李 康，陳雪軍，劉 冰，胡湘江，石 湘

（中國衛(wèi)星海上測控部 江蘇 江陰 214431）

Contourlet變換[1]作為解決張量積小波變換角分辨有限問題而產(chǎn)生的一種二維信號多尺度幾何分析新工具，同時具備高度的方向性和極低的冗余度兩種特征，可以良好地刻畫二維信號中曲線奇異性，從而為圖像處理提供了新的有力工具。筆者對Contourlet域隱馬爾可夫模型（HMT）圖像去噪方法[2]進(jìn)行了深入的研究，并將Cycle Spinning[3]引入到去噪得過程當(dāng)中，提出了基于Contourlet域HMT模型的Cycle Spinning去噪方法，并通過測試圖像驗(yàn)證了其優(yōu)越性。

1 Contourlet域HMT模型

小波域隱馬爾科夫樹（HMT）模型[4]采用混合高斯模型刻畫各子帶系數(shù)的概率分布，并通過小波系數(shù)隱狀態(tài)在多個尺度之間的Markov依賴性來刻畫小波系數(shù)隨尺度的持續(xù)性（Persistence）和尺度內(nèi)位置上的聚集性（Clustering），從而可以有效地捕捉小波系數(shù)之間的關(guān)系，但是由一維小波通過張量積而形成的二維可分離小波變換只具有有限個方向，不能有效表達(dá)含線奇異的二維信號。Do和Vetterli提出的Contourlet變換[1]能夠很好地表征二維信號的各向異性特征，更好地捕捉二維信號的方向信息，在Contourlet域建立HMT模型可以有效地描述各方向信息之間的關(guān)系。在Contourlet域HMT模型[2]中，采用Contourlet系數(shù)對應(yīng)的隱狀態(tài)變量來體現(xiàn)系數(shù)之間的Markov相關(guān)性，系數(shù)之間的依賴關(guān)系由父子狀態(tài)變量之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率體現(xiàn)。在Contourlet域HMT模型中，某個方向子帶中的父節(jié)點(diǎn)可以和多個方向子帶中的子節(jié)點(diǎn)相連，如圖1所示，圖中黑色方框表示父節(jié)點(diǎn)系數(shù)，白色方框表示其子節(jié)點(diǎn)系數(shù)；所以，和二維張量積小波域HMT模型相比，Contourlet域HMT模型不僅可以很好地描述各系數(shù)在位置上的聚類性和尺度間的持續(xù)性，而且還可以有效表達(dá)不同方向上的系數(shù)之間的依賴性。

圖1 張量積小波域和Contourlet域HMT模型的父子關(guān)系對比Fig.1 Compare separate wavelet transform HMT model with Contourlet domain HMT model

若用（j，k，i）表示j尺度下，第k個方向的第i個系數(shù)所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，j=1代表最粗尺度，m，n表示狀態(tài)，用M狀態(tài)零均值高斯混合模型來刻畫各子帶系數(shù)的非高斯性，則Contourlet 域 HMT 模 型 可 由參數(shù) θ=[p（1，k，i），m，p（j，k，i），（m，n），σ2（j，k，i），m]描述，其中：

1）：p（1，k，i），m（k=1，…K1；m=1，…，M）：根節(jié)點(diǎn)（1，k，i）處于狀態(tài)m的概率，K1為最粗尺度下的方向數(shù)目。

2）p（j，k，i），（m，n）（ j=2，…，J；k=1，…Kj；m，n=1，…，M）：在 節(jié) 點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)處于狀態(tài)n的條件下，節(jié)點(diǎn)（j，k，i）處于狀態(tài)m的條件概率，即狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，J為LP變換的尺度數(shù)，Kj為j尺度下的方向子帶數(shù)。

3）σ2（j，k，i），m（j=1，…，J；k=1，…，Kj；m=1，…，M）：節(jié)點(diǎn)（j，k，i）處于狀態(tài)m時所對應(yīng)的方差。

EM算法[4]是訓(xùn)練HMT模型的有效方法，任務(wù)是估計HMT模型參數(shù)θ，對于Contourlet域HMT模型，EM算法收斂于Contourlet系數(shù)集W的似然函數(shù)f（W）的局部最大值，其迭代步驟如下：

1）初始條件：選擇一個初始模型估計θ0；設(shè)置迭代數(shù)l=0。

2）E步：用上行-下行算法[4]計算下列條件似然函數(shù)β和關(guān)聯(lián)概率函數(shù)α：

其中，ρ（j，k，i）表示節(jié)點(diǎn)（ j，k，i）的父節(jié)點(diǎn)，T（j，k，i）是以節(jié)點(diǎn)（j，k，i）為根節(jié)點(diǎn)的子樹，S（j，k，i）表示節(jié)點(diǎn)（j，k，i）的狀態(tài)變量 ，m 是 狀 態(tài) ，T1（j，k，i）是 從 節(jié) 點(diǎn) （j，k，i） 所 在 的 樹 中 去 除 T（j，k，i）的 剩 余 部 分 ，Tρ（j，k，i）（j，k，i）是 從 子 樹 Tρ（j，k，i）中 去 除 T（j，k，i）的 剩 余部分。

根據(jù)這些概率函數(shù)，可以采用下式計算隱狀態(tài)概率：

其中，W（j，k，i）表示節(jié)點(diǎn)（j，k，i）所在樹的 Contourlet系數(shù)集。

3）M步用來更新各HMT參數(shù)，將各子帶內(nèi)的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行捆綁，則M步為：

