魏彬，李建華，鄧四二

(1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039)

作為轉(zhuǎn)子的重要支承部件，滾動軸承的動態(tài)特性直接影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)性能。國、內(nèi)外學者在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究方面做了大量研究工作。文獻[1-2]研究了滾動軸承支承的平衡轉(zhuǎn)子和不平衡轉(zhuǎn)子的動力學行為，并給出了軸承徑向游隙對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學行為的影響規(guī)律。文獻[3-4]從軸承的游隙、波紋度及不平衡力等因素對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學進行研究，指出軸承的變剛度頻率特性對系統(tǒng)動力學特性有著顯著的影響，當軸承變剛度頻率與轉(zhuǎn)子固有頻率相等或外圈波紋度階數(shù)與滾動體數(shù)目相等時都會引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的共振。文獻[5]分析了轉(zhuǎn)速和軸承游隙對不平衡彈性轉(zhuǎn)子動力學響應的影響。文獻[6]基于ADAMS研究了變載荷作用下計入軸承游隙時彈性轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)的動力學問題，結(jié)果表明：轉(zhuǎn)子的彈性和軸承游隙對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學特性影響很大。上述研究均是基于將支承軸承簡化為彈簧和阻尼的滾動軸承-轉(zhuǎn)子動力學研究，沒有考慮滾動軸承動力學特性和轉(zhuǎn)子動力學特性的耦合問題。鑒于此，文中在滾動軸承動力學[7]和轉(zhuǎn)子動力學[8]基礎(chǔ)上，建立滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學微分方程，采用Newmark-β積分法和Newton- Raphson迭代法對軸承-轉(zhuǎn)子非線性動力學微分方程進行求解，就軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)和工況參數(shù)與軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學特性關(guān)系進行理論分析。

1 動力學分析模型

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡圖如圖1所示。支承軸承B1，B2為角接觸球軸承，外圈固定不動，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，內(nèi)圈與轉(zhuǎn)子緊配合。軸承承受的預緊力為Fa；轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承受徑向載荷Fr作用，其作用點在轉(zhuǎn)子質(zhì)心位置。系統(tǒng)坐標系坐標原點位于轉(zhuǎn)子質(zhì)心，x向為軸向，y向為垂直方向，z向為水平方向。

圖1 軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖

1.1 軸承動力學模型

角接觸球軸承在使用時為了提高其支承剛度，一般對其進行軸向預緊。角接觸球軸承在軸向預緊力Fa作用下，鋼球與溝道間的接觸角變化示意圖如圖2所示。預緊力與接觸角的關(guān)系為

(1)

式中：α0為軸承原始接觸角；α為預緊后的軸承接觸角；Kn為載荷-變形常數(shù)；Z為鋼球個數(shù)；BDw為內(nèi)、外溝曲率中心的原始距離。

圖2 預緊力作用下軸承接觸角變化示意圖

預緊后鋼球和軸承內(nèi)、外圈間的接觸變形與接觸角之間的關(guān)系為

δ=BDw(cosα0/cosα-1) ，

(2)

聯(lián)立 (1)和(2)式即可求得在預緊力作用下軸承的接觸角。

角接觸球軸承所受載荷為通過轉(zhuǎn)子作用于內(nèi)圈上的外力，即軸承對轉(zhuǎn)子支承力{Fx,Fy,Fz,My,Mz}的反力以及軸向預緊力。圖3為角接觸球軸承在所受載荷作用下鋼球和套圈間的接觸角、變形與位移幾何關(guān)系圖。設(shè)軸承內(nèi)圈位移為{Δx,Δy,Δz,θy,θz}。圖3中x向表示軸承軸向方向；r向表示軸承徑向方向；Ob為位移后鋼球中心；O1為外溝道溝曲率中心；O20為位移前內(nèi)溝道溝曲率中心；O2為位移后內(nèi)溝道溝曲率中心；Dw為鋼球直徑；φj為第j個鋼球的方位角；R1(2)為溝道曲率中心到軸承軸線的徑向距離；f1(2)為溝道溝曲率半徑系數(shù)；α1(2)j為鋼球與溝道的工作接觸角，下標1表示外溝道，下標2表示內(nèi)溝道。

