尹維龍，田東奎

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所，150080 哈爾濱）

柔性翼型的氣動(dòng)彈性建模與顫振特性分析

尹維龍，田東奎

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所，150080 哈爾濱）

運(yùn)用Hamilton原理推導(dǎo)了柔性翼型的沉浮－俯仰－弦向彎曲三自由度運(yùn)動(dòng)方程，給出了考慮弦向彎曲變形的平板薄翼作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)非定常氣動(dòng)力的解析表達(dá)式，建立了柔性翼型的氣動(dòng)彈性模型.在此基礎(chǔ)上，研究了柔性平板薄翼的顫振特性.結(jié)果表明:對(duì)于平板薄翼而言，單一的弦向彎曲運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的.對(duì)于給定的沉浮和俯仰振動(dòng)頻率，平板薄翼的顫振速度和其弦向彎曲振動(dòng)頻率有著很大關(guān)系.當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率小于俯仰振動(dòng)頻率時(shí)，發(fā)生顫振的是弦向彎曲分支，顫振速度遠(yuǎn)小于沉?。┭鼋?jīng)典模型的預(yù)測(cè)值;當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率為俯仰的2.5倍時(shí)，弦向彎曲和俯仰分支同時(shí)發(fā)生顫振;當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率大于俯仰的2.5倍時(shí)，發(fā)生顫振的分支轉(zhuǎn)為俯仰;當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率大于俯仰的5倍時(shí)，沉浮－俯仰－弦向彎曲模型與傳統(tǒng)二自由度模型的預(yù)測(cè)值幾乎相等.

柔性翼型;氣動(dòng)彈性;弦向彎曲;顫振;非定常氣動(dòng)力

氣動(dòng)彈性問(wèn)題幾乎伴隨著航空飛行器發(fā)展的全過(guò)程，尤其在現(xiàn)代飛機(jī)的設(shè)計(jì)過(guò)程中占有非常重要的地位［1］.從早期的二元機(jī)翼－舵面系統(tǒng)［2］到今天的大展弦比復(fù)合材料柔性機(jī)翼［3－5］，氣動(dòng)彈性問(wèn)題的分析方法越來(lái)越成熟，分析手段也越來(lái)越豐富，但在氣動(dòng)彈性的分析過(guò)程中，研究人員一直沿用“機(jī)翼剖面本身是剛性的”這樣的一個(gè)假設(shè)條件.對(duì)于傳統(tǒng)飛行器而言，機(jī)翼的中央翼段和控制面(包括副翼和前、后緣襟翼)沿著翼弦方向的剛度是非常大的，這個(gè)假設(shè)條件是可以滿足的.

近些年來(lái)，隨著智能材料和柔性結(jié)構(gòu)技術(shù)的快速發(fā)展，機(jī)翼不但在翼展方向的剛度設(shè)計(jì)越來(lái)越趨向于柔性化，而且在翼弦方向的剛度也越來(lái)越低，如NASA的任務(wù)自適應(yīng)機(jī)翼［6］.柔性自適應(yīng)機(jī)翼主要依靠機(jī)翼翼面自身的變形來(lái)改變機(jī)翼彎度和扭轉(zhuǎn)角，以提供幾乎理想的機(jī)翼彎度形狀.該機(jī)翼已安裝在F－111上進(jìn)行了多次飛行驗(yàn)證，效果良好.隨后，又出現(xiàn)多種不同結(jié)構(gòu)形式的柔性控制面［7－10］.由于柔性控制面的引入，機(jī)翼弦向彎曲剛度急劇降低，弦向的彎曲變形對(duì)機(jī)翼氣動(dòng)彈性問(wèn)題的影響愈來(lái)愈顯著.傳統(tǒng)的氣動(dòng)彈性模型已不能適用于這類機(jī)翼了，不得不考慮機(jī)翼弦向彎曲剛度的影響.R.Palacios等［11－12］研究了弦向彎曲變形對(duì)機(jī)翼靜氣動(dòng)彈性變形的影響，但關(guān)于考慮弦向彎曲自由度在內(nèi)的柔性翼型和機(jī)翼的動(dòng)氣動(dòng)彈性問(wèn)題的研究還比較少.本文主要建立了柔性翼型(是指弦向柔性的翼型)的氣動(dòng)彈性模型，進(jìn)而研究弦向彎曲剛度對(duì)二元翼段顫振特性的影響.

