高 岱，呂建婷，王本利

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，150080 哈爾濱;2.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，150080 哈爾濱）

多剛體滑模姿態(tài)協(xié)調(diào)控制

高 岱1，呂建婷2，王本利1

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，150080 哈爾濱;2.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，150080 哈爾濱）

本文研究了多剛體分布式姿態(tài)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題.基于圖論和滑模控制理論，針對(duì)修正羅德里格參數(shù)描述的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了滑模姿態(tài)協(xié)調(diào)控制律.首先引入圖拉普拉斯矩陣，采用Lyapunov穩(wěn)定性分析方法設(shè)計(jì)了滑模面.然后在干擾存在時(shí)設(shè)計(jì)了滑模姿態(tài)控制算法，并在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定存在時(shí)研究了控制算法的魯棒性.最后對(duì)給出的算法進(jìn)行了數(shù)值仿真，其結(jié)果驗(yàn)證了所提出的多剛體滑模姿態(tài)協(xié)調(diào)控制算法的可行的、有效的.

分布式控制;姿態(tài)協(xié)調(diào);滑?？刂?/p>

多剛體分布式姿態(tài)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題是當(dāng)前的一個(gè)研究熱點(diǎn)，已引起國(guó)內(nèi)外的廣泛關(guān)注.典型的姿態(tài)協(xié)調(diào)控制目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)姿態(tài)同步和跟蹤，保證閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性.與傳統(tǒng)的集中式控制相比，分布式控制具有規(guī)模靈活、魯棒性強(qiáng)和便于維護(hù)等優(yōu)點(diǎn).

常用來(lái)研究一階或二階積分器系統(tǒng)的圖論方法最近已被用來(lái)分析多剛體的姿態(tài)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題.圖論中的拉普拉斯矩陣以及它的譜特征在一致性收斂分析中有重要的作用.與一階和二階積分器系統(tǒng)相比，非線性的多剛體姿態(tài)協(xié)調(diào)控制有著更實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也存在新的技術(shù)難題.文獻(xiàn)［1］在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為無(wú)向圖時(shí)，進(jìn)行了沒(méi)有絕對(duì)角速度和相對(duì)角速度反饋的姿態(tài)同步和跟蹤控制算法研究.文獻(xiàn)［2］考慮三種不同情況，在無(wú)向圖和有向圖情形進(jìn)行了分布式姿態(tài)同步問(wèn)題研究.文獻(xiàn)［3］考慮編隊(duì)航天器的相對(duì)軌道和姿態(tài)控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了分布式姿態(tài)控制律.文獻(xiàn)［1－3］均使用四元數(shù)對(duì)姿態(tài)進(jìn)行描述.文獻(xiàn)［4－6］采用修正羅德里格參數(shù)(MRP)進(jìn)行姿態(tài)描述，進(jìn)行了姿態(tài)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題的研究.文獻(xiàn)［4］分別考慮輸入受限、無(wú)角速度反饋及時(shí)變參考信號(hào)，給出了多剛體分布式姿態(tài)控制律，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)同步.文獻(xiàn)［5］研究了多剛體分布式姿態(tài)同步和跟蹤問(wèn)題.文獻(xiàn)［6］在控制律中引入圖拉普拉斯矩陣，給出了主從式的多剛體姿態(tài)協(xié)調(diào)控制算法.除了研究全狀態(tài)反饋和輸出反饋?zhàn)藨B(tài)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題，文獻(xiàn)［7－10］給出了存在干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定時(shí)的分布式姿態(tài)控制算法.文獻(xiàn)［7］給出了魯棒分布式姿態(tài)調(diào)節(jié)協(xié)調(diào)控制算法.文獻(xiàn)［8］針對(duì)網(wǎng)絡(luò)Euler-Lagrange系統(tǒng)，給出了分布式自適應(yīng)一致性算法.文獻(xiàn)［9］考慮了干擾抑制、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定問(wèn)題，針對(duì)主從式航天器編隊(duì)，進(jìn)行了姿態(tài)控制的研究.文獻(xiàn)［10］給出了魯棒姿態(tài)協(xié)調(diào)控制律，在干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定存在時(shí)保證了閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性.

