梁文家， 關(guān) 可 ， 吳潛蛟， 盛 春

（1.長(zhǎng)安大學(xué) 電子與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710064；2.長(zhǎng)安大學(xué) 信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064）

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，交通問(wèn)題越來(lái)越成為被關(guān)注和研究的焦點(diǎn)，對(duì)交通流的模擬和交通流特性的理解是解決交通問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的交通流模型有流體力學(xué)模型、氣體動(dòng)力學(xué)模型、跟馳模型等[1-2]，這些模型在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中都已經(jīng)發(fā)揮了重要作用。然而由于交通流在時(shí)間、空間上具有高度的隨機(jī)性、動(dòng)態(tài)性和復(fù)雜性，交通系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的非線性特征。另一方面，真實(shí)交通系統(tǒng)的一般路網(wǎng)規(guī)模巨大，道路使用者眾多，傳統(tǒng)的微觀仿真方法面臨著計(jì)算資源的約束，因此要求有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算迅速的交通流模型。

目前基于元胞自動(dòng)機(jī)（Cellular Automata，CA）的交通流模型研究取得了很大進(jìn)展。Cremer和Ludwig[3]于1986年最早將元胞自動(dòng)機(jī)理論應(yīng)用于車輛交通系統(tǒng)的研究，為研究交通流系統(tǒng)開(kāi)辟了新的途徑；Wolfram[4-5]同時(shí)期提出了184號(hào)CA模型用于交通流的模擬。以Wolfram命名的184號(hào)CA模型為基礎(chǔ)，Nagel和Schreckenberg于1992年提出了用于研究高速公路交通的NaSch模型[6]，同一年，Biham等人提出了用于研究城市網(wǎng)絡(luò)交通的BML模型[7]。

因?yàn)樯婕暗杰囕v、司機(jī)、行人、道路條件等因素以及它們之間的相互作用的影響，交通系統(tǒng)通常被看作是一個(gè)由多粒子構(gòu)成的復(fù)雜的巨大系統(tǒng)。CA模型在保留了交通流系統(tǒng)的非線性特征和其他物理特征的同時(shí)，CA模型的時(shí)間、空間、狀態(tài)變量均為離散量，元胞的狀態(tài)并行更新，適合在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，能夠?qū)崿F(xiàn)大規(guī)模路網(wǎng)的快速計(jì)算。由于大量車輛組成的交通流從本質(zhì)上說(shuō)是離散量，而元胞自動(dòng)機(jī)又是一個(gè)完全離散化的模型，所以用元胞自動(dòng)機(jī)原理來(lái)研究交通流的問(wèn)題就具有獨(dú)特的優(yōu)越性，可以用元胞自動(dòng)機(jī)來(lái)研究各種具體的交通現(xiàn)象。由于CA模型的這些特性，其非常適合用于交通流的仿真模擬，而且，如果演化規(guī)則設(shè)計(jì)合理，并考慮到真實(shí)的交通條件，交通流的很多特性可以通過(guò)仿真模擬出來(lái)，從而可以解釋很多的交通現(xiàn)象。

元胞自動(dòng)機(jī)模型在交通流仿真中的各種優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)引起很多學(xué)者的重視和研究。研究方向有：改進(jìn)CA模型相關(guān)的規(guī)則，考慮各種真實(shí)的交通條件，對(duì)仿真結(jié)果的時(shí)空?qǐng)D和基本圖進(jìn)行分析；CA模型中隨機(jī)參數(shù)的標(biāo)定的研究；基于CA模型的交通流的在線模擬等。