1 結(jié)構(gòu)模型

柔性翼型的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示.弦長(zhǎng)為2b，來(lái)流速度為V.翼型的沉浮位移為h(向下為正)，俯仰角度為α(抬頭為正)，弦向彎曲形函數(shù)為ψ，彎曲位移為β(上彎為正)，剛心距離位于翼弦中點(diǎn)后ab處.此結(jié)構(gòu)模型包含沉浮和俯仰兩個(gè)剛體自由度和弦向彎曲自由度.

圖1 柔性翼型的結(jié)構(gòu)模型

翼段上任一點(diǎn)的位移為

整個(gè)翼段的動(dòng)能變分為

整個(gè)翼段的勢(shì)能包括拉伸彈簧儲(chǔ)存的勢(shì)能、扭轉(zhuǎn)彈簧儲(chǔ)存的勢(shì)能和弦向彎曲變形所儲(chǔ)存的勢(shì)能.

式中:Kh為拉伸彈簧系數(shù);Kα為扭簧的彈簧系數(shù);Kβ為等效的弦向彎曲剛度系數(shù).

勢(shì)能變分為

氣動(dòng)力所作功的變分為

運(yùn)用Hamilton原理，推導(dǎo)二元翼段的運(yùn)動(dòng)方程.Hamilton原理的表達(dá)式為

代入式(2)，整理得到二元翼段的運(yùn)動(dòng)方程為

式中:Δp為壓差.

2 氣動(dòng)模型

在機(jī)翼顫振分析時(shí)需要利用非定?？諝鈩?dòng)力模型.Theodorsen在20世紀(jì)30年代末給出了二元平板機(jī)翼作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)非定常氣動(dòng)力的解析表達(dá)式，推導(dǎo)過(guò)程中假定翼型剖面本身是剛性的.

考慮弦向彎曲變形的影響，則二元平板薄翼作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)旋渦對(duì)平板上任一點(diǎn)的誘導(dǎo)速度為

將式(1)代入式(3)，得

由文獻(xiàn)［13］可以推導(dǎo)出沉?。┭觯蚁驈澢杂啥榷桨灞∫碜骱?jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)非定常氣動(dòng)力的解析表達(dá)式.對(duì)于等厚平板薄翼，弦向彎曲振動(dòng)的形函數(shù)可取為2次曲線，即

當(dāng)機(jī)翼作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即

則非定常廣義氣動(dòng)力為

式中:μ=m/(πρa(bǔ)b2)為質(zhì)量比;C(k)為Theodorsen 函數(shù);k= ωb/V 為減縮頻率，Lh、Lα、Mh、Mα分別為輔助系數(shù)［15］.

3 分析方法

V-g法是顫振分析使用最廣泛的方法之一.在這個(gè)方法中，需要引入人工結(jié)構(gòu)阻尼，即

式中:gh、gα、gβ分別為人為引入的沉浮、俯仰和弦向彎曲自由度的人工結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù).

取 gh=gα=gβ=g，則有

求解式(4)的特征值問(wèn)題，可以得出顫振頻率和顫振速度.

4 結(jié)果討論

對(duì)于平板薄翼，主要考慮3個(gè)自由度，即:沉浮、俯仰和弦向彎曲.單個(gè)自由度的人工結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為

圖2為平板薄翼單個(gè)自由度的V-g曲線.其中，g為無(wú)量綱阻尼系數(shù).由圖2可以看出，對(duì)于平板薄翼而言，沉浮和俯仰運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，而弦向彎曲運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的.

圖2 單個(gè)自由度的V-g曲線

由gβ=0，得出弦向彎曲運(yùn)動(dòng)的顫振臨界減縮頻率和速度為

式中:kF≈1.07.

由式(5)可知，平板薄翼弦向彎曲運(yùn)動(dòng)的顫振臨界速度是和其彎曲振動(dòng)頻率成正比的.

圖3為由沉?。┭鰵鈩?dòng)彈性模型得到的平板薄翼V-g曲線.可以看出，由經(jīng)典氣動(dòng)彈性模型所預(yù)測(cè)的平板薄翼無(wú)量綱顫振速度為2.18，發(fā)生顫振的是俯仰(也稱為扭轉(zhuǎn))分支.

圖3 平板薄翼V-g和V-ω圖(Rh=0.5)

圖4為不同弦向彎曲剛度的平板薄翼顫振速度隨著弦向彎曲振動(dòng)頻率的變化曲線.可以看出，當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率小于俯仰振動(dòng)頻率時(shí)，機(jī)翼的無(wú)量綱顫振速度是隨著弦向彎曲頻率的增加而增加的.當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率小于沉浮振動(dòng)振動(dòng)頻率時(shí)，沉?。蚁驈澢Ｐ团c沉?。┭觯蚁驈澢Ｐ偷姆治鼋Y(jié)果很接近，此時(shí)俯仰自由度可以忽略.