本文首先給出剛體動(dòng)力學(xué)方程以及由修正羅德里格參數(shù)描述的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，以及誤差方程和Euler-Lagrange形式的等價(jià)方程.然后介紹了圖論的相關(guān)知識(shí).之后針對(duì)多剛體的姿態(tài)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題，考慮網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涫菬o(wú)向的情況，在干擾和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定存在時(shí)，采用滑?？刂品椒ǎO(shè)計(jì)了滑模面和分布式滑模姿態(tài)協(xié)調(diào)控制律.本文滑模面的選取沒(méi)有采用一般形式，在設(shè)計(jì)時(shí)考慮了相對(duì)姿態(tài).通過(guò)Lyapunov穩(wěn)定性分析，證明閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的.最后對(duì)提出的算法進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明了所設(shè)計(jì)的控制算法是行之有效的.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程

考慮第i個(gè)剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

由MRP描述的剛體非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

1.2 誤差系統(tǒng)

定義誤差姿態(tài)δσi，即編隊(duì)中的每個(gè)剛體的當(dāng)前姿態(tài)σi與期望姿態(tài)σdi間的偏差，和誤差姿態(tài)角速度 δωi為

這里 ωdi為期望姿態(tài)角速度，R(δσi)=R(σi)R(σdi)T為期望坐標(biāo)系到本體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣.這里有

由式(1)、(2)和(4)得到剛體誤差動(dòng)力學(xué)方程為

定義 Fi=Fi(δσi)=G(δσi)，將(4)代入(6)整理得到如下方程:

方程(7)具有如下兩個(gè)重要的性質(zhì):

2 圖論基礎(chǔ)

圖Gn是由非空的節(jié)點(diǎn)集N={1，2，…，n}與邊集E∈N×N組成，可記為Gn=(N，E).

有向圖，邊是有向的，邊(i，j)∈E表示第j個(gè)節(jié)點(diǎn)能夠得到第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息，反之不必成立.

無(wú)向圖，邊(i，j)表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)和第個(gè)j節(jié)點(diǎn)能夠互相得到對(duì)方的信息，無(wú)向圖是有向圖的一個(gè)特例.

圖Gn的鄰接矩陣A=［aij］∈Rn×n定義為

對(duì)于帶權(quán)的鄰接矩陣A中的元素aij定義為:當(dāng)(j，i)∈E時(shí)，aij＞ 0，否則aij=0.圖Gn的拉普拉斯矩陣L= ［lij］∈ Rn×n定義為

當(dāng)圖為無(wú)向圖時(shí)，拉普拉斯矩陣L為對(duì)稱半正定的.

如果無(wú)向圖中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都有一條邊將其連通，則稱該圖是連通的.

3 姿態(tài)協(xié)調(diào)控制律設(shè)計(jì)

下面基于圖論和滑?？刂品椒ㄑ芯慷鄤傮w姿態(tài)協(xié)調(diào)控制.首先采用Lyapunov穩(wěn)定性分析方法設(shè)計(jì)了滑模面.然后在干擾存在時(shí)設(shè)計(jì)了滑模姿態(tài)控制算法，并在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定存在時(shí)研究了控制算法的魯棒性.剛體間的通信拓?fù)溆脠DGn來(lái)表示，這里考慮網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涫菬o(wú)向的情況.為了說(shuō)明下面的結(jié)果，令Ni?{1，…，n}{i}表示與剛體i通信的所有剛體的集合.

3.1 滑模面的設(shè)計(jì)

定理1 選擇滑模面si為

當(dāng) si→ 0，無(wú)向圖被連通時(shí)有 σi→ σdi，σi(t)－ σj(t)→σdij，ωi→ωdi，ωi(t)－ωj(t)→ωdij，t→∞.這里ki為大于0的標(biāo)量，aij是圖Gn的鄰接矩陣A的元素，σdij和ωdij分別為期望的相對(duì)姿態(tài)和相對(duì)姿態(tài)角速度.

證明 選取Lyapunov函數(shù)

計(jì)算V對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，得到

因?yàn)?L?I3)是半正定的，當(dāng)(L?I3)δσ→0，有 Lδσ1→ Lδσ2→ Lδσ3，這里 δσ1，δσ2，δσ3∈Rn.當(dāng)無(wú)向圖連通，有 δσi→ δσj.因此可以得到δσi(t)→ δσj(t)→ 0，t→ ∞ 時(shí)，即 σi→ σdi，σi(t)－σj(t)→σdij，進(jìn)一步有ωi→ωdi，ωi(t)－ωj(t)→ ωdij.

3.2 滑模控制律設(shè)計(jì)

假設(shè)1 干擾是有界的‖di‖≤dmax.

定理2 考慮由式(4)、(6)描述的系統(tǒng)，在干擾存在下，設(shè)計(jì)滑?？刂坡蓇i為

其中ksij為三維對(duì)角正定陣Ksi對(duì)角線上的元素，滿足 Ksil＞ 2dmax，l=1，2，3.如果無(wú)向圖被連通，則有σi→σdi，σi(t)－σj(t)→σdij，ωi→ωdi，ωi(t)－ ωj(t)→ ωdij，當(dāng) t→ ∞.sgn(s)=［sgn(s1)sgn(s2)sgn(s3)］T，sgn(sl)為符號(hào)函數(shù)，aij是鄰接矩陣A的元素.