1 NaSch模型

作為184號(hào)模型的推廣，1992年Nagel和Schreckenberg提出了著名的用于描述高速公路交通流的NaSch模型[6]。在模型中，時(shí)間、空間以及速度都被整數(shù)離散化，道路被劃分為離散的格子（即元胞），每個(gè)元胞或者是空的，或者被一輛車占據(jù)，每輛車的速度可以取 0，1，2，…，vmax，其中vmax為最大車速。所有車輛由左至右編號(hào)，其中第n輛車的位置記為xn，而它的速度vn∈{0，1，2，…，vmax}，其中n∈1，2，…，N，且假定所有車輛具有相同的最大速度vmax（≥1）。車輛n+1在車輛n前方，兩車間距dn=xn+1-xn-1表示第n輛車和其前面的近鄰車輛第n+1輛車之間的空元胞數(shù)。單元格長(zhǎng)7.5 m，時(shí)間步長(zhǎng)1 s。

在t→t+1的過(guò)程中，Nasch模型按照如下的規(guī)則同步并行更新：

1） 加速過(guò)程，vn→min（vn+1，vmax）；司機(jī)希望以最大的車速行駛。

2） 減速過(guò)程，vn→min（vn，dn）；司機(jī)為了避免和前面的車發(fā)生碰撞而采取的減速措施。

3） 隨機(jī)慢化，以概率p，vn→max（vn-1，0）；因?yàn)楦鞣N不確定因素（如前面路況不好、司機(jī)的不同心態(tài)等等）造成的車輛隨機(jī)減速。

4）車輛向前運(yùn)動(dòng)，xn→xn+vn；車輛按照調(diào)整后的速度向前行駛。

這4步是能夠反映真實(shí)交通現(xiàn)象的最小化規(guī)則集，缺少任何一條規(guī)則或者改變執(zhí)行的順序都不能產(chǎn)生真實(shí)的交通行為。

NaSch模型雖然具有十分簡(jiǎn)單的形式，但是卻可以描述一些實(shí)際的交通現(xiàn)象，比如NaSch模型能夠再現(xiàn)阻塞的自發(fā)形成和自發(fā)消失，擁擠交通情況下時(shí)走時(shí)停的現(xiàn)象等等。NaSch模型的基本圖如圖1所示，包括自由流和擁擠流兩個(gè)分支。該模型考慮到了車輛的加速、減速和隨機(jī)慢化的影響，在時(shí)空?qǐng)D上能顯示出車輛從自由運(yùn)動(dòng)相到局部阻塞相的相變，從而引起了廣泛的注意和研究。

圖1 NS模型的基本圖Fig.1 Basic diagrams of NS model

在上面的基本圖中，vmax=4，即對(duì)應(yīng)實(shí)際的車速為108 km/h，系統(tǒng)有300個(gè)元胞，即車道由300個(gè)離散格點(diǎn)，記錄在[101～300]時(shí)間范圍內(nèi)的200個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。圖中流量達(dá)到最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的密度值稱為臨界密度，記為ρc。注意到當(dāng)p=0時(shí)，臨界密度 ρc=1/（Vmax+1），這與確定性 NS 模型（p=0）是一致的。 當(dāng)p>0時(shí)，臨界密度ρc要比p=0時(shí)的臨界密度要小。

對(duì)于不同的減速概率來(lái)說(shuō)，當(dāng)密度小于ρc時(shí)，車輛的行駛為自由流狀態(tài)，相互之間不受影響，以最大速度行駛。當(dāng)密度大于ρc時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)自發(fā)的局部堵塞，且堵塞隨時(shí)間的推移向上游傳播，堵塞流和自由流在系統(tǒng)中共存。但值得注意的是，慢化概率p對(duì)NaSch模型的模擬結(jié)果有很大的影響，慢化概率p是引起車輛自發(fā)堵塞的原因。

董力耘等人[8]提出一種改進(jìn)的CA跟車模型，除考慮前后車的相對(duì)速度外，通過(guò)引入定值的安全間距dsafe來(lái)描述車輛的減速行為。

Li X B等人[9]提出了一個(gè)能近似考慮前車速度效應(yīng)的CA擴(kuò)展模型，建模時(shí)考慮了前車速度可能的影響，對(duì)減速條件進(jìn)行了改進(jìn)，然后再計(jì)算本車的車速，并且保持了更新規(guī)則的同步并行性。

