馬會防 ，劉高進，南瑞民，戴哲峰

(1.上海凱泉泵業(yè)(集團)有限公司 技術(shù)中心，上海 201804；2.金華職業(yè)技術(shù)學院 機電工程學院，浙江 金華 321000)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中滾動軸承的剛度等參數(shù)特別重要。文獻[1]研究了非均勻軸承游隙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)響應和穩(wěn)定性問題，文獻[2-3]研究了軸承剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學性能的影響，指出軸承剛度特性與其運行狀態(tài)相關(guān)。

計算方面，以Hertz接觸理論為基礎，有的提出了簡化公式，有的考慮了外載荷、游隙、油膜、預緊力及轉(zhuǎn)速等諸多因素的影響[4-10]。由于影響軸承剛度的因素很多，導致計算值與實測值相差較大，所以，在關(guān)于計算方法的研究中，通常不采用計算值與實測值進行對比，而是不同計算方法之間的對比。

測試方面，一類是靜態(tài)測試，基于Hooke定律，通過測量套圈相對線性位移得到軸承的剛度，這類方法對油膜、內(nèi)外圈預緊變形等因素考慮的較少，測試結(jié)果是一種靜態(tài)剛度，與軸承工作狀態(tài)下的真實剛度有時相差很大。

還有一類是動態(tài)測試，一般采用軸承的非旋轉(zhuǎn)直接激振法，通過施加已知的激勵，測量振動響應來確定軸承的剛度[11-12]，由于滾動體不是處于轉(zhuǎn)動的工作狀態(tài)，測試值也類似于靜態(tài)剛度；文獻[13]利用軸承共振的方法，在滾動體處于旋轉(zhuǎn)狀態(tài)時測得了軸承的動態(tài)剛度，但是軸承的外圈處于自由狀態(tài)，軸承游隙大于實際工作狀態(tài)；文獻[14]從隨機振動響應中提取了軸承的動態(tài)剛度參數(shù)，該測試模型基本上完全模擬了軸承的實際工作狀態(tài)，然而，其把模型中的轉(zhuǎn)子假設為剛性體，而轉(zhuǎn)子應為彈性體，只有彈性體的剛度遠大于軸承剛度時，才可以把轉(zhuǎn)子理想化為剛性體。所以，它得到的結(jié)論之一：“轉(zhuǎn)子的抗彎剛度大于軸承剛度時，測出的軸承剛度接近真實值”，就是假設與實際不符合導致的。

鑒于以上研究，提出了一種測試方法，在旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，測量軸承的動態(tài)徑向剛度，就是在軸承處于旋轉(zhuǎn)的工作狀態(tài)下，測算軸承的徑向剛度。

試驗的物理模型是支座-軸承-轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)，根據(jù)文獻[14]中提到的振動模型簡化原則，將物理模型簡化為力學模型，其中，支座結(jié)構(gòu)厚重，可以認為是剛性體；軸承主要起彈性支承作用，簡化為彈簧；轉(zhuǎn)軸則是同時具有質(zhì)量、彈性和阻尼的模型。通過激發(fā)共振——變速電動機帶動轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不斷加速，越過一階共振區(qū)，測出試驗物理模型的一階橫向振動頻率，再根據(jù)簡化后的力學模型，計算出軸承的徑向剛度。

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型與基本理論

1.1 轉(zhuǎn)軸的力學模型

由于轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量、彈性和阻尼沒有明顯差別，故需要把轉(zhuǎn)軸簡化為同時具有質(zhì)量、彈性和阻尼的模型。

轉(zhuǎn)軸物理模型的質(zhì)心位于中部，所以，力學模型的質(zhì)量也位于質(zhì)心處；設轉(zhuǎn)軸本身結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為m，力學模型的質(zhì)量設為等效質(zhì)量me，一般me

轉(zhuǎn)軸的物理模型為連續(xù)彈性體，由于試驗過程中只測試系統(tǒng)的一階橫向振動，其振型簡單，軸上各處同相振動，所以，轉(zhuǎn)軸可以簡化為無質(zhì)量的剛性軸，以及支承處的等效剛度ke和等效阻尼ce，如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)軸物理模型與力學模型對比