證明 對(duì)第i個(gè)剛體，選取Lyapunov函數(shù)

計(jì)算Vi對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，得到

考慮性質(zhì)2，并將控制律代入(16)，得

當(dāng)ksil＞2dmax|時(shí)，有＜0.

在實(shí)際中，由于慣性的存在、控制受限及各種非理想因素，滑模運(yùn)動(dòng)存在抖振，這里用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)來(lái)減小抖振，飽和函數(shù)定義如下

這里δ＞0.

3.3 魯棒性研究

設(shè)計(jì)滑?？刂破鱱i為

ksil＞|Δg|il，如果無(wú)向圖是連通的，對(duì)于式(4)、(6)描述的系統(tǒng)，有σi→σdi，σi(t)－σj(t)→σdij，ωi→ωdi，ωi(t)－ ωj(t)→ωdij，當(dāng)t→∞.

這里

證明 對(duì)第i個(gè)剛體，選取Lyapunov函數(shù)

計(jì)算Vi對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，得到

當(dāng)條件ksil＞|Δgil|滿足時(shí)，可以看出，當(dāng)有＜0成立.類似的，可以得到σi→σdi，σi(t)－σj(t)→ σdij，ωi→ωdi，ωi(t)－ ωj(t)→ ωdij，當(dāng)t→∞.

4 數(shù)學(xué)仿真

為驗(yàn)證本文所提出的控制算法的可行性和有效性，考慮6個(gè)剛體組成的系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證，通信拓?fù)淙鐖D1所示.

圖1 6個(gè)剛體間的拓?fù)潢P(guān)系

簡(jiǎn)單起見(jiàn)，選取仿真參數(shù)如下所示.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

初始姿態(tài)和姿態(tài)角速度為

期望的角速度為

和 σdi= ［0 0 0］T.

三軸干擾力矩為

滑模控制器參數(shù)選取為

數(shù)學(xué)仿真結(jié)果如圖所示.第1，3，5個(gè)剛體的姿態(tài)σi、姿態(tài)角速度ωi和控制輸出力矩ui變化曲線分別如圖2～4所示.由仿真結(jié)果可以看出，干擾存在時(shí)，控制方案能很好地完成多剛體的姿態(tài)控制任務(wù)，實(shí)現(xiàn)了控制目標(biāo)，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性.

圖2 MRP變化曲線

圖3 姿態(tài)角速度變化曲線

圖4 控制力矩變化曲線

當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大15%時(shí)，第1，3，5個(gè)剛體的姿態(tài)、姿態(tài)角速度曲線分別如圖5、6所示.

圖5 MRP變化曲線

圖6 姿態(tài)角速度變化曲線

由圖可以看出，所設(shè)計(jì)的滑?？刂品桨冈诟蓴_存在時(shí)能夠較好地完成多剛體的姿態(tài)控制任務(wù)，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)變化具有魯棒性.

5 結(jié)論

本文研究了多剛體的分布式姿態(tài)協(xié)調(diào)控制問(wèn)題.針對(duì)MRP描述的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)，給出了多剛體的滑模姿態(tài)協(xié)調(diào)控制算法.通過(guò)Lyapunov分析證明了多剛體的全局漸近穩(wěn)定性.仿真結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的控制方案很好地實(shí)現(xiàn)了多剛體的姿態(tài)同步和跟蹤.

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Sliding mode coordinated attitude control for multiple rigid bodies

GAO Dai1，LU Jian-ting2，WANG Ben-li1

(1.Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，150080 Harbin，China;2.School of Mathematical Science，Heilongjiang University，150080 Harbin，China)

The problem of distributed coordinated attitude control for multiple rigid bodies is addressed in this paper.Based on graph theory and sliding mode control theory，a sliding mode coordinated attitude control law aiming at the attitude tracking control system described by the Modified Rodrigues Parameters is proposed.First the sliding surface is designed by introducing graph Laplacian matrix and using Lyapunov stability analysis method.Then the sliding mode attitude control algorithms for multiple rigid bodies with external disturbances are designed，and the robustness of the control algorithm is studied in the presence of uncertainty inertia.Finally，numerical simulations of the algorithms are given.The results show that the sliding mode coordinated attitude control algorithm for multiple rigid bodies is feasible and effective.

distributed control;attitude coordination;sliding mode control

V448.2

A

0367－6234(2012)09－0034－06

2011－07－16.

高 岱(1974—)男，博士;

王本利(1944—)男，教授，博士生導(dǎo)師.

高 岱，mackingtosh@gmail.com.

(編輯 苗秀芝)