在VDR模型中，隨機(jī)慢化概率不再是固定不變的，而是車輛速度的函數(shù)，采用下式來(lái)計(jì)算隨機(jī)慢化概率：

并且取p0>p，這是考慮到在上一時(shí)刻靜止的車輛在新時(shí)刻的隨機(jī)慢化概率要大于上一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的車輛。確定隨機(jī)慢化概率要放在加速步的前面來(lái)運(yùn)行，也就是說(shuō)，隨機(jī)慢化步的慢化概率是由上一時(shí)刻更新結(jié)束后的車輛的速度決定的。

在VDR模型中，隨機(jī)慢化步的規(guī)則為：如果vn=0，那么以概率p0，vn→max（vn-1，0）；如果vn>0，那么以概率p，vn→max（vn-1，0）。

2 改進(jìn)的元胞自動(dòng)機(jī)交通流模型

考慮車輛間距的跟馳行為，在一隊(duì)汽車中，后車駕駛員總不愿意落后很多，而是緊隨前車前進(jìn)，這就是“緊隨要求”。從安全角度考慮，跟馳車輛要滿足2個(gè)條件：1）后車的車速不能長(zhǎng)時(shí)間地大于前車車速，只能在前車速度附近擺動(dòng)，否則會(huì)發(fā)生碰撞，這是“車速條件”；2）前后車之間必須保持一個(gè)安全距離，即在前車剎車時(shí)，有足夠的時(shí)間供后車駕駛員做出反應(yīng)，采取制動(dòng)措施，這是“間距條件”。顯然，當(dāng)車速高時(shí)，制動(dòng)距離大，跟車距離也應(yīng)加大。緊隨要求、車速條件和間距條件構(gòu)成了車隊(duì)跟馳行駛的制約性，即前車車速制約著后車車速和兩車間距。駕駛員對(duì)前車運(yùn)行狀態(tài)的改變要有一個(gè)反應(yīng)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程需要一定的時(shí)間，即反應(yīng)時(shí)間。一般來(lái)講，人腦對(duì)一個(gè)輸入的信息作出判斷大約需要1 s左右。

文中在NaSch模型的基礎(chǔ)上提出一個(gè)改進(jìn)的元胞自動(dòng)機(jī)模型來(lái)模擬周期性邊界條件下高速公路上的車流運(yùn)動(dòng)?？紤]到車輛速度的差異，對(duì)速度不同的車輛設(shè)置不同的安全車間距，根據(jù)車輛與前方緊鄰車輛之間的間距和車輛的速度來(lái)確定該車的運(yùn)動(dòng)，這樣就可以間接地反映出前方緊鄰車輛對(duì)當(dāng)前車輛的影響。通過(guò)引入不同的安全間距可以描述以不同速度運(yùn)動(dòng)的車輛接近前方車輛時(shí)的減速行為。文中采用了不同的安全車間距，并且考慮到速度的差異，因而改進(jìn)后的交通流模型可以較好地描述交通流中的現(xiàn)象，對(duì)車輛微觀運(yùn)動(dòng)進(jìn)行合理地描述。

文中的改進(jìn)模型定義由L個(gè)格點(diǎn)組成的一維離散點(diǎn)列上，每個(gè)格點(diǎn)上可能有vmax+2個(gè)狀態(tài)：空格點(diǎn)（即無(wú)車），或者有一輛以速度v運(yùn)動(dòng)的車，其中vn∈{0，1，2，…，vmax}，n∈1，2，…，N，且假定所有車輛具有相同的最大速度vmax（≥1），車輛n+1在車輛n前方。

改進(jìn)后的交通流模型考慮到車輛當(dāng)前速度的差異，對(duì)速度不同的車輛設(shè)置不同的安全車間距。車輛的演化規(guī)則為：

確定隨機(jī)慢化概率：考慮到慢啟動(dòng)規(guī)則，慢化概率不再是固定不變的，而是車輛速度的函數(shù)，采用下式來(lái)計(jì)算隨機(jī)慢化概率：

