劉保連，丁祖軍，金德飛

(淮陰工學(xué)院，江蘇淮安223003)

0 引 言

無刷直流電動機具有體積小、重量輕、維護方便、高效節(jié)能以及易于控制等一系列優(yōu)點而廣泛運用于航空航天、工業(yè)自動化、醫(yī)療器械、計算機外圍設(shè)備等方面［1］。無刷直流電動機是一種多變量、變參數(shù)、強耦合的非線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)負(fù)載或參數(shù)發(fā)生變化時，傳統(tǒng)控制器控制難以實現(xiàn)對電機進行精確控制。一些研究將極點配置和最優(yōu)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模型參考自適應(yīng)控制等引入電機控制技術(shù)中，有效提高了無刷直流電動機的運行性能，但這些控制仍依賴于電機精確的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)性能易受參數(shù)變化及各種擾動的影響，魯棒性差。

變結(jié)構(gòu)控制作為一種特殊的非線性控制，由于滑動模態(tài)對內(nèi)部參數(shù)攝動和外部擾動具有良好的魯棒性，引起了人們的關(guān)注并取得了不少成果。

文獻［2］用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為滑模動態(tài)補償器對不確定系統(tǒng)進行控制，系統(tǒng)抗參數(shù)攝動、抗干擾性能較好，有效地減弱了單純滑模變結(jié)構(gòu)控制所帶來的“抖振”現(xiàn)象，但算法復(fù)雜，難以實現(xiàn)。

文獻［3］結(jié)合冪次趨近率能夠使系統(tǒng)平滑的進入滑動模態(tài)的特點，得到一種新型趨近率，提高了傳統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制的性能，但滑模到達(dá)時間是不確定的。

而單純的指數(shù)趨近律及組合趨近律在滑模面附近減速防抖的性能會因控制器切換功率的不同而參差不齊，到達(dá)時間也不是最短。本文提出了一種基于PID趨近率的變結(jié)構(gòu)控制策略，以PID控制規(guī)律來控制到達(dá)滑模面的速率，其達(dá)到滑模面的時間是有限的，且確定的。仿真結(jié)果表明本文所提出的變結(jié)構(gòu)控制策略具有較高的動態(tài)性能和魯棒性。

1 無刷直流電動機數(shù)學(xué)模型

在分析和仿真計算中直接采用相變量法，根據(jù)轉(zhuǎn)子位置用分段線性表示感應(yīng)電動勢。由于稀土永磁材料的磁導(dǎo)率很低，轉(zhuǎn)子的磁阻很高，其影響可忽略不計。此時，無刷直流電動機的三相定子電壓的平衡方程式可用下列狀態(tài)方程表達(dá):

式中:uA、uB、uC為三相定子電壓;eA、eB、eC為三相定子反電動勢;LAB、LAC、LBA、LBC、LCA、LCB為三相定子間互感;p為微分算子。

由電動機結(jié)構(gòu)決定了在一個360°電角度內(nèi)(機械上為一對磁極距)，轉(zhuǎn)子的磁阻不隨轉(zhuǎn)子位置變化而變化，并假定三相對稱，則有:

所以式(1)可改寫:

又因為三相對稱電機中存在iA+iB+iC=0，所以MiA+MiB+MiC=0，故式(2)整理:

其等效電路如圖1所示。

圖1 無刷直流電動機等效電路圖

電磁轉(zhuǎn)矩方程:

式中:ω為電機轉(zhuǎn)子的角速度。

為了產(chǎn)生恒定的電磁轉(zhuǎn)矩，在每個半周期內(nèi)，方波電流的持續(xù)時間為120°電角度，梯形波反電勢的平頂部分要120°電角度以上，兩者應(yīng)嚴(yán)格同步。理想情況下，任何時刻定子繞組只有兩相導(dǎo)通，設(shè)每相感應(yīng)電動勢為e，則電磁轉(zhuǎn)矩:

式中:e為定子繞組各相反電勢;i為定子繞組各相電流。

又因為:

可以看出無刷直流電動機的感應(yīng)電動勢與轉(zhuǎn)速成正比。式(6)代入式(5)，電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式可化為:

由式(7)可以看出，電磁轉(zhuǎn)矩大小與電流幅值大小成正比，所以控制逆變器輸出方波電流的幅值即可控制無刷直流電動機的轉(zhuǎn)矩。

把整個電機當(dāng)作一個整體，則有:

式中:u為電機電壓，Req=2R，Leq=2(L－M)。

轉(zhuǎn)子運動方程:

式中:TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;B為粘滯阻尼系數(shù);J為轉(zhuǎn)子及負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量。

2 變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計

無刷直流電動機伺服系統(tǒng)一般采用電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)三環(huán)控制結(jié)構(gòu)。速度環(huán)用來控制速度，其輸出為電機相電流給定值，采用本文所提出的變結(jié)構(gòu)控制器;電流環(huán)用來控制電機的電流，提高電機轉(zhuǎn)矩響應(yīng)性能，防止電機過流;位置環(huán)主要是實時采樣轉(zhuǎn)子位置信號，為電機換相提供依據(jù)，同時可以計算得到電機轉(zhuǎn)速。

無刷直流電動機伺服系統(tǒng)控制原理結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 控制原理框圖

2.1 PID趨近率設(shè)計

變結(jié)構(gòu)控制就是當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)穿越狀態(tài)空間不同連續(xù)曲面時，控制器將按一定規(guī)律發(fā)生變化，使得控制系統(tǒng)對被控對象的內(nèi)在參數(shù)變化和外部擾動具有一定適應(yīng)能力，從而保證系統(tǒng)性能達(dá)到期望指標(biāo)要求，其實質(zhì)是一種非線性魯棒控制。

滑模變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計主要包括兩個方面的內(nèi)容:(1)根據(jù)對動態(tài)特性的要求，選取合適的滑模面;(2)設(shè)計確定的控制率，使滑動運動漸近穩(wěn)定并具有良好的動態(tài)品質(zhì)。

變結(jié)構(gòu)控制雖然對系統(tǒng)參數(shù)及擾動不敏感，具有很強的魯棒性，但其存在抖振問題，解決這一問題關(guān)鍵在于在到達(dá)滑動模態(tài)之前所采用的趨近率。本文采用一種PID趨近率來減小變結(jié)構(gòu)控制的抖振及到達(dá)滑模面時間。

設(shè)滑模面:

式中:c=［c1，c2，…，cn－1，1］，x=［x1，x2，…，xn］T，為系統(tǒng)狀態(tài)變量。穩(wěn)態(tài)時我們期望s為0，即s*=0。同一般反饋控制一樣，設(shè)誤差es=s*－s=－s，則滑模面PID趨近率:

即:

對式(11)兩邊求導(dǎo)得:

式(11)是一個二階微分方程，其特征方程:

式(12)有一對共軛復(fù)根，則式(12)的解:

式中:s(0)為初始狀態(tài)，由式(13)可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)按指數(shù)衰減振蕩規(guī)律趨近滑模面。令式(13)等于0，則可得第一次到達(dá)滑模面的時間:

由式(14)可以看出，只要PID參數(shù)確定，其到達(dá)滑模面的時間也是確定的。

2.2 變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計

即:

設(shè)切換函數(shù):

系統(tǒng)為進入滑模面之前，按前面所提出的PID趨近率來設(shè)計切換控制量。由式(10)和式(17)可得:

式中:ueq為系統(tǒng)進入滑模面后的等效控制量。

3 仿真及實驗結(jié)果

為了驗證控制策略的可行性及其性能，對系統(tǒng)進行了仿真及實驗，圖2為在MATLAB/Simulink中搭建了無刷直流電動機伺服控制系統(tǒng)仿真模型。仿真參數(shù):無刷直流電動機額定電壓36 V，額定轉(zhuǎn)速nN=3 600 r/min，反電動勢系數(shù) Ke=0.065 V·rad·s－1，Leq=1.336 mH，轉(zhuǎn)矩系數(shù) KT=0.071 2 N·m/A，相電阻R=0.35 Ω，忽略粘滯阻尼系數(shù) B。轉(zhuǎn)動慣量 J=1.543 ×10－5kg·m2。PWM 控制策略采用PWM_ON_PWM調(diào)制方式。PWM_ON_PWM可以完全消除非換相期間非導(dǎo)通相上的二極管續(xù)流現(xiàn)象。與采用傳統(tǒng)PWM調(diào)制方式相比，在相同的開關(guān)頻率和開關(guān)損耗下，改善電流波形，減小電磁轉(zhuǎn)矩脈動，尤其在中低速區(qū)域?qū)偟碾姶呸D(zhuǎn)矩脈動情況具有明顯的改善作用，從而增加電機運行的平穩(wěn)性［4］。圖3～圖5給出了仿真波形，圖6～圖8給出了基于TMS320F2812控制平臺的無刷直流電動機伺服系統(tǒng)實驗波形。

