林 濤， 吳 鏑

（1.河北工業(yè)大學(xué) 計算機科學(xué)與軟件學(xué)院，天津 300130；2.河北工業(yè)大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300130）

灰色系統(tǒng)理論是我國學(xué)者鄧聚龍教授于19世紀(jì)80年代創(chuàng)立并發(fā)展的理論。30多年來，灰色系統(tǒng)理論引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，灰色系統(tǒng)理論已經(jīng)成功應(yīng)用到了工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟等領(lǐng)域，解決了生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究中的大量實際問題?；疑珨?shù)列預(yù)測是灰色系統(tǒng)理論的一項重要內(nèi)容，其利用動態(tài)GM（1，1）模型，對系統(tǒng)的時間序列進行數(shù)量大小的預(yù)測[1-2]。

文獻(xiàn)[3]將灰色數(shù)列預(yù)測應(yīng)用到圖像邊緣檢測過程中，并進行了仿真實驗，得到了預(yù)計的實驗效果。筆者是在檢測到圖像邊緣的基礎(chǔ)上，將灰色數(shù)列預(yù)測應(yīng)用到預(yù)測圖像邊緣點分布過程中。并根據(jù)模型精度檢驗結(jié)果在理論上分析了預(yù)測誤差，得出了模型滿足實驗要求的結(jié)論。

1 數(shù)列生成

為了避免應(yīng)力集中，刀具形狀盡量避免有小角度出現(xiàn)，而且圖像視場范圍接近5 mm×5 mm，所以提取出的邊界點擬合的弧線段曲率很小。根據(jù)邊緣檢測算法得到的圖像邊緣輪廓由分布在圖像邊緣的點組成的，掃描圖像可以將邊界點提取出來。按照提取出的邊界點數(shù)目將邊界點分成幾組，分組進行直線擬合，計算各擬合段直線的斜率，根據(jù)分段擬合出的直線斜率變化率判斷刀具刀尖尺寸輪廓線延長方向。并根據(jù)計算出的延長線斜率變化，選擇運動控制命令，并添加必要的參數(shù)。

點P[0]、P[1]、…P[n]是 n+1個邊緣檢測分布在邊緣上的點，根據(jù)點的數(shù)量將點分成m段，進行直線擬合。

擬合將得到m段擬合直線的斜率：

刀具圖像、圖像邊緣點以及邊緣點擬合直線如圖1所示。

由于無法得知直線段斜率變化規(guī)律，不能用傳統(tǒng)的數(shù)列計算求解后面直線段斜率變化情況。為了預(yù)測刀具輪廓的變化趨勢，本文根據(jù)段直線段的斜率 K（1），K（2），…K（m）的擬合計算值，建立動態(tài)GM（1，1）模型，將灰色數(shù)列預(yù)測方法引入預(yù)測斜率 K（m+1），K（m+2），…的過程中。

圖1 刀具邊緣直線段擬合結(jié)果Fig.1 Fitting result of tool edge line segment

2 灰色數(shù)列預(yù)測GM（1，1）模型建立

灰色 GM（1，1）模型建立主要有 3個過程：灰色生成、GM（1，1）模型建模、模型精度檢驗。

2.1 灰色生成

將原始數(shù)列中的數(shù)據(jù)按照某種要求做數(shù)據(jù)處理稱為生成，本質(zhì)上是從雜亂無章的數(shù)據(jù)當(dāng)中發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律。常用的灰度生成方法有累加生成、累減生成、級比生成、均值生成等。本研究中采用一次累加數(shù)列方式進行處理。

取原始斜率數(shù)列：

一次累加，記生成數(shù)為 K（1）（ j），若 K（0）（ j）與 K（1）（ j）滿足關(guān)系

一次累加完成，記為1-AGO（Accumulating Generation Operator）。

2.2 GM（1，1）模型建模

GM（1，1）是對離散直線段斜率數(shù)列建立的一階微分方程模型，形式為：

當(dāng)Δt很小并近似取1個單位時，由導(dǎo)數(shù)定義，近似的離散形式

則有式（4）的離散形式：

得

將式（8）展開，得

Φ=[a u]T為待辨識的參量，則式（9）可寫成

最小二乘法求取向量參數(shù)，

將參數(shù)代入式（9），求得離散解為：

將式（12）進行原始數(shù)據(jù)還原，得到：

式（13）即為灰度數(shù)列預(yù)測模型，根據(jù)式（13），得到近似的斜率K?（ j），j=1，2…，m 以及預(yù)測的斜率j>m。

2.3 預(yù)測模型精度檢驗

上式得的到預(yù)測邊緣斜率趨勢的模型函數(shù)，為了驗證得到的斜率變化模型是否滿足精度要求，對式（13）使用相對誤差檢驗法進行精度校驗。

計算殘差得：

式中，e（ j）=K（0）（ j）-

相對誤差：

平均相對誤差：

首先抓取一幀圖像，如圖1所示，提取邊緣并分段求取斜率。求取的斜率數(shù)據(jù)如表1所示。由于模型（13）從第二段直線斜率開始預(yù)測，則第一段直線斜率預(yù)測保持與實際斜率一致。GM（1，1）模型斜率預(yù)測結(jié)果如表1所示。

表 1 GM（1，1）模型精度檢驗表Tab.1 GM（1，1） model accuracy test

3 數(shù)據(jù)分析

從模型精度檢驗表的實驗結(jié)果中可以看到：應(yīng)用GM（1，1）模型計算的結(jié)果數(shù)據(jù)平均相對誤差約為0.02，而最大殘差約為-0.03。由于圖像視場范圍約為5 mm×5 mm。假設(shè)模型以最大誤差預(yù)測邊緣直線段斜率變化，則斜率誤差即為-0.03。

按照模型預(yù)測斜率，平臺在X向運行一個視場的范圍時，即 Δx=5 mm，得到

可見，在一個視場范圍內(nèi)，Y向誤差僅為-0.15 mm，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于5 mm。而且在跟蹤過程中會采集下一幀圖像重新進行上述分析，不會產(chǎn)生積累誤差，完全能夠滿足平臺跟蹤刀具邊緣輪廓的目的。

4 結(jié) 論

將灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用到圖像處理領(lǐng)域已經(jīng)有很多人研究、討論過，但是將其用于圖像邊緣變化趨勢預(yù)測還沒有人涉及，本文進行了一個全新的嘗試，將灰度理論的一個分支——灰度數(shù)列預(yù)測模型應(yīng)用于刀具圖像邊緣趨勢預(yù)測中，根據(jù)實驗結(jié)果、誤差分析以及預(yù)測誤差導(dǎo)致最大的偏差，得到了該方法完全滿足刀具邊緣預(yù)測的要求，增加了灰度系統(tǒng)理論又一個應(yīng)用方向。隨著設(shè)備自動化程度以及智能程度的提高，本文提出的應(yīng)用方法在工程領(lǐng)域具有很大的潛力。

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