圖3 接觸角、變形和位移幾何圖

由圖3幾何關(guān)系可得

Axj=[(f1+f2-1)Dw]sinα+[Δx+R2(θy·

sinφj+θzcosφj)]=[(f1-0.5)Dw+δ1j]sinα1j+[(f2-0.5)Dw+δ2j]sinα2j，

(3)

Arj=[(f1+f2-1)Dw]cosα+(Δycosφj+Δzsinφj)=[(f1-0.5)Dw+δ1j]cosα1j+

[(f2-0.5)Dw+δ2j]cosα2j。

(4)

由(3)和 (4) 式可得鋼球與內(nèi)、外圈的接觸變形量和工作接觸角為

(5)

α1j=arctan(x1/r1)j，

(6)

(7)

α2j=arctan[(Ax-x1)/(Ar-r1)]j。

(8)

1.1.1 鋼球動力學微分方程

第j個鋼球的受力情況如圖4所示。具體求解公式見文獻[9]。根據(jù)Newton運動定律及Euler運動方程，第j個鋼球的動力學微分方程組如下

圖4 鋼球受力圖

，(9)

1.1.2 內(nèi)圈動力學微分方程

軸承內(nèi)圈的動力學微分方程組為

,(10)

1.1.3 保持架動力學微分方程

圖5為保持架的受力圖。保持架的動力學微分方程組為

圖5 保持架受力圖

(11)

1.2 轉(zhuǎn)子動力學微分方程

假設(shè)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速不隨時間變化，根據(jù)Newton運動定律及Euler運動方程，轉(zhuǎn)子的動力學微分方程組為

(12)

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；Fr為作用于y方向的徑向力；Δx，Δy，Δz為轉(zhuǎn)子質(zhì)心位移；Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z為軸承對轉(zhuǎn)子的支承力；下標1，2分別代表軸承B1，B2；Ix,Iy,Iz為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量；θy，θz為轉(zhuǎn)子角位移；My，Mz為軸承對轉(zhuǎn)子的支承力矩。

1.3 系統(tǒng)中存在的振動頻率

系統(tǒng)中包括兩個不同的振動頻率，一個是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率，可表示為

(11)

另一個是支承軸承的變剛度頻率[10]，這是由于鋼球依次通過承載區(qū)，軸承徑向剛度不相等產(chǎn)生的，可表示為

(12)

2 動力學特性分析

以某動量輪軸承組件中的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為例進行計算。由于軸承內(nèi)圈與轉(zhuǎn)子緊配合，假設(shè)內(nèi)圈位移和轉(zhuǎn)子位移一致，以轉(zhuǎn)子的振動位移作為初始條件，采用Newmark-β積分法和Newton-Raphson迭代法對軸承-轉(zhuǎn)子非線性動力學微分方程進行求解。轉(zhuǎn)子直徑為10 mm，L1=L2=11.5 mm。軸承主要參數(shù)為:外徑26 mm，內(nèi)徑10 mm，寬度8 mm，初始接觸角15°，鋼球直徑4 mm。

2.1 軸承參數(shù)對系統(tǒng)動力學特性的影響

在支承軸承預緊力80 N，轉(zhuǎn)子徑向載荷200 N，轉(zhuǎn)速4 000 r/min的工況下，分析軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)動力學特性的影響。

2.1.1 內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)的影響

圖6、圖7分別為不同內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)時轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應。從圖中可以看出：轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應由一個主峰和若干個次峰組成，說明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。其頻率響應僅有轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率及其倍頻與亞頻，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率對應的幅值最大，說明轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率在系統(tǒng)的振動中占主導地位。內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)的變化對轉(zhuǎn)子振動特性的影響很小。