1） 加速步：vn→min（vn+1，vmax）；司機(jī)希望以最大的車速行駛。

2） 減速步改為：whilevn=0，1，2；vn→min（vn，dn）；

whilevn=3，4；vn→min （vn，dn-1）；（如果dn=0，那么vn→min（vn，dn））；

whilevn=5，6；vn→min （vn，dn-2）；（如果dn=1，0，那么vn→min（vn，dn））。

dn=xn+1-xn-1表示第n輛車和其前面的近鄰車輛第n+1輛車之間的空元胞數(shù)，xn+1表示第n+1輛車的位置，xn表示第n輛車的位置。

3）隨機(jī)慢化步：其規(guī)則是如果vn=0，那么以概率p0，vn→max（vn-1，0）；如果vn>0，那么以概率p，vn→max（vn-1，0）。

4）車輛運(yùn)動(dòng)步：xn→xn+vn；車輛按照調(diào)整后的速度向前行駛。

從上面的車輛運(yùn)動(dòng)的演化規(guī)則可以看出，該模型與NaSch模型不同之處在于：

考慮到車輛速度的差異，對(duì)速度不同的車輛設(shè)置不同的安全車間距，根據(jù)車輛與前方緊鄰車輛之間的間距和車輛的速度來(lái)確定該車的運(yùn)動(dòng)，這樣就可以間接地反映出前方緊鄰車輛對(duì)當(dāng)前車輛的影響。另外，通過(guò)引入不同的安全間距可以描述以不同速度運(yùn)動(dòng)的車輛接近前方車輛時(shí)的減速行為。當(dāng)車速高時(shí)，制動(dòng)距離大，跟車距離也應(yīng)加大，這也符合實(shí)際情況和日常經(jīng)驗(yàn)。

同時(shí)，在改進(jìn)的模型中的隨機(jī)慢化步采用了VDR模型，對(duì)不同速度的車輛采用不同的慢化概率，在上一時(shí)刻靜止的車輛在新時(shí)刻的隨機(jī)慢化概率要大于上一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的車輛。

3 仿 真

為了對(duì)改進(jìn)后的模型有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，筆者用改進(jìn)的模型并利用Matlab工具對(duì)單車道交通流進(jìn)行仿真。模擬過(guò)程中，系統(tǒng)長(zhǎng)度L=300個(gè)元胞，記錄在[501～1 000]時(shí)間范圍內(nèi)的500個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，采用周期邊界條件。由于系統(tǒng)是封閉的，則平均密度ρ=N/L，N是道路上的車輛數(shù)目。初始狀態(tài)時(shí)N輛車隨機(jī)分布在L個(gè)一維離散的元胞表示的路段上，其速度從0到vmax隨機(jī)選取一個(gè)整數(shù)值，從左到右車輛依次從1到N標(biāo)記。在每個(gè)更新時(shí)步，N輛車的速度按照更新規(guī)則并行刷新。為了模擬比較方便，選取更新時(shí)間步為1 s。一個(gè)元胞長(zhǎng)+500 s之后開(kāi)始記錄數(shù)據(jù)，以消除初始狀態(tài)暫態(tài)過(guò)程的影響。

圖2，圖3，圖4為交通流時(shí)空演化圖，水平方向自左向右為車輛的運(yùn)動(dòng)方向，垂直方向自上而下為時(shí)間演化方向。仿真的結(jié)果表明，在低密度區(qū)是自由交通流，在高密度區(qū)，出現(xiàn)交通擁擠。圖2為低密度時(shí)自由流的時(shí)空?qǐng)D，流量隨密度的增加而增加。圖3，圖4表示高密度時(shí)的時(shí)走時(shí)停的交通流時(shí)空?qǐng)D，顏色較淺的區(qū)域?qū)?yīng)于沒(méi)有擁擠的自由流，顏色較深的區(qū)域表示出現(xiàn)擁擠。