實際上，上述過程是把轉(zhuǎn)軸簡化成了單自由度模型，等效質(zhì)量、等效剛度及等效阻尼為單自由度模型的模型參數(shù)。這些模型參數(shù)的求解可通過有限元法求得，簡述其過程，就是創(chuàng)建轉(zhuǎn)軸的有限元模型，在支撐處添加剛性支撐彈簧，計算轉(zhuǎn)軸的一階橫向振動頻率；然后在質(zhì)心處添加點質(zhì)量，僅改變模型的質(zhì)量，再次求解轉(zhuǎn)軸的一階橫向振動頻率；接下來，改變點質(zhì)量并再次求解轉(zhuǎn)軸的一階橫向振動頻率。這樣，根據(jù)單自由度模型與有限元模型之間的對應關(guān)系，就得到關(guān)于3個未知參數(shù)的3個方程，解方程就求得轉(zhuǎn)軸的等效質(zhì)量、等效剛度和等效阻尼，詳細過程可查看轉(zhuǎn)子單自由度模型參數(shù)的有限元解法，此處不加贅述。

1.2 軸承與支座的力學模型

軸承相對于轉(zhuǎn)軸質(zhì)量較小，且主要起徑向彈性支承作用，所以簡化為徑向彈簧，剛度值為kb。

支座結(jié)構(gòu)厚重，剛度值較大，可以認為是剛性體。具體剛度值可以根據(jù)Hooke定律進行實測，也可以建立有限元模型，通過靜力分析求得。與最后求出的軸承剛度進行比較，如果支座在徑向的剛度值遠大于軸承的徑向剛度值，則證明支座假設為剛性體是合理的。由于支座與地基相連，且是剛性體，所以，支座在力學模型中表示為地基。

基于以上模型的簡化，轉(zhuǎn)軸-軸承-支座系統(tǒng)可以表示為如圖2所示的單自由度模型系統(tǒng)。

圖2 簡化后的單自由度轉(zhuǎn)子模型

該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的總剛度為

(1)

總阻尼為

c=2ce，

(2)

固有頻率為[15]

(3)

式中：kb,ke分別為軸承、轉(zhuǎn)軸的等效剛度，N/m；ce為轉(zhuǎn)軸的等效阻尼，N·s/m。

1.3 軸承徑向剛度的計算公式

設轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一階橫向振動頻率為f，在測試上其對應于轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速[14]，可通過Bode圖直接測出，設測試值為N(r/min)；在理論上其對應于單自由度力學模型的固有頻率，因此

(4)

結(jié)合(1)～(4)式，可得軸承的徑向剛度為

(5)

2 測試與計算

2.1 測試模型與測試結(jié)果

測試模型為一實際產(chǎn)品的轉(zhuǎn)軸，按照生產(chǎn)裝配要求，安裝了NU315軸承，然后將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)安裝在轉(zhuǎn)子試驗臺上。測試模型如圖3所示，主要包括轉(zhuǎn)軸、軸承、支座、調(diào)速電動機和振動傳感器(含有Bode圖測試功能的振動測試系統(tǒng))。

圖3 試驗裝置簡圖

控制調(diào)速電動機，使其轉(zhuǎn)速由靜止均勻加速到3 500 r/min，測得臨界轉(zhuǎn)速N約為2 250 r/min，測得的Bode圖如圖4所示。

圖4 測定臨界轉(zhuǎn)速的Bode圖

2.2 力學模型的計算

轉(zhuǎn)子質(zhì)量為144 kg，三維CAD模型如圖5所示。根據(jù)轉(zhuǎn)子單自由度模型參數(shù)的有限元解法，利用一階橫向振動頻率值與單自由度模型固有頻率之間的對應關(guān)系，可得

圖5 某型轉(zhuǎn)子的CAD模型

(6)

通過在質(zhì)心處添加和改變點質(zhì)量的方法，可得到多個形如(6)式的關(guān)于me，ke和ce的方程，求解方程組即可。

具體過程如下：

(1)在CAD模型中，求出質(zhì)心坐標；

(2)在CAE模型中，添加剛性彈簧支撐(彈簧剛度值1011N/m)；

(3)模態(tài)分析，根據(jù)一階橫向振型，判斷出相應的頻率f=60.134 Hz；

(4)在質(zhì)心位置，添加點質(zhì)量Δm=0.5m=72 kg，重新計算，判斷出一階橫向振型相應的頻率，記為f1=40.718 Hz；

(5)在質(zhì)心位置，添加點質(zhì)量Δm=m=144 kg，重新計算，判斷出一階橫向振型相應的頻率，記為f2=30.017 Hz；

(6)將f，f1，f2代入(6)式，可求得圖2所示轉(zhuǎn)軸單自由度模型的參數(shù)，結(jié)果見表1。

表1 單自由度轉(zhuǎn)軸模型的參數(shù)

