譚常春， 鄧晴晴， 周 堯

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

基于delta方法泊松分布參數(shù)的近似信仰推斷

譚常春， 鄧晴晴， 周 堯

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

文章主要研究了Poisson分布參數(shù)λ的近似信仰推斷，利用對數(shù)變換后的估計量的漸近正態(tài)性對λ建立近似的樞軸方程，并得到其近似信仰分布和置信區(qū)間。模擬結(jié)果表明，近似信仰區(qū)間與Wald置信區(qū)間的平均長度幾乎無差異，但近似信仰置信區(qū)間覆蓋概率明顯優(yōu)于Wald置信區(qū)間的覆蓋概率。

Poisson分布；delta方法；近似信仰推斷；樞軸方程

泊松分布是最基本的離散分布，不僅在離散數(shù)據(jù)的分析處理中處于重要的地位，而且在管理科學(xué)、運籌學(xué)及自然科學(xué)等實際問題中有非常廣泛的 應(yīng) 用［1－3］。 目 前 多 數(shù) 利 用 Bayes 方 法［4］、Bootstrap方法［5］研究泊松分布參數(shù)的區(qū)間估計。

信仰推斷是Fisher在19世紀30年代初期引進的一種構(gòu)造區(qū)間估計的方法。其基本觀點是：設(shè)要作θ的區(qū)間估計，在抽樣得到樣本（X1，…，Xn）前，對θ一無所知，樣本（X1，…，Xn）透露了θ的一些信息，據(jù)此可以對θ取各種值給予不同的“信任程度”，而這可用于對θ作區(qū)間估計。這種方法不是基于傳統(tǒng)的概率思想，但對某些困難的統(tǒng)計問題，特別是著名的貝倫斯－Fisher問題，提供了簡單可行的解法。近年來，信仰推斷得到了迅速的發(fā)展，特別是利用樞軸方程得到的信仰推斷［6－8］，為小樣本提供了比較精確的推斷結(jié)果。但是能夠利用樞軸方法的只有某些具有特定性質(zhì)的連續(xù)性分布，離散分布的信仰分布研究比較少，目前只有二項分布的信仰推斷［9］。

本文利用近似的樞軸方程代替精確的方程，給出了Poisson分布的近似信仰推斷。對λ作對數(shù)變換（λ）＝ln（λ＋δ），由變換后函數(shù)（λ）的估計量（）的漸近正態(tài)性建立關(guān)于參數(shù)λ的近似樞軸方程，并且導(dǎo)出其近似信仰分布，由此分布構(gòu)造參數(shù)的置信區(qū)間。模擬研究表明，該區(qū)間比Wald置信區(qū)間有更好的小樣本頻率性質(zhì)。

1 Poisson分布的近似信仰分布及置信區(qū)間

設(shè)X1，…，Xn為i.i.d樣本，X1～P（λ），其中λ∈（0，＋∞），λ的矩估計和MLE估計＝，由MLE的漸近正態(tài)性：并應(yīng)用Slutsky定理得：

可以得到λ的100（1－α）%Wald置信區(qū)間為：

由于正態(tài)隨機變量取值在整個實軸上，而λ＞0，通過對λ作一個連續(xù)可導(dǎo)變換h（λ），使其取值于整個實數(shù)。而且上述Wald置信區(qū)間可能出現(xiàn)下限小于0，為避免出現(xiàn)這種情況，令h（λ）＝lnλ，由delta方法可得：

應(yīng)用Slutsky定理得：

對給定的α，可得：

在λ較小時，此置信區(qū)間覆蓋概率比較差。考慮到在λ接近0時，此置信區(qū)間不理想，對h（λ）進行截尾，令（λ）＝ln（λ＋δ），其中δ＝0.15×，δ的取值參照文獻［9］，而且根據(jù)模擬研究，這是一個較好的取法。由delta方法可知：