圖2 改進(jìn)模型的自由交通流時(shí)時(shí)空演化圖vmax=6，p=0.3，p0=0.6，ρ=0.05Fig.2 Free traffic flow space-time evolution of the improved model

圖3 改進(jìn)模型的時(shí)走時(shí)停交通流的時(shí)空演化圖vmax=6，p=0.1，p0=0.6，ρ=0.2Fig.3 Stop-go traffic flow space-time evolution of the improved model

圖4 改進(jìn)模型的時(shí)走時(shí)停交通流的時(shí)空演化圖：vmax=6，p=0.5，p0=0.6，ρ=0.2Fig.4 Stop-go traffic flow space-time evolution of the improved model

從圖3，圖4中可以觀察到自由流和堵塞流交替出現(xiàn)，堵塞向后傳播。車輛由最初車速較高的自由流，隨著車頭間距減小、車速降低，逐漸形成堵塞。如果速度進(jìn)一步降低，堵塞的范圍將增大。在堵塞流的內(nèi)部，車輛會(huì)與前車保持一定間距行駛，或者處于靜止?fàn)顟B(tài)。在堵塞流外面的顏色較淺的自由流區(qū)域，車輛間距比較大，車輛會(huì)以較高的速度自由行駛，而不會(huì)發(fā)生碰撞，直到間距變小，形成另外一個(gè)堵塞流。從圖3，圖4還可以觀察到減速概率p對(duì)模擬結(jié)果的影響，在其它參數(shù)不變的情況下，由于減速概率p的增大，局部更容易形成堵塞。

改進(jìn)模型中駕駛員反應(yīng)的敏感性增強(qiáng)，相接近的車輛間會(huì)根據(jù)不同速度來(lái)保持不同的間距，避免急剎車情況，從而保障交通安全。

這一結(jié)果對(duì)交通的控制和管理具有一定的參考價(jià)值。

圖5為改進(jìn)模型和NS模型的基本圖的對(duì)比。評(píng)價(jià)一個(gè)交通流模型的最重要的指標(biāo)就是基本圖。仿真結(jié)果表明，在低密度區(qū)流量隨密度的增大而增大，流量達(dá)到最大值之后，隨著密度的進(jìn)一步增大，流量持續(xù)減小。

圖5 改進(jìn)模型和NS模型的基本圖Fig.5 Basic diagrams of improved model and NS model

從圖5中還可以觀察到，改進(jìn)模型中的基本圖曲線在大于臨界密度之后的下降趨勢(shì)比NaSch模型的基本圖曲線要大。這也說(shuō)明改進(jìn)模型中駕駛員的反應(yīng)敏感性增強(qiáng)，駕駛員的加、減速反應(yīng)都比NaSch模型中的要快，所以流量的變化就越明顯。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中對(duì)NaSch模型進(jìn)行了改進(jìn)，建立了一個(gè)擴(kuò)展的元胞自動(dòng)機(jī)模型來(lái)模擬單車道交通流。該模型通過(guò)設(shè)置不同的安全間距，根據(jù)車輛與前方緊鄰車輛之間的間距和車輛的速度來(lái)確定該車的運(yùn)動(dòng)，這樣就可以間接地反映出前方緊鄰車輛對(duì)當(dāng)前車輛的影響。

通過(guò)對(duì)改進(jìn)模型的仿真后，可以看到駕駛員的反應(yīng)敏感性增強(qiáng)，能迅速地做出決策，保證了交通的安全。數(shù)值仿真結(jié)果顯示：流量隨密度的變化顯著，基本圖曲線下降的趨勢(shì)更明顯了。

由于改進(jìn)模型只是修改了NaSch模型的局部規(guī)則，并不影響原來(lái)模型的計(jì)算的并行性，所以保持了NaSch模型原有的計(jì)算速度快等諸多優(yōu)點(diǎn)，對(duì)智能交通的設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值。

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