其中，Z（j，k）表示 j尺度、k 方向子帶內(nèi) Contourlet系數(shù)的個數(shù)，w（j，k，i）是節(jié)點(diǎn)（j，k，i）處的 Contourlet系數(shù)。

4）若收斂，則完成HMT參數(shù)的訓(xùn)練，否則令l=l+1，回到步驟 2）。

2 基于Contourlet域HMT模型的去噪法

含有零均值高斯白噪聲的二維信號在Contourlet域可表示為：

其中 u（j，k，i）、v（j，k，i）和 e（j，k，i）分別表示無噪信號系數(shù)、含噪信號系數(shù)和噪聲系數(shù)。 去除噪聲的主要任務(wù)是用 v（j，k，i）來估計u（j，k，i），基于 Contourlet域 HMT 模型的去噪方法如下：

式中，x≥0 時，（x）+=x；x<0 時，（x）+=0。 θu的其他參數(shù)和 θv的相同。

4）用式（12）得到 u（j，k，i）的估計值：

3 本文去噪方法

Cycle Spinning是克服變換缺乏平移不變性有效的方法，一般用在變換的閾值去噪過程中以減少失真和假象[3]。在此處我們將它引入到Contourlet域HMT模型的去噪過程當(dāng)中，給出了一種基于Contourlet域HMT模型的Cycle Spinning去噪方法，該方法可表示如下：

式中： 其中，X 為原始含噪二維信號，Sx，y和 S-x，-y為二維平移和逆向平移算子，（K1，K2）是信號在兩個方向上的最大平移量，CHMD表示基于Contourlet域HMT模型的去噪方法，y?是去噪后的信號。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

選擇 512×512大小的標(biāo)準(zhǔn)圖像 Lena、Zelda、Barbara疊加均值為零的高斯白噪聲進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差取σ=30，40，50，狀態(tài)數(shù) M 取 2，在 Contourlet變換中，采用 4 尺度LP變換，從最細(xì)尺度到最粗尺度，每個尺度下的方向數(shù)目依次取 8、8、4、4。 LP 變換采用“9-7”雙正交濾波器，方向?yàn)V波器組（DFB）采用由 Phoong等[5]設(shè)計的“23-45”雙正交梅花濾波器組。實(shí)驗(yàn)對比了4種去噪方法：小波萎縮閾值去噪法（VisuShrink）[6]、小波域 HMT 模型去噪方法（WHMTD）、Contourlet域HMT模型的去噪方法（CHMTD）和基于Contourlet域HMT模型的Cycle Spinning去噪方法（CHMTD-CS）。

表1給出了使用不同方法降噪后圖像的PSNR值?？梢钥吹?，CHMTD-CS的去噪效果最佳，而WHMTD和CHMTD具有相近的PSNR值，這些基于HMT的去噪方法都比VisuShrink好。

表1 不同去噪方法的PSNR值（單位：dB）比較Tab.1 Compare of PSNR values with different denoising methods

將σ=30時去噪后的Lena局部圖像顯示在圖2和圖3中，圖3顯示的是圖 的一個放大的細(xì)節(jié)，以利于讀者更好地觀察不同方法的差異?？梢钥吹?，VisuShrink產(chǎn)生了過多的假象和失真，造成嚴(yán)重的細(xì)節(jié)模糊；和WHMTD相比，CHMTD和CHMTD-CS可以更有效地保持含噪圖像中的可視細(xì)節(jié)（包括帽子、頭發(fā)和眼睛上的紋理和邊緣）；此外，CHMTD中的細(xì)小失真在CHMTD-CS中得到明顯的削弱，使得消噪后的圖像和原始圖像更一致。綜上分析，不管是從PSNR值還是從視覺效果來衡量，CHMTD-CS都具有最優(yōu)的去噪效果[7]。

圖2 不同去噪方法對Lena圖像的（σ=30）的去噪結(jié)果Fig.2 Denoising results of the Lena image corrupted with a Gaussian noise of σ=30

圖3 圖2的放大細(xì)節(jié)Fig.3 amplified details of Fig.2

5 結(jié) 論

本文介紹了基于Contourlet域HMT模型的隨機(jī)噪聲衰減方法，用Cycle Spinning克服Contourlet缺乏平移不變性的缺陷，改進(jìn)了該算法，用測試圖像算例驗(yàn)證了改進(jìn)后算法的合理性和有效性。

[1]Do MN，Vetterli M.The contourlet transform：An efficient directional multiresolution image representation [J].IEEE Transactions on Image Processing，2005，14（12）：2091-2106.

[2]Po DDY，Do MN.Directional multiscale modeling of images using the contourlet transform[J].IEEE Transactions on Image Processing，2006，15（6）：1610-1620.

[3]Fletcher AK，Ramchandran K，Goyal VK.Wavelet denoising by recursive cycle spinning[C]//International Conference on Image Processing，2002（2）：873-876.

[4]Crouse MS，Nowak RD，Baraniuk RG.Wavelet-based statistical signal processing using hidden Markov models[J].IEEE Transactions on Signal Processing， 1998， 46 （4）：886-902.

[5]Phoong SM，Kim CW，Vaidyanathan PP，et al.A new class of 2-channel biorthogonal filter banks and wavelet bases[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1995，43 （3）：649-665.

[6]Mallat S.A wavelet tour of sinal processing[M].2nd ed.New York：Academic，1999.

[7]祝磊.基于TLS-ESPRIT的系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)參數(shù)提取方法[J].陜西電力，2012（3）：43-46.

ZHU Lei.Model parameters extracting method of lowfrequency oscillations in power systems based on TLS-ESPRIT[J].Shaanxi Electric Power，2012（3）：43-46.