圖6 不同內(nèi)溝曲率系數(shù)時轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應

圖7 不同外溝曲率系數(shù)時轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應

2.1.2 鋼球個數(shù)的影響

圖8所示為支承軸承不同鋼球個數(shù)時轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應。由圖8可以看出：鋼球個數(shù)較少時，轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應中不僅存在轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率及其倍頻與亞頻，還存在支承軸承的變剛度頻率及其倍頻，轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率和軸承的變剛度頻率同時起主導作用。隨著鋼球個數(shù)的增加，雖然軸承的變剛度頻率增大，但在轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應中軸承的變剛度頻率及其倍頻逐漸消失，且變剛度頻率及其倍頻對應的幅值減小，說明系統(tǒng)的非線性特性減弱。但增加鋼球數(shù)，就要相應增加保持架的兜孔個數(shù)，這會使保持架梁變薄，導致保持架早期失效。故須在保證保持架剛度的前提下，選取較多的鋼球數(shù)，以減弱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性。

圖8 不同鋼球個數(shù)時轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應

2.2 工況參數(shù)對系統(tǒng)動力學特性的影響

2.2.1 預緊力

圖9為不同預緊力時轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的振動頻率響應?？梢钥闯觯狠S承的軸向預緊力對系統(tǒng)的動力學特性有重要影響，預緊力較小時，系統(tǒng)中存在的頻率成分較多，有轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率及其倍頻和亞頻、支承軸承的變剛度頻率及其倍頻，系統(tǒng)的非線性較強。隨著預緊力的增大，軸承的變剛度頻率及其倍頻消失，其所對應的幅值減小，系統(tǒng)的非線性特性減弱。應當注意的是，軸承預緊力不可過大，否則將使軸承摩擦加劇，溫度升高，影響軸承的使用壽命。因此，在實際使用過程中，應根據(jù)情況，對軸承施加合適的預緊力。

2.2.2 徑向力的影響

圖10是改變徑向載荷時轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的振動頻率響應。徑向載荷較小時，轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的振動頻率響應中僅存在轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率及其倍頻和亞頻，且其倍頻和亞頻對應的幅值較小。當徑向載荷增大時，轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的振動頻率響應中出現(xiàn)軸承的變剛度頻率及其倍頻，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動頻率倍頻和亞頻、軸承變剛度頻率及其倍頻所對應的幅值也隨之增大，加劇了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動。

2.2.3 轉(zhuǎn)速的影響

在300 N徑向力作用下，不同轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應如圖11所示。在低速時，系統(tǒng)中的振動頻率成分不僅包括轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率及其亞頻和倍頻，還有軸承的變剛度頻率；隨著轉(zhuǎn)速的升高，軸承的變剛度頻率消失，系統(tǒng)的非線性特性減弱；轉(zhuǎn)速繼續(xù)升高，軸承的變剛度頻率又重新出現(xiàn)。因此，存在一個最佳轉(zhuǎn)速區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)，既可減弱系統(tǒng)的非線性特性，又能降低轉(zhuǎn)子的振動位移。

圖9 不同預緊力時轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應

圖10 不同徑向力時轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應

圖11 不同轉(zhuǎn)速時轉(zhuǎn)子質(zhì)心的振動頻率響應

3 結(jié)論

(1)系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動頻率始終存在，支承軸承的變剛度頻率隨著軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)和系統(tǒng)工況參數(shù)的不同而出現(xiàn)或消失。

(2)軸承內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)的變化不改變系統(tǒng)中已存在的振動頻率成分。

(3)系統(tǒng)的非線性特性隨支承軸承鋼球個數(shù)、軸向預緊力的增加而減弱，隨徑向載荷的增大而增強。

(4)存在一個最佳轉(zhuǎn)速區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)的非線性特性較弱。