趙 陽，王 坤

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，150001 哈爾濱）

復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)預(yù)示的能量方法

趙 陽，王 坤

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，150001 哈爾濱）

針對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)分析，利用彈簧質(zhì)量系統(tǒng)對模糊結(jié)構(gòu)進行建模，建立了帶有附加模糊結(jié)構(gòu)的桿和梁的運動控制方程，在此基礎(chǔ)上，進一步推導(dǎo)了能量密度的控制方程，以能量密度為輸出響應(yīng)進行了結(jié)構(gòu)振動的仿真分析.仿真結(jié)果顯示，模糊結(jié)構(gòu)對結(jié)構(gòu)振動能量密度響應(yīng)的影響在其固有頻率附近最大，這種影響通過模糊結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的隨頻率變化的等效質(zhì)量實現(xiàn)，在模糊結(jié)構(gòu)固有頻率以內(nèi)的低頻域，等效質(zhì)量為正，降低了結(jié)構(gòu)振動的能量密度響應(yīng)，在高于固有頻率的頻域內(nèi)，等效質(zhì)量為負值，使得結(jié)構(gòu)的能量密度響應(yīng)增大.

模糊結(jié)構(gòu);能量密度;振動響應(yīng)預(yù)示

各種工程結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)分析一直是很重要的問題，有限元法作為成熟的技術(shù)，在振動分析領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.由于有限元法的計算成本會隨著頻率的升高而增大，因此并不適用于高頻領(lǐng)域.為解決高頻域的聲振預(yù)示問題，Lyon［1－2］提出了新的振動分析方法——統(tǒng)計能量分析.自此，基于能量的振動分析方法得到了長足發(fā)展，Nefske和Sung［3］在分析梁結(jié)構(gòu)的振動時，利用能量密度作為變量得到了結(jié)構(gòu)振動的另一種形式的控制方程——能量密度控制方程，此方法經(jīng)過 Bouthier［4－5］和 Cho［6］等人的推廣，通過與有限元技術(shù)結(jié)合，發(fā)展成為實用的能量預(yù)示方法，被稱為能量有限元法.Xiaoyan Yan針對復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)推導(dǎo)了能量密度控制方程［7］.Sung-Min Lee則利用能量有限元法與周期理論相結(jié)合，計算了旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)的響應(yīng)并進行了實驗驗證［8］.與有限元技術(shù)的結(jié)合使其可以得到比統(tǒng)計能量分析更為精細的結(jié)果，另一方面，由于以平均化的能量密度為變量，大大減小了計算成本.此預(yù)示方法在結(jié)構(gòu)振動分析領(lǐng)域具有很好的應(yīng)用前景與實用價值.

針對實際結(jié)構(gòu)進行聲振響應(yīng)分析時，結(jié)構(gòu)的建模面臨著一些困難.這是由于實際工程結(jié)構(gòu)一般比較復(fù)雜，在主結(jié)構(gòu)之外還有許多附加結(jié)構(gòu)，這些附加結(jié)構(gòu)在一定程度上改變了主結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，但由于難以建立精確模型，傳統(tǒng)的處理方法經(jīng)常忽略這些內(nèi)部結(jié)構(gòu)，或者作為固結(jié)的附加質(zhì)量處理.為了研究附加結(jié)構(gòu)對主結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的影響，Soize［9］將可建模的主要部分稱為主結(jié)構(gòu)，與主結(jié)構(gòu)相連的附加結(jié)構(gòu)定義為模糊結(jié)構(gòu)，研究了模糊結(jié)構(gòu)對于主結(jié)構(gòu)的阻抗特性.Pierce等［10］在對Soize的理論進行簡化的基礎(chǔ)上，從聲振角度分析了附加結(jié)構(gòu)的影響.本文將模糊結(jié)構(gòu)理論引入能量預(yù)示方法，從振動響應(yīng)的能量密度出發(fā)，以桿和梁結(jié)構(gòu)為研究對象，研究了帶有附加模糊結(jié)構(gòu)的桿和梁振動的能量密度響應(yīng)的特點.

1 桿結(jié)構(gòu)的振動建模

模糊結(jié)構(gòu)的精確建模是一個十分復(fù)雜的問題，從動力學(xué)角度來看，模糊結(jié)構(gòu)的組成要素為質(zhì)量、剛度和阻尼，因此可以利用彈簧質(zhì)量系統(tǒng)進行建模.由此，圖1所示的桿結(jié)構(gòu)滿足的動力學(xué)方程為［11］

式中:F為桿內(nèi)力，j為虛數(shù)單位，x表示桿的坐標，ω為激振頻率，m'表示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)量，ω0表示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的自然頻率，E為桿的彈性模量，S為截面積，vs表示桿振動的速度.