其中，η＝λ／（λ＋δ）2。

同理由Slutsky定理得：

由（2）式可以建立近似樞軸方程，即

解出λ，可得：

類似區(qū)間2的推導(dǎo)過程，可以得到100（1－α）%置信區(qū)間為區(qū)間3：

在給定 ｛Xk，k＝1，…，n｝ 后，Rλ的條件分布可以看作λ的一種近似信仰分布，區(qū)間3即為該近似信仰分布所對應(yīng)的等尾置信區(qū)間。

2 數(shù)據(jù)的模擬比較

在本節(jié)數(shù)據(jù)模擬中，取α＝0.05，模擬次數(shù)為10 000，n＝30時，截尾前后的近似信仰區(qū)間（為方便記，以下均寫為Fiducial置信區(qū)間）的覆蓋概率如圖1所示。

圖1 截尾前后的Fiducial置信區(qū)間的覆蓋概率比較

分別在n＝10、15、30、100時，模擬出參數(shù)λ的Wald置信區(qū)間與Fiducial置信區(qū)間的覆蓋概率，模擬結(jié)果如圖2所示。

圖2 Wald置信區(qū)間與Fiducial置信區(qū)間的覆蓋概率比較

由圖2可以得出，對于小樣本（n≤30），F(xiàn)iducial置信區(qū)間的覆蓋概率小于名義水平所對應(yīng)λ的個數(shù)，比Wlad置信區(qū)間的覆蓋概率小于名義水平所對應(yīng)λ的個數(shù)少。

對于小樣本，當λ接近0時，Wald區(qū)間的覆蓋概率基本上在名義水平之下，而近似信仰區(qū)間幾乎都在名義水平之上；當樣本量逐漸增加時，這2種區(qū)間的覆蓋概率趨近于名義水平。

由于Fiducial置信區(qū)間與Wald置信區(qū)間的覆蓋概率在樣本量趨于無窮時都趨于名義水平，因此在小樣本情況下比較兩者的表現(xiàn)。比較的標準是覆蓋概率CP（coverage probability）和平均長度AL（average length）。n＝15時，F(xiàn)iducial置信區(qū)間與Wald置信區(qū)間的平均長度的比較如圖3所示。

圖3 Fiducial置信區(qū)間與Wald置信區(qū)間平均長度比較

Fiducial置信區(qū)間與Wald置信區(qū)間的覆蓋概率和平均長度比較見表1所列。

表1 Fiducial置信區(qū)間與Wald置信區(qū)間比較

由圖3和表1可得，對于小樣本，從整體來看，F(xiàn)iducial區(qū)間長度和 Wald區(qū)間長度相差無幾。從局部來看，對于小樣本，雖然Fiducial區(qū)間相對Wald區(qū)間有一些保守，但是它的覆蓋概率更加可靠。樣本量越大，對每一個固定的λ，其區(qū)間長度越小。

3 結(jié)束語

本文研究了Poisson分布參數(shù)λ的近似信仰區(qū)間估計，由λ的對數(shù)變換~h（λ）＝ln（λ＋δ）的估計量~h（＾λ）的漸近正態(tài)性，結(jié)合delta方法構(gòu)造了λ的近似樞軸方程，導(dǎo)出其近似信仰分布，給出了它的等尾置信區(qū)間。模擬分析表明，對于小樣本，利用這種方法構(gòu)造的區(qū)間估計的覆蓋概率明顯高于Wald區(qū)間估計的覆蓋概率，而且這2種區(qū)間長度幾乎無差異。

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Approximate fiducial inference for the parameter of Poisson distribution based on delta method

TAN Chang－chun， DENG Qing－qing， ZHOU Yao
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

This paper mainly discusses the approximate fiducial inference of Poisson distribution with the parameterλ.An approximate pivotal equation aboutλis constructed based on the asymptotic normality of a logarithmic－transformed estimator.Then an approximate fiducial distribution and confidence interval of the Poisson parameter are obtained.The simulation results indicate that the average burst length of the approximate fiducial interval and the Wald confidence interval is almost the same，but the coverage probability of the approximate fiducial interval is obviously superior to the Wald confidence interval’s.

Poisson distribution；delta method；approximate fiducial inference；pivotal equation

O212.2

A

1003－5060（2012）03－0421－03

10.3969／j.issn.1003－5060.2012.03.030

2011－05－03；

2011－06－29

教育部重大專項資助項目（309017）；中央高校科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目（2011HGXJ1078）

譚常春（1977－），男，安徽廬江人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師.

（責任編輯 閆杏麗）