圖4 顫振速度隨弦向彎曲振動(dòng)頻率變化曲線圖(Rh=0.5)

V-g圖中的顫振分支在顫振點(diǎn)處的斜率反映了顫振的突發(fā)程度，曲線斜率越大，表示顫振的突發(fā)性越大.從圖4中可以看出，當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率小于俯仰振動(dòng)頻率時(shí)，弦向彎曲分支在顫振點(diǎn)處的斜率比較大，也就是說(shuō)，發(fā)生顫振的突發(fā)性比較大.

對(duì)于平板薄翼而言，如果要求弦向彎曲剛度的降低不影響機(jī)翼的顫振速度(即由沉?。┭鰞勺杂啥饶Ｐ退A(yù)測(cè)的結(jié)果)的話，那么弦向彎曲振動(dòng)頻率不能低于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的2.6倍(即圖4中實(shí)黑線與虛線交叉點(diǎn)的橫坐標(biāo)值).否則，由于弦向彎曲剛度的降低，機(jī)翼的顫振速度將隨之降低.因此，柔性自適應(yīng)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中要綜合考慮弦向彎曲剛度的影響.

4 結(jié)論

1)對(duì)于平板薄翼而言，單一的弦向彎曲運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，其顫振臨界速度是和其彎曲振動(dòng)頻率成正比的.

2)當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率小于俯仰振動(dòng)頻率時(shí)，發(fā)生顫振的是弦向彎曲分支，且該分支發(fā)生顫振的突發(fā)性比較大;顫振速度是隨著弦向彎曲頻率的增加而增加的.

3)當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率接近俯仰振動(dòng)頻率時(shí)，發(fā)生顫振的仍然是弦向彎曲分支，顫振速度急劇降低，但顫振的突發(fā)性變小了.

4)當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率高于俯仰振動(dòng)頻率的2～3倍時(shí)，沉?。┭觯蚁驈澢Ｐ退A(yù)測(cè)的顫振速度略高于沉?。┭瞿Ｐ偷念A(yù)測(cè)值;當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率為俯仰振動(dòng)頻率的2.5倍時(shí)，弦向彎曲和俯仰分支同時(shí)發(fā)生顫振，但俯仰分支發(fā)生顫振的突發(fā)性更大;當(dāng)弦向彎曲振動(dòng)頻率大于俯仰振動(dòng)頻率的2.5倍時(shí)，發(fā)生顫振的分支轉(zhuǎn)為俯仰.

5)弦向彎曲頻率大于俯仰頻率的5倍時(shí)，發(fā)生顫振的是俯仰分支，顫振速度逼近沉?。┭瞿Ｐ偷念A(yù)測(cè)值，可以不考慮弦向彎曲自由度的影響.

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Aeroelastic modeling and flutter characteristics of flexible aerofoil

YIN Wei-long，TIAN Dong-kui

(Center for Composite Materials and Structures，Harbin Institute of Technology，150080 Harbin，China)

The governing differential equations of motion for flexible aerofoil，which is coupled with plunge，pitch，and camber bending motions，were derived by using the Hamilton's principle.The nonlinear aerodynamic forces of oscillating thin aerofoil were given with consideration of camber bending.The two-dimensional aeroelastic model of flexible aerofoil was presented and the flutter characteristics of flexible thin aerofoil were investigated.Numerical results show that the single camber bending motion is instability.When the characteristic frequencies of pitch and plunge modes are given，the flutter velocity is powerfully affected by the characteristic frequency of camber bending mode.When the characteristic frequency of camber bending mode is less than one of pitch mode，the flutter is dominated by the camber bending mode and the flutter velocity is much lower than one given by the classical pitch-plunge coupled model.When the ratio of characteristic frequencies of camber bending and plunge modes is 2.5，the flutter is dominated by the camber bending and plunge modes.When the ratio is greater than 2.5，it is dominated by the plunge mode.When the ratio is greater than 6.0，the pitch-plunge-camber bending coupled aeroelastic model is agreed with the pitch-plunge model.

flexible aerofoil;aeroelastic;camber bending;flutter;nonlinear aerodynamic forces

V215.3

A

0367－6234(2012)09－0069－04

2011－10－12.

高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20102302120032);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(HIT.NSRIF.2012028).

尹維龍(1980—)，男，博士，副教授.

尹維龍，yinweilongbj@sina.com.

(編輯 張 紅)