圖1 帶彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的桿或梁

由方程(1)和方程(2)，以速度為變量的桿的運動控制方程

方程的通解為

式中:U(x，t)表示位移，t表示時間，A和B為待定系數(shù)，由邊界條件確定.

式中:ν=ω/ω0為激振頻率與主結(jié)構(gòu)桿的固有頻率之比，k0為主結(jié)構(gòu)桿的縱向振動波數(shù).

桿運動的勢能和動能分別為

則桿運動的總能量為

桿內(nèi)力的功率

對變量進行平均，可以得到功率與能量密度的關(guān)系式

利用能量平衡方程［4］，可以得到帶模糊結(jié)構(gòu)的桿的能量密度控制方程為

式中:c為桿結(jié)構(gòu)的波群速度，η為阻尼系數(shù)，e為桿中時間和空間平均的能量密度.此控制方程在形式上與文獻［3］中無附加結(jié)構(gòu)桿的能量密度控制方程相同，需要注意的是，由于此控制方程在推導(dǎo)過程中考慮了附加模糊結(jié)構(gòu)的影響，式(5)中的波速不同于文獻［3］中的波速，它引入了附加模糊結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，并直接影響到了能量密度響應(yīng).

2 梁結(jié)構(gòu)的振動建模

同樣利用圖1所示結(jié)構(gòu)，梁受到模糊結(jié)構(gòu)的作用力為

式中:w為梁的橫向振動位移，Z為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的基礎(chǔ)激勵阻抗.

則運動方程變?yōu)?/p>

式中:kb0為主結(jié)構(gòu)梁的彎曲振動波數(shù).

得到帶模糊結(jié)構(gòu)的梁的運動控制方程:

式中:ζ=ω/ω0為激振頻率與主結(jié)構(gòu)梁的固有頻率之比，等效波數(shù)

Russel給出了具有以上形式的運動控制方程，并指出梁結(jié)構(gòu)與板結(jié)構(gòu)的運動方程具有相同形式［12］.本研究針對梁結(jié)構(gòu)，在此運動方程的基礎(chǔ)上推導(dǎo)能量密度的控制方程.

方程通解形式為

式中:A、B、C和D表示待定系數(shù)，通過邊界條件確定.

梁中的功率為

梁結(jié)構(gòu)運動的勢能和動能分別為

同樣利用能量平衡關(guān)系，對變量進行平均化，可以得到功率與能量密度的關(guān)系式

及帶模糊結(jié)構(gòu)梁的能量密度控制方程

式中:c為梁結(jié)構(gòu)的波群速度，η為阻尼系數(shù)，e為梁中時間和空間平均的能量密度.

可以看到，帶模糊結(jié)構(gòu)的梁振動的能量密度控制方程與帶模糊結(jié)構(gòu)的桿的能量密度控制方程具有相同的形式.并且與簡單結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程相同的形式，這樣，已有的能量控制方程的解法可以直接得到應(yīng)用.

3 仿真分析

針對附加模糊結(jié)構(gòu)對主結(jié)構(gòu)運動的影響，在模糊結(jié)構(gòu)質(zhì)量與主結(jié)構(gòu)質(zhì)量之比為0.01、0.05和0.10時，進行數(shù)值仿真，得到了桿和梁結(jié)構(gòu)中點位置波速和能量密度響應(yīng)隨頻率的變化.桿彈性模量E=5 000 N/m2，長 L=1 m，阻尼 η =0.01，線密度 ρS=2 300 kg/m梁的抗彎剛度EI=7 200 Nm2，長 L=1 m，阻尼 η =0.01，線密度 ρS=3 200 kg/m.

圖2和圖3分別顯示了帶有模糊結(jié)構(gòu)的桿的波速與能量密度響應(yīng)與頻率的關(guān)系.由圖2，由于模糊結(jié)構(gòu)的存在，桿結(jié)構(gòu)波速c在低頻段減小，但幅度較小，隨著頻率的升高，在接近模糊結(jié)構(gòu)共振頻率ω0時，變化幅度變大，并在ω0附近發(fā)生急劇變化，波速c由極小值變?yōu)闃O大值，并隨著頻率的進一步升高而降低，最終趨于無模糊結(jié)構(gòu)桿的波速c0.圖3顯示桿的能量密度e由于模糊結(jié)構(gòu)的存在，在低頻段變大，并隨著頻率的升高而繼續(xù)增大，在模糊結(jié)構(gòu)共振頻率ω0附近由極大值變?yōu)闃O小值，隨后隨著頻率的升高而回升，逐漸趨向于無模糊結(jié)構(gòu)桿的能量密度響應(yīng)值e0.模糊結(jié)構(gòu)質(zhì)量分數(shù)大的桿，在達到固有頻率之前，波速c減小幅值更大，能量密度e的增加幅值更大，在固有頻率之后波速c增大的幅值更大，能量密度e減小的幅值更大.

