梁 月，劉敬浩，白 靈

（天津大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津 300072）

在信號(hào)處理和通信領(lǐng)域，盲信號(hào)處理已經(jīng)逐漸成為研究熱點(diǎn)。盲信號(hào)處理算法能夠在未知信道狀態(tài)和系統(tǒng)參數(shù)的情況下實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)的辨識(shí)。PARAFAC（parallel factor，平行因子）方法最早是用于心理計(jì)量學(xué)和應(yīng)用化學(xué)領(lǐng)域的一種三維數(shù)據(jù)分析方法。21世紀(jì)初，Nicholas D.Sidiropoulos將其應(yīng)用到盲信號(hào)處理領(lǐng)域[1]。PARAFAC方法能夠充分利用信號(hào)的代數(shù)性質(zhì)和分集特性對(duì)接收的信號(hào)進(jìn)行處理，通過(guò)三維數(shù)據(jù)的擬合得到信號(hào)處理中需要的各種參數(shù)。因其良好的性能，近幾年來(lái)相繼被應(yīng)用到信號(hào)處理的各種領(lǐng)域，如陣列信號(hào)處理[2]、正交頻分復(fù)用（orthogonal frequency division multiplexng，OFDM）系統(tǒng)[3]、多輸入多輸出（multi-input multioutput，MIMO）系統(tǒng)[4-5]。

文獻(xiàn)[1]中提出一種性能收斂于非盲MMSE的基于PARAFAC模型的盲接收機(jī)。這種盲接收機(jī)綜合利用了不同用戶信號(hào)在時(shí)間、空間、擴(kuò)頻碼方面的分集特性，在不需要已知擴(kuò)頻碼、多徑傳輸、DOA校準(zhǔn)信息的情況下將用戶有用信息重建出來(lái)。本文將對(duì)這種基于TALS算法的盲PARAFAC接收機(jī)進(jìn)行改進(jìn)，將 TALS算法與 DTLD（direct trilinear decomposition）[6]算法結(jié)合起來(lái)，提出一種新的DTALS算法，改進(jìn)了TALS算法中用隨機(jī)矩陣進(jìn)行初始估計(jì)引起的不穩(wěn)定性和收斂速度差的問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，使用DTALS算法具有更好的擬合精度和收斂速度，在一定程度上降低了算法的復(fù)雜度，提高了算法性能。

文中用到的符號(hào)與算子說(shuō)明如下：diag（.）是對(duì)角化算子，表示括號(hào)中向量為對(duì)角元素形成的對(duì)角陣；?為Kronecker積；⊙為Khatri-Rao積，它是Kronecker積的列形式；A⊙B=[a1?b1，…，aRbR]；‖·‖F(xiàn)為矩陣的 Frobenius范數(shù)，簡(jiǎn)稱 F 范數(shù)；（·）+表示矩陣 Moore-Penrose 逆矩陣；（·）T表示矩陣的轉(zhuǎn)置。

1 數(shù)據(jù)模型

Nicholas D.Sidiropoulos將PARAFAC模型應(yīng)用到DSCDMA系統(tǒng)中[1]，將接收信號(hào)構(gòu)造成一個(gè)在時(shí)間、擴(kuò)頻、天線3個(gè)方向分集的三線性立體模型，如圖1所示。

圖1 DS-CDMA信號(hào)的立體方模型Fig.1 Cube model of DS-CDMA signal

假設(shè)發(fā)送端有F個(gè)用戶發(fā)送數(shù)據(jù)，系統(tǒng)采用基帶信號(hào)進(jìn)行直接傳輸，信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)加性高斯白信道進(jìn)入接收端，接收端基站（BS）有I個(gè)接收天線，用碼片速率對(duì)基帶天線輸出進(jìn)行采樣，總共收集到J個(gè)符號(hào)周期的數(shù)據(jù)。此時(shí)，接收端接收到的信號(hào)為：

