李國新，何英杰，許海濤

（1.長安大學(xué) 信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064；2.中國石油獨(dú)山子石化分公司 新疆 克拉瑪依 833600）

在目標(biāo)跟蹤中，可靠而精確的目標(biāo)跟蹤是目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主要目的。而對目標(biāo)跟蹤技術(shù)的研究，在軍事以及民用領(lǐng)域中都有著十分重要的意義。對于目標(biāo)跟蹤問題的解決，不同的學(xué)者提出過不同的解決方案。常規(guī)的卡爾曼濾波算法（KF）對線性高斯型的系統(tǒng)能得到最優(yōu)估計(jì)，對非線性、非高斯系統(tǒng)的問題的解決主要有兩類，一類是函數(shù)近似法；另一類是基于采樣方法的近似法。

解決非線性濾波問題的最優(yōu)方案，需要得到其目標(biāo)狀態(tài)后驗(yàn)概率密度函數(shù)的完整描述[1]。然而在實(shí)際問題中這很難。以往對非線性估計(jì)問題的處理，主要是通過擴(kuò)展卡爾曼（EKF）來解決。但是擴(kuò)展卡爾曼濾波對非線性的狀態(tài)方程或觀測方程作線性化處理在穩(wěn)定性、收斂精度、收斂時(shí)間上往往難以滿足要求。由于近似非線性函數(shù)的概率密度分布比近似非線性函數(shù)更容易，使用采樣方法近似非線性分布來解決非線性問題的途徑在最近得到了人們的廣泛關(guān)注。采樣近似法是用帶有權(quán)值的樣本集來近似目標(biāo)的狀態(tài)后驗(yàn)概率密度，典型的算法粒子濾波（PF）算法。PF擺脫了解決非線性濾波問題時(shí)隨機(jī)量必須滿足高斯分布的制約條件，適用于非高斯非線性條件[2]。

1 非線性濾波方法

1.1 狀態(tài)空間描述

為定義非線性濾波問題，首先引入狀態(tài)空間模型：

其中，fk為狀態(tài)方程，wk-1是過程噪聲。hk為觀測方程，vk是觀測噪聲，k為自然數(shù)。

1.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波算法

EKF算法是一種近似方法，它將非線性模型在狀態(tài)估計(jì)值附近作泰勒級數(shù)展開，并在一階截?cái)啵玫玫降囊浑A近似項(xiàng)作為原狀態(tài)方程和測量方程近似表達(dá)形式，從而實(shí)現(xiàn)線性化，同時(shí)假定線性化后的狀態(tài)依然服從高斯分布，然后對線性化后的系統(tǒng)采用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波獲得狀態(tài)估計(jì)[3]。通過近似線性化，得到對應(yīng)的擴(kuò)展卡爾曼濾波法為：

EKF因?yàn)楹唵我子趯?shí)現(xiàn)在近三十年得到了廣泛應(yīng)用，但是它具有如下的局限性：1）在線性化過程中引入了模型誤差，往往使得狀態(tài)的估計(jì)值產(chǎn)生較大的偏差，不能滿足精度的要求，甚至可能導(dǎo)致濾波發(fā)散；2）EKF在濾波前必須計(jì)算非線性模型的雅可比矩陣，對于高維的復(fù)雜模型，過程繁瑣且容易出錯(cuò)[4]。

1.3 粒子濾波算法

粒子濾波是一種基于隨機(jī)采樣的濾波方法，主要解決非線性非高斯問題。粒子濾波實(shí)質(zhì)是遞推Bayes濾波的一種實(shí)現(xiàn)形式，在每一時(shí)刻，利用狀態(tài)空間中一系列隨機(jī)樣本集（粒子）來近似系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)（PDF），從而得到下一時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)。其主要思想是利用這些采樣點(diǎn)和權(quán)值來獲得最小方差的狀態(tài)估計(jì)量，是一種基于仿真的統(tǒng)計(jì)濾波方法[5]。

粒子濾波算法的基本步驟如下[6]：

1）初始化：當(dāng)k=0時(shí)，確認(rèn)目標(biāo)狀態(tài)的先驗(yàn)概率密度函數(shù)p（x0）的表示形式，從中提取個(gè)樣本點(diǎn)，并給每個(gè)粒子賦初始權(quán)重為

2）狀態(tài)預(yù)測，即重要性采樣、權(quán)重計(jì)算：當(dāng)時(shí)刻k=1時(shí)，從轉(zhuǎn)移先驗(yàn)密度函數(shù)p中提取N個(gè)樣本點(diǎn)，通過公計(jì)算權(quán)重（公式中的為似然密度函數(shù)）；如果Neff=

＜Nth，則對重新采樣，重新構(gòu)造狀態(tài)集合，使其近似于分布并重新設(shè)定粒子的權(quán)值為1/N；否則，不需要進(jìn)行重采樣；

隨機(jī)樣本粒子在粒子濾波器中沒有明確的格式，也不受模型線性和高斯假設(shè)的約束。粒子濾波器采用這些隨機(jī)樣本就可以近似得到任意函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，從而得到基于物理模型的近似最優(yōu)數(shù)值解[7]。因此，粒子濾波器是一種適用于強(qiáng)非線性、無高斯約束的基于模擬的統(tǒng)計(jì)濾波器，具有精度高、收斂速度快等特點(diǎn)。

2 仿真分析

為了比較兩個(gè)濾波算法的跟蹤性能，這里引用一個(gè)經(jīng)典的非線性例子進(jìn)行仿真。模型如下：

實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定：wk和vk為均值為零的高斯白噪聲，協(xié)方差分別為1.0和1.0。

狀態(tài)方程和觀測方程都是非線性的形式。假設(shè)初始狀態(tài)x0=0.1，時(shí)間階數(shù)為50，粒子數(shù)為100，并且初始狀態(tài)的協(xié)方差為5。

圖1 EKF狀態(tài)估計(jì)Fig.1 EKF state estimation

圖2 PF狀態(tài)估計(jì)Fig.2 PF state estimation

通過圖1可以看出，EKF跟蹤真實(shí)的情況偏離很遠(yuǎn)；圖2反應(yīng)PF不僅能夠很快逼近真實(shí)結(jié)果，收斂速度也很快，而且與真實(shí)狀態(tài)的差距要比EKF算法小得多。

3 結(jié) 論

本文通過仿真對兩個(gè)濾波算法進(jìn)行了性能分析，并給出了各算法的復(fù)雜度。通過比較，從濾波精度上看，EKF線性化過程中引入了模型誤差，往往使得狀態(tài)的估計(jì)值產(chǎn)生較大的偏差，不能滿足精度的要求，甚至可能導(dǎo)致濾波發(fā)散，同時(shí)需要計(jì)算非線性函數(shù)的雅可比矩陣，過程繁瑣且容易出錯(cuò)；PF不要求模型是線性的，對任意分布的噪聲都適用，并且算法簡單，易于編程實(shí)現(xiàn)，濾波效果好，適用范圍更廣。從計(jì)算速度上看，EKF具有明顯的優(yōu)勢，因此對于工程應(yīng)用上，在精度要求不太高場合，可以優(yōu)先考慮采用EKF。從應(yīng)用環(huán)境來看，在非線性非高斯場合選取粒子濾波算法更好一些。

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