圖3 轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖4 速度跟蹤響應(yīng)曲線

圖5 電磁轉(zhuǎn)矩波形

圖3給出了轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，速度給定1 500 r/min，并且在30 ms時突加擾動負(fù)載。由圖可以看出，采用本文的變結(jié)構(gòu)速度控制器后，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，基本無超調(diào)，轉(zhuǎn)速平穩(wěn)無靜差。突加負(fù)載擾動時，系統(tǒng)能夠快速跟蹤響應(yīng)，消除擾動對轉(zhuǎn)速的影響。

為驗證控制器的跟蹤性能，將一正弦波作為速度給定信號，幅值為±1 000 r/min，頻率為0.1 Hz，且在20 s時將電樞電阻R突然增大到0.4 Ω。圖4給出了跟蹤響應(yīng)曲線，其中實線部分是速度指令，虛線部分是實際跟蹤的速度。由跟蹤曲線可以看出，系統(tǒng)可以快速而準(zhǔn)確地跟蹤給定速度，保持相位誤差接近零，同時幅值一致;系統(tǒng)參數(shù)變化時，系統(tǒng)跟蹤性能基本不受影響，跟蹤控制精度較高，魯棒性較強。

圖5給出了在速度指令不變的情況下，系統(tǒng)平穩(wěn)運行時的轉(zhuǎn)矩波形。由圖5可以看出，在換相時及不換相期間轉(zhuǎn)矩脈動都很小，保證了轉(zhuǎn)速響應(yīng)的平穩(wěn)性。

圖6給出了系統(tǒng)運行時電機線電壓波形，波形基本呈梯形。圖7給出了電機相電流波形，間隔60°呈正負(fù)交替矩形波，電流基本平穩(wěn)，脈動小。無刷電動機換相過程引起電流波形中間有突變，但抖動較小。

系統(tǒng)通過DSP捕獲單元捕獲無刷直流電動機位置信號，并計算轉(zhuǎn)速，通過控制板卡上的DA轉(zhuǎn)換器輸出與轉(zhuǎn)速成正比的電壓信號。圖8給出了轉(zhuǎn)速信號波形，由圖8可以看出，正常運行時，轉(zhuǎn)速平穩(wěn)，基本無脈動。當(dāng)突然增加轉(zhuǎn)速給定時，轉(zhuǎn)速跟蹤速度快，超調(diào)小，整個調(diào)節(jié)過程大約6 ms，轉(zhuǎn)速再次平穩(wěn)，這與圖3的仿真曲線是一致的。

圖6 線電壓波形

圖7 電機相電流波形

圖8 電機轉(zhuǎn)速信號波形

4 結(jié) 語

本文根據(jù)電路基本定律建立了無刷直流電動機基本數(shù)學(xué)模型，無刷直流電動機伺服系統(tǒng)參數(shù)時變及負(fù)載擾動會嚴(yán)重影響系統(tǒng)的動態(tài)跟蹤性能和魯棒性。針對這些問題，本文提出了一種PID趨近率的變結(jié)構(gòu)控制策略，使得切換函數(shù)到達(dá)滑模面的時間是確定的，且該算法簡單易于實現(xiàn)。仿真和實驗結(jié)果表明，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，基本無超調(diào)，轉(zhuǎn)速平穩(wěn)無靜差。在突加給定以及存在負(fù)載擾動及參數(shù)變化時，系統(tǒng)能夠快速跟蹤響應(yīng)，消除擾動對轉(zhuǎn)速的影響，跟蹤性能基本不受影響，表明了本文所提出的方案是有效的，跟蹤控制精度高、魯棒性強。

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