式中，aif為用戶f到天線i之間的復(fù)衰減/增益，bjf為用戶f發(fā)送的第j個(gè)符號(hào)，ckf為用戶f的第k個(gè)擴(kuò)頻碼片，eijk為高斯白噪聲，記 A∈CI×F為信道衰落系數(shù)矩陣，B∈CJ×F為信號(hào)矩陣，C∈CK×F為擴(kuò)頻矩陣，其元素分別為 aif，bjf，ckf，R∈CI×J×K為三維信號(hào)矩陣，其元素為rijk。由式（1）可知，接收信號(hào)R符合平行因子（PARAFAC）模型；矩陣A，B，C分別對(duì)應(yīng)PARAFAC模型的3個(gè)模式矩陣。

在對(duì)PARAFAC模型的分析過(guò)程中，需要對(duì)三維數(shù)據(jù)R按照3個(gè)分集方向進(jìn)行切片處理。R沿天線分集方向切面形式為：

其中Xi..和Ei..分別表示在天線方向上的三維數(shù)據(jù)X和E的第i層矩陣，A（i）表示信道衰落矩陣的第i行。將Xi..按行排列，可以得到緊湊的數(shù)據(jù)形式

EX為天線切面噪聲，按照式（2）和（3）的方法，將三維數(shù)據(jù)R沿其時(shí)間分集和擴(kuò)頻分集方向進(jìn)行切面操作，得到切面形式 Y 和 Z 如式（4）和（5）所示：

根據(jù)文獻(xiàn)[1]可知，在一定條件下，PARAFAC模型能夠唯一分解。

2 DTALS-PARAFAC接收機(jī)

文獻(xiàn)[1]中提出的TALS-PARAFAC盲接收機(jī)性能上接近于最小均方誤差接收機(jī)。TALS-PARAFAC算法中使用隨機(jī)矩陣來(lái)初始化矩陣 A、B，基于式子（3）、（4）、（5），根據(jù)最小二乘原理迭代實(shí)現(xiàn)PARAFAC模型的三線性分解。然而當(dāng)初始矩陣A、B估計(jì)不當(dāng)時(shí)，迭代過(guò)程容易陷入局部最優(yōu)的計(jì)算“沼澤”，收斂相當(dāng)緩慢，并可能產(chǎn)生錯(cuò)誤的解。

DTLD（direct trilinear decomposition）是一種直接三線性分解方法，也是一種基于PARAFAC模型的三維分解方法，它是非迭代的，具有直接快速的優(yōu)點(diǎn)[7]。但是沒有明確的最優(yōu)化界限，在信噪比不高的情況下，若三維數(shù)據(jù)不嚴(yán)格服從三線性模型或隨機(jī)誤差較大，有可能出現(xiàn)無(wú)意義的虛數(shù)解，可靠性差。

在應(yīng)用化學(xué)領(lǐng)域，已有學(xué)者提出并驗(yàn)證，在基于PARAFAC模型的分析化學(xué)算法中，使用適當(dāng)?shù)某跏贾祵?duì)矩陣進(jìn)行初始估計(jì)（如奇異值分解矩陣、特征分析）可以有效地提高算法的收斂速度和擬合精度[8]。因此，在基于PARAFAC模型的TALS算法中融入DTLD算法，能夠解決TALS算法中初始值選取不當(dāng)導(dǎo)致的收斂緩慢并且可能出現(xiàn)錯(cuò)誤的解的問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，使用DTLD對(duì)TALS算法進(jìn)行初始化，不僅能夠提高原本算法的收斂速度，而且能夠在一定程度上提高算法的精度，使分解出的數(shù)據(jù)更加接近于真實(shí)數(shù)據(jù)。

3 基于DTLD的交替最小二乘算法

步驟 1 根據(jù)式（3）、（4）、（5）3 個(gè)切面方程進(jìn)行奇異值分解，其中U、V取前F個(gè)左奇異值矢量，W取前兩個(gè)左奇異值矢量。

步驟 2 根據(jù)式（9）、（10）構(gòu)造偽樣本矩陣 G1、G2，其中wk1、wk2代表矩陣W的第一列和第二列。

步驟3 使用QZ分解G1、G2組成的特征方程，L、M分別為方程的特征向量，可證明 A、B 矩陣由式（11）、（12）得到[7]。

步驟4 根據(jù)式 （4），利用最小二乘準(zhǔn)則得到C的估計(jì)值，如式（13）所示。

步驟5 根據(jù)式（3）和步驟4求得的C的估計(jì)值利用最小二乘準(zhǔn)則得到A的估計(jì)值，如式（14）。

步驟6 根據(jù)式（5）和步驟4、5求得的A、C的估計(jì)值利用最小二乘準(zhǔn)則得到B的估計(jì)值，如式（15）。步驟7 重復(fù)步驟4～6，直至算法收斂即：

