman的 （mτ）步預(yù)測，預(yù)測出當(dāng)前的目標(biāo)信號(hào)，實(shí)現(xiàn)對(duì)跟蹤傳感器信號(hào)的延遲時(shí)間的補(bǔ)償。

本文的新型Kalman濾波預(yù)測方法與以往文獻(xiàn)中Kalman濾波器用于補(bǔ)償延遲時(shí)間的方法的區(qū)別在于：前者使用Φk，k－1進(jìn)行Kalman遞推，然后預(yù)測 （mτ）步，后者直接使用Φk，k－m進(jìn)行Kalman遞推，得到預(yù)測狀態(tài)。

此外，兩者的區(qū)別還有：新型Kalman濾波器控制器對(duì)Kalman濾波器的 “角位移”輸出進(jìn)行差分，作為前饋控制的 “角速度”輸入?yún)?shù)，即：通過目標(biāo)位置預(yù)測信號(hào)得到速度預(yù)測信號(hào)，如圖6所示 （圖中虛線框內(nèi)為新型Kalman濾波器）。

對(duì)圖3的直流電動(dòng)機(jī)方位方向伺服跟蹤系統(tǒng)，光電傳感器采樣時(shí)間為0.02s，在某次仿真中，設(shè)置濾波器狀態(tài)初值X0為零向量，狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣初值P0和噪聲協(xié)方差矩陣Q參數(shù)值為

此時(shí)，當(dāng)延遲時(shí)間為 20ms、40ms、60ms、80ms、100ms時(shí)，直流電動(dòng)機(jī)方位方向伺服跟蹤系統(tǒng)閉環(huán)特性如圖7所示。

將圖7與圖5比較可知：采用Kalman濾波控制器提高了系統(tǒng)閉環(huán)帶寬。

圖6 Kalman位置預(yù)測濾波及前饋控制設(shè)計(jì)

圖7 Kalman位置預(yù)測濾波及前饋控制設(shè)計(jì)

在實(shí)踐中，還應(yīng)用了文獻(xiàn) ［3］的Kalman濾波控制器設(shè)計(jì)方法，實(shí)踐表明：相對(duì)文獻(xiàn)的Kalman濾波控制器設(shè)計(jì)方法，新型Kalman濾波控制器設(shè)計(jì)方法由于采用了Kalman一步遞推與多步預(yù)測相結(jié)合、由目標(biāo)位置預(yù)測信號(hào)得到速度預(yù)測信號(hào)兩項(xiàng)措施，使得濾波器對(duì)初值X0、P0和Q的參數(shù)值不敏感，依賴性不強(qiáng)。

4 仿真實(shí)例

為方便與類似方法進(jìn)行比較，采用與文獻(xiàn) ［3］中仿真實(shí)例相同的輸入信號(hào)：設(shè)目標(biāo)角運(yùn)動(dòng)為三角函數(shù)，r（t）＝1800’sin（t）＋50’cos（5t），采樣頻率0.02s，設(shè)延遲時(shí)間為80ms。直接用脫靶量閉合時(shí)控制系統(tǒng)發(fā)散。采用PI控制器，得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 （均方根值）為112.4’，誤差曲線如圖8（a）所示，采用新型Kalman控制器，得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0.247’，誤差曲線如圖6（b）所示，其中新型Kalman濾波器的位置預(yù)測誤差為0.095’，誤差曲線如圖6（c）所示，速度預(yù)測誤差為14.9’／s，誤差曲線如圖6 （d）所示。文獻(xiàn) ［3］采用Kalman預(yù)測濾波器外推4幀的信號(hào)作為引導(dǎo)信號(hào)，其跟蹤誤差的最大值為1.3’；Kalman外推的目標(biāo)位置預(yù)測誤差為0.63’，速度預(yù)測誤差為16.7’／s。由于本文的光電跟蹤控制系統(tǒng)控制對(duì)象較為理想，與文獻(xiàn)［3］的結(jié)果不能直接比較，但可以看出采用新型Kalman濾波控制器通過目標(biāo)位置預(yù)測信號(hào)得到速度預(yù)測信號(hào)的方法是可行的。

5 結(jié)束語

采用Matlab／Simulink線性PADE逼近分析隨動(dòng)系統(tǒng)中光電成像傳感器純延遲。在Simulink中研究了兩種控制器的設(shè)計(jì)方法：考慮延遲環(huán)節(jié)的PI控制器和新型Kalman控制器。通過Bode圖比較和仿真實(shí)例可知：新型Kalman濾波控制器用于傳感器純延遲補(bǔ)償具有優(yōu)良性能，能夠顯著提高系統(tǒng)帶寬，得到較高的跟蹤精度。新型Kalman濾波控制器使用Kalman一步遞推和多步預(yù)測以及由目標(biāo)位置預(yù)測信號(hào)得到速度預(yù)測信號(hào)的方法是可行的。

圖8 跟蹤誤差、Kalman預(yù)測誤差曲線

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