圖2 桿的波速隨頻率變化圖

圖3 桿的能量密度隨頻率變化圖

圖4和圖5是帶模糊結(jié)構(gòu)的梁的波速和能量密度響應(yīng)隨頻率變化情況.跟桿結(jié)構(gòu)的趨勢相似，梁結(jié)構(gòu)的波速c在低頻域因模糊結(jié)構(gòu)影響而減小，在頻率到達模糊結(jié)構(gòu)固有頻率ω0前達到極小值，隨后急劇改變達到極大值，隨著頻率的進一步升高，波速趨向于主結(jié)構(gòu)梁的波速c0，梁的能量密度e則是在低頻域逐漸增大，經(jīng)過ω0后變?yōu)闃O小值，以后繼續(xù)增大并趨向于e0.模糊結(jié)構(gòu)質(zhì)量分數(shù)大的梁，在達到模糊結(jié)構(gòu)固有頻率前，波速c增加的幅值更大，能量密度響應(yīng)e的減小幅值更大，在固有頻率之后波速c減小的幅值更大，能量密度e增加的幅值更大.

圖4 梁的波速隨頻率變化圖

圖5 梁的能量密度隨頻率變化圖

4 結(jié)論

通過對帶有附加模糊結(jié)構(gòu)的桿和梁的振動的能量密度響應(yīng)分析可以發(fā)現(xiàn)，模糊結(jié)構(gòu)的存在引起了主結(jié)構(gòu)的運動控制方程參數(shù)的變化，其對桿和梁結(jié)構(gòu)能量密度響應(yīng)的影響在固有頻率附近最大，這種影響通過對波速的改變來實現(xiàn)，結(jié)構(gòu)波速c的增大降低了結(jié)構(gòu)的能量密度響應(yīng)e，波速的減小則增大了能量密度響應(yīng)值.波速c的改變反映的是結(jié)構(gòu)等效質(zhì)量的改變，因此，模糊結(jié)構(gòu)對主結(jié)構(gòu)的影響實際是產(chǎn)生對主結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量實現(xiàn)的.對于桿和梁結(jié)構(gòu)，以帶無阻尼模糊結(jié)構(gòu)的桿為例，利用前文得到的波數(shù)表達式，桿的波速為

波速在模糊結(jié)構(gòu)固有頻率以內(nèi)的低頻域，隨著激振頻率的升高，頻率比 ν＜1，因此(m'/ρS)/(1－ν2)項為正，且不斷增大，對于波速而言，這跟模糊質(zhì)量m'為正且不斷增大產(chǎn)生的效果相同，因此降低了結(jié)構(gòu)振動的能量密度響應(yīng)，在固有頻率之后，頻率比ν＞1，在此情況下，模糊結(jié)構(gòu)項(m'/ρS)/(1－ν2)為正，且絕對值不斷減小，對波速而言，等效于模糊質(zhì)量m'為負且絕對值不斷減小，這樣，主結(jié)構(gòu)振動的能量密度響應(yīng)相應(yīng)的增大，隨著頻率的繼續(xù)升高，等效質(zhì)量逐漸減小直至趨近于零.此等效質(zhì)量作為振動頻率的函數(shù)，其具體形式是一個難點，目前尚未見有深入研究，需要在未來工作中作進一步探討.

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Vibration response prediction for the complex structures using energy method

ZHAO Yang，WANG Kun

(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

Rod and beam with fuzzy structures is modeled using sprung mass system to analyze vibro-acoustic responses of complex structures.Energy density is used as response method to simulate the structural vibration，and the simulation indicates that the fuzzy structures affect the master structure maximally around the natural frequency of the fuzzy structures.The effect acts as a frequency dependent equivalent mass.The equivalent mass is positive under the natural frequency of the fuzzy structure and negative over the frequency.The positive equivalent mass decreases，while the negative one increases the vibration energy density responses.

fuzzy structures;energy density;vibration response prediction

TB123

A

0367－6234(2012)09－0025－04

2011－08－04.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11072066).

趙 陽(1968—)，男，教授，博士生導(dǎo)師;

王 坤(1985—)，男，博士研究生.

王 坤，alacarte@163.com.

(編輯 苗秀芝)