其中ε為一個(gè)很小的值（通常取1e-6）。

算法收斂后，得到估計(jì)矩陣A、B、C。DTALS算法利用步驟1、2、3得到的矩陣進(jìn)行迭代初始化，使初始值更加精確，能夠減少迭代的次數(shù)，降低運(yùn)算的復(fù)雜度。仿真結(jié)果表明，DTALS算法在擬合精度上比原有的TALS算法有所提高，并且具有更快的收斂速度。

4 仿真結(jié)果與分析

通過(guò)仿真，分析DTALS-PARAFAC接收機(jī)的誤碼率（bit error rate，BER）性能和收斂性能[9]，將仿真精度與仿真速度等因素綜合考慮，假設(shè)M=4個(gè)用戶的DS-CDMA系統(tǒng)，一次處理的用戶信息樣本長(zhǎng)度為I=50，擴(kuò)頻碼采用Hadamard碼，長(zhǎng)度為K=7，天線數(shù)J=4，噪聲為加性高斯白噪聲，用戶與天線的衰落因子服從高斯隨機(jī)分布。Monte Carlo仿真1 000次取其平均誤碼率。

4.1DTALS-PARAFAC、TALS-PARAFAC、MMSE 接 收機(jī)的BER性能比較

將DTALS-PARAFAC盲接收機(jī)與文獻(xiàn) [1]中TALSPARAFAC接收機(jī)的誤比特率性能比較。同時(shí)對(duì)非盲的線性MMSE接收機(jī)進(jìn)行仿真以作參考。MMSE接收機(jī)需要已知信道衰落矩陣A和擴(kuò)頻碼矩陣C。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 3種接收機(jī)的BER性能比較Fig.2 BER curves comparison of three receivers

由圖2可以看出，在未知信道衰落矩陣A和擴(kuò)頻碼矩陣C的基礎(chǔ)上，DTALS-PARAFAC接收機(jī)的性能要優(yōu)于TALSPARAFAC接收機(jī)，且與非盲MMSE接收機(jī)性能相近。說(shuō)明基于PARAFAC的盲接收機(jī)性能優(yōu)越，兩種算法的誤碼性能反映了其迭代算法的擬合精度，即接收機(jī)的誤碼率越低，擬合精度越高，反之亦然。因此，在多用戶DS-CDMA系統(tǒng)中，DTALS算法擬合精度更高[10]。

4.2DTALS-PARAFAC接收機(jī)和TALS-PARAFAC接收機(jī)的收斂速度比較

圖3給出了在不同信噪比條件下，兩種接收機(jī)的平均迭代次數(shù)?？梢钥闯?種接收機(jī)的迭代次數(shù)均隨著信噪比的增加而下降.在相同信噪比的情況下，DTALS-PARAFAC的迭代次數(shù)遠(yuǎn)小于TALS-PARAFAC接收機(jī)。因此，在保證誤碼率的前提下，DTALS算法具有更優(yōu)越的收斂速度，性能更加穩(wěn)定。

圖3 2種接收機(jī)收斂性能比較Fig.3 Convergence performance comparison of two receivers

5 結(jié) 論

文中將PARAFAC模型與多用戶多天線DS-CDMA系統(tǒng)相結(jié)合，在原有的TALS算法的基礎(chǔ)上結(jié)合一種DTLD算法，提出了一種新的DTALS-PARAFAC盲接收機(jī)，通過(guò)DTLD算法將更加符合模型分解的初始值引入到TALS迭代過(guò)程中，優(yōu)化了算法的性能。結(jié)果表明，DTALS-PARAFAC接收機(jī)在處理DS-CDMA信號(hào)的過(guò)程中具有更好的擬合精度和收斂速度，更適用于DS-CDMA系統(tǒng)。

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