2.3 軸承徑向剛度的計算

將測得的臨界轉(zhuǎn)速N以及計算得到的轉(zhuǎn)軸模型參數(shù)代入(5)式，可計算得出該軸承的動態(tài)徑向剛度

kb=4 743 376.521=4.743 8×106N/m。

軸承徑向剛度理論計算值的量級通常為107或108，而本次測試值比一般靜態(tài)計算值偏低，其原因可能是該轉(zhuǎn)子的軸承不需要預緊，安裝后還是正游隙，且轉(zhuǎn)軸的徑向力基本為零；而轉(zhuǎn)動時的油膜狀態(tài)等諸多因素很難體現(xiàn)在理論計算中。因此，對于軸承的徑向剛度，尤其在實際安裝狀態(tài)下的動態(tài)徑向剛度，不宜用純理論的方法估算，最好進行實測。

3 分析與討論

3.1 影響計算結(jié)果的因素

研究me，ke和ce的計算過程，發(fā)現(xiàn)與Δm/m關(guān)系比較大，結(jié)果如圖6所示。

圖6 參數(shù)計算結(jié)果的穩(wěn)定性與Δm/m的關(guān)系

當Δm/m較大(lg(100Δm/m)>1.3，即 Δm/m>0.2)時，參數(shù)的計算結(jié)果穩(wěn)定性比較好；當Δm/m較小(lg(100Δm/m)≤1.0，即Δm/m<0.1)時，計算結(jié)果穩(wěn)定性較差，即參數(shù)me,ke和ce的計算結(jié)果可能與真實值偏差較大。

由于求解一階橫向振型時使用的是有限元法，計算結(jié)果與網(wǎng)格大小等有限元軟件的相關(guān)設置也有關(guān)，但是由于有限元技術(shù)已經(jīng)相當成熟，合理、正確設置的前提下，單元大小等有限元因素影響可以忽略。

對于參數(shù)N，測定Bode圖時，可以通過提高采樣頻率、減小測定的轉(zhuǎn)速范圍等方法，更加精確地測定峰值對應的轉(zhuǎn)速。

3.2 不同型號軸承的動態(tài)徑向剛度

用上述方法測試軸承的動態(tài)徑向剛度，需要轉(zhuǎn)軸兩端安裝同樣的軸承(組)，而實際轉(zhuǎn)軸可能在兩端安裝不同型號的軸承，這時，假設一端的徑向剛度為kb1，另一端為kb2，則待求物理量為2個。

該問題的解決，可通過Bode圖測試臨界轉(zhuǎn)速N，之后在轉(zhuǎn)軸質(zhì)心處加裝軸對稱質(zhì)量塊Δm，然后再測臨界轉(zhuǎn)速，設測得的臨界轉(zhuǎn)速為N′，則可以得到關(guān)于kb1與kb2的二元二次方程組，理論上可以求解。

3.3 軸承的徑向阻尼

之前的分析討論中，一直忽略了軸承的徑向阻尼，如果需要考慮，則待求物理量除了徑向剛度kb，又添加了徑向阻尼cb。

該問題同樣可采用3.2節(jié)所述方法進行解決。

由于試驗條件的限制，暫時無法通過試驗求證3.1和3.2中的問題。

3.4 軸承預緊力對徑向動態(tài)剛度的影響

前面已經(jīng)提到影響軸承剛度的多種因素，而游隙對徑向動態(tài)剛度也有很大影響，可通過改變軸承預緊力而改變徑向動態(tài)剛度。預緊方式有定位預緊、定壓預緊。由于當前試驗中的軸承沒有預緊裝置，不能進行不同預緊情況下軸承徑向動態(tài)剛度的對比試驗，但運用上述方法，將來可以進行這方面的研究和試驗。

4 結(jié)論

(1)通過簡化物理模型，建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的力學模型，找到了軸承徑向剛度與臨界轉(zhuǎn)速的函數(shù)關(guān)系，為進行動態(tài)徑向剛度的測試奠定了理論依據(jù)。

(2)通過試驗測定了某型號產(chǎn)品的軸承動態(tài)徑向剛度，分析了動態(tài)徑向剛度測試值和理論計算的不同，并探討了影響動態(tài)徑向剛度測量和計算結(jié)果的因素。

(3)討論了轉(zhuǎn)軸上裝有不同型號的軸承時，如何測量動態(tài)徑向剛度。

(4)分析討論了軸承的徑向阻尼問題以及理論上的解決方法等。