謝宇

（新疆水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院 新疆烏魯木齊830000）

工程量的計(jì)算是工程項(xiàng)目中一項(xiàng)十分重要而又十分繁瑣的工作，探求一種實(shí)用、過程快捷、計(jì)算精度滿足工程需求的計(jì)算方法就成為工程人員一直探索的夙愿。扭面體是水利工程中常見的一種漸變面體，因?yàn)榕っ媸遣豢烧归_的曲面，其體積用一般方法計(jì)算較為困難。通常設(shè)計(jì)人員計(jì)算扭面的工程量，大都采用面積平均法，即求出扭面體進(jìn)出口兩端斷面面積后進(jìn)行平均，最后乘以扭面長度。平均方法由于計(jì)算人員選擇斷面不一樣，使最終工程量的計(jì)算結(jié)果不一致。目前比較精確的方法就是采用微段體積累計(jì)法[1]，即沿圖1中x軸方向把L分成n段長為ΔL（一般ΔL選取0.2 m）的四棱柱體，然后用面積平均法計(jì)算各段體積，最終累計(jì)求得扭面體體積，微段體積累計(jì)法精度很高，但是計(jì)算繁瑣，計(jì)算時(shí)容易出錯(cuò)。鑒于此，本文從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，試圖推導(dǎo)出扭面體的計(jì)算公式，直接利用扭面體主要尺寸參數(shù)就能準(zhǔn)確計(jì)算扭面體工程量。

1 扭面體的定義

如圖1所示，扭面[2,3]可分為內(nèi)扭面和外扭面，內(nèi)扭面一般為過水面（圖1中ABCD曲面），外扭面通常為擋土面（圖1中EFGH曲面）。根據(jù)圖1可知，扭面體是由內(nèi)扭面、外扭面、頂面、底面、進(jìn)口斷面及出口斷面組成的立體圖形。

為研究的方便，假設(shè)沿x方向扭面斷面面積沿程變化，為了使推導(dǎo)體積計(jì)算公式具有普遍性和適用性，本文中研究的扭面體兩端斷面是相互平行的，即圖1中平面ADHE與平面BCGF相互平行，但頂面AEFB與底面DHGC不一定平行。

圖1 扭面體示意圖

2 數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)

2.1 扭面體基本參數(shù)

根據(jù)圖1所示提取推導(dǎo)公式的主要參數(shù)，將圖1中的扭面體的進(jìn)出口斷面提取出來如圖2所示。

圖2 扭面體進(jìn)出口斷面圖

通過圖1中與圖2得到扭面體沿x軸方向任意斷面圖，如圖3所示。

圖3 扭面體任意斷面圖

根據(jù)圖3可以得到任意斷面面積：

式中：Ai為扭面體第i處斷面面積，m2；bi為扭面體第i處斷面上頂寬度，m；bj為扭面體第i處斷面底部寬度，m；Hi為扭面體第i處斷面高，m。

通過圖1可以認(rèn)為扭面體yoz軸斷面是由進(jìn)口處斷面沿x軸方向漸變?yōu)槌隹谔帞嗝妫菨u變過程函數(shù)未知。在圖1中可以看出構(gòu)成扭面體yoz軸斷面的四條棱線都是直線（直線AB、DC、EF及HG），因此可知，各個(gè)斷面的上頂寬度bi為扭面段進(jìn)口斷面上頂寬度b1與出口斷面上頂寬度b3的線性函數(shù)，底部寬度bj為扭面段進(jìn)口斷面底部寬度b2與出口斷面底部寬度b4的線性函數(shù)。通過圖1至圖3可得到各個(gè)參數(shù)之間的線性關(guān)系。

式中：H1為扭面體進(jìn)口斷面高，m；H2為扭面體出口斷面高，m；b1為扭面體進(jìn)口斷面上頂寬度，m；b2為扭面體進(jìn)口斷面底部寬度，m；b3為扭面體出口斷面上頂寬度，m；b4為扭面體出口斷面底部寬度，m；L為扭面體沿x軸方向長度，m；其他符號(hào)意義同上。

2.2 扭面數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)

將公式（2）至（4）代入式（1）中，整理得：

式中積分區(qū)域?yàn)榫€區(qū)域，是0≤x≤l由，將式代入式（6），整理得到：

式中：V為扭面體的體積，m3；其他字母意義同上一樣。

如果扭面體進(jìn)出口高度相等時(shí)，即H1=H2=H，則扭面體體積公式為：

式中各個(gè)字母意義同上。

式（7）就是論文推導(dǎo)得到的結(jié)果。

2.3 算例

某渠系工程中一漿砌石扭面體，扭面體各個(gè)參數(shù)如下：L=3 m，H1=3 m，H2=3 m，b1=b2=b3=0.42 m，b4=1.42 m。試計(jì)算該扭面體的工程量。

解：將算例中各個(gè)數(shù)據(jù)代入式（7）中，得到扭面體體積為V=5.46 m3；通過VB程序?qū)υ撆っ骟w進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得到該扭面體實(shí)際體積為Vs=5.40 m3。數(shù)值計(jì)算的詳細(xì)過程在本文中就不一一贅述。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，得到推導(dǎo)公式在該算例中的計(jì)算誤差為δ=（5.46-5.4）/5.4=1.11%，這樣的計(jì)算誤差在水利工程中統(tǒng)計(jì)工程量時(shí)完全滿足工程要求。

3 結(jié)論

本文通過對(duì)扭面體各個(gè)斷面之間關(guān)系為線性關(guān)系的假定，并通過微積分手段推導(dǎo)出扭面體體積直接計(jì)算公式。數(shù)學(xué)公式的形式比較簡單，計(jì)算精度也可滿足工程量計(jì)算的要求，在進(jìn)行扭面體工程量計(jì)算中可以進(jìn)行應(yīng)用和推廣。但是，本文在推導(dǎo)過程還存在一些不足，需要進(jìn)一步進(jìn)行討論與研究：（1）在假設(shè)中對(duì)扭面體各個(gè)斷面之間的關(guān)系只是簡單進(jìn)行線性假定，這與實(shí)際不符，有待進(jìn)一步驗(yàn)證各個(gè)斷面之間的關(guān)系。（2）本文在推導(dǎo)公式未考慮扭面體內(nèi)外扭面的邊坡比m對(duì)扭面體體積計(jì)算的影響。是否有影響以及影響有多大需要進(jìn)一步探索。（3）本文對(duì)計(jì)算公式的計(jì)算精度采用一個(gè)算例進(jìn)行說明，只是具有一定的代表性。不能提供計(jì)算公式的精度范圍，今后仍需要進(jìn)一步探求。

［1］王銘,宋天峰,羅陽軍.平均斷面法計(jì)算渠道土方量的本質(zhì)缺陷及改進(jìn)［J］.西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,32(9)∶118～122.

［2］李居坤,李德信,房世勤等.扭面與扭面施工技術(shù)分析研究［J］.灌溉排水學(xué)報(bào),2003，22(3)∶73-76.

［3］趙然杭,張公升.扭面的數(shù)學(xué)模型與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)［J］.山東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2000,30(4)∶398-400.

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