沈守鴻，李庶林，李青石

（廈門大學(xué)土木工程系，福建廈門 3 61005）

0 引言

關(guān)于土中彈性波傳播的研究是巖土工程、海洋工程、地震工程及地球物理工程等科學(xué)領(lǐng)域的重要課題。天然土體是一種由土顆粒、孔隙流體（包括孔隙水和孔隙氣）組成三相松散介質(zhì)。當(dāng)孔隙中僅被一種流體（水流或氣流）所填充時(shí)，稱為飽和土。20世紀(jì)50年代，Biot建立了飽和多孔介質(zhì)波傳播理論［1-4］，并成為以后多孔介質(zhì)波動(dòng)理論各項(xiàng)研究的基礎(chǔ)。Ishihava［5］，Stoll［6］等在此基礎(chǔ)上開展了一些應(yīng)用性研究；門福錄［7-8］、陳龍珠［9-10］等對飽和土中波傳播速度作了簡化近似分析，給出了一些特殊情況下的波速公式。這些研究從不同程度上促進(jìn)了Biot理論的完善及應(yīng)用。此外，Bowen［11］、李向維［12］等學(xué)者采用基于熱力學(xué)公理的混合物理論來研究流體飽和多孔介質(zhì)中的波，給出了一般波動(dòng)方程?？梢宰C明，混合物理論和Biot理論是一致的［2］。

對于三相土介質(zhì)，即非飽和土中波的傳播，White［13］、Berryman［14］等學(xué)者做過一些研究，但沒有建立系統(tǒng)的動(dòng)力方程，目前并未形成成熟的理論，對于其彈性波的彌散性及衰減特性未能展開深入的理論研究。有鑒于此，本文采用混合物理論，在文獻(xiàn)［15］的基礎(chǔ)上，對非飽和尾砂土這種三相松散介質(zhì)中體波的傳播特性進(jìn)行數(shù)值分析，給出了典型的彌散和衰減曲線，以便于深入了解非飽和土中波的傳播特性，為尾礦壩穩(wěn)定性的彈性波監(jiān)測技術(shù)的實(shí)際工程應(yīng)用提供了合理的理論基礎(chǔ)，同時(shí)對尾礦壩災(zāi)害防治預(yù)警有著一定的指導(dǎo)意義。

1 非飽和土的動(dòng)力控制方法

假設(shè)土體是均勻的且具有統(tǒng)計(jì)上的各向同性，孔隙相互連通，孔隙水的滲流服從廣義Darcy定律，忽略溫度的影響，在低應(yīng)變條件下，由運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程和本構(gòu)方程得到：

式中，u，ul，ug分別為土體、液體和氣體的位移；ˉρs=（1-n）ρs；ˉρl=nSrρl；ˉρg=n（1-Sr）ρg分別為土體、液體和氣體的相對密度；n為孔隙率，Sr為飽和度，σij為總應(yīng)力；ηl、ηg分別為孔隙水和氣體的動(dòng)力粘滯系數(shù)；kl、kg分別為孔隙水和氣體的滲透系數(shù)；Kb=λ+2μ/3為土骨架的體積模量，Ks為土顆粒的體積模量，a=1-Kb/Ks；Kl是液體的體積模量，Pa是氣體的體積模量。

方程（1）、（2）構(gòu)成了非飽和土的動(dòng)力控制方程。顯然，當(dāng)在完全飽和這一特殊情況下（ρg=0，Sr=1，γ=1），方程退化為Biot的波動(dòng)方程。

2 波動(dòng)方程的解

2.1 壓縮波

方程（1）可以轉(zhuǎn)化為以下形式，

將方程（2）兩邊取散度，并將方程（3）代入，可得

假設(shè)彈性波沿z軸方向傳播，可得

將方程（5）代入方程（4），可得

若使以上方程有非零解，必須滿足

其中：B1=-（λ + 2μ）ω4

定義方程（7）的根為 lpj（Re（lpj）＞0，j=1，2，3），則壓縮波的波速與衰減率為

這說明，如果VP1≠VP2≠VP3，則非飽和土中存在三種形式的壓縮波。

2.2 剪切波

對方程（1）兩邊取旋度

其中U= ▽ ×u，V= ▽ ×ul，W= ▽ ×ug

假設(shè)剪切波沿Z軸方向傳播，可得

將方程（10）代入方程（9），可得

將方程（11b）、（11c）代入方程（11a）可得

則非飽和土中剪切波的波速與衰減率為式中，Re，Im分別表示對復(fù)數(shù)取實(shí)部和虛部；ω為彈性波角頻率。

3 彈性波在非飽和尾砂中的彌散性

上游堆積式尾礦壩是一種典型的由尾礦砂堆積的壩體，尾礦砂是一種典型的人造類土質(zhì)顆粒介質(zhì)。利用上節(jié)中得到的波速以及衰減的解析表達(dá)式，采用Matlab編程計(jì)算對非飽和土中4種體波的彌散特性進(jìn)行數(shù)值分析。非飽和土參數(shù)選取實(shí)際工程中非飽和尾砂的相關(guān)參數(shù)，參見文獻(xiàn)［16］，具體參數(shù)列于表1。

表1 非飽和尾砂數(shù)值模擬參數(shù)Table 1 Physical properties of unsaturated tailings

3.1 波速和衰減與頻率的關(guān)系

飽和度取為0.6，頻率變化范圍為10-2～1010Hz，計(jì)算結(jié)果示于圖1。由圖1（a）～（d）可知，非飽和土中的4種體波都存在不同程度上的頻散現(xiàn)象，并具有一個(gè)共同的特征，即在高頻段和低頻段，相速度基本保持不變；在中頻段，速度變化顯著，這與飽和土中波的頻散性相似。引入描述頻散程度的參數(shù)：

其中：Vj∞，Vj0分別表示頻率趨于∞ 及0時(shí)的相速度。則圖中P1波和S波的頻散度分別為58.9％和6.9％，P2波和P3波的頻散非常大，且當(dāng)頻率趨于0時(shí)，波動(dòng)現(xiàn)象退化為擴(kuò)散過程。

圖1 體波波速與頻率的關(guān)系Fig.1 Relations between velocity and frequency

圖2（a）～（d）是4種體波的衰減與頻率的關(guān)系曲線。由圖可知，4種體波的衰減基本上都隨頻率的提高而增大，其中P2波的衰減最大，P1波的衰減最小。在100Hz以下，體波衰減基本上不隨頻率變化而變化，P1波和S波的衰減非常小。

3.2 波速和衰減與飽和度的關(guān)系

取頻率為100Hz，飽和度Sr的變化范圍為0.1～0.9，4種體波的波速與飽和度的變化曲線如圖3（a）～（d）所示。由圖可知，隨飽和度的提高，P1波的波速增大，P2波的波速在飽和度為0.6時(shí)出現(xiàn)最小值，P3波的波速則在飽和度為0.6時(shí)出現(xiàn)最大值，而S波的波速則受飽和度的影響很小。

圖2 體波衰減與頻率的關(guān)系Fig.2 Relations between attenuation and frequency

圖3 體波波速與飽和度的關(guān)系Fig.3 Relations between velocity and saturation

4種體波的衰減與飽和度的變化曲線如圖4（a）～（d）所示。由圖4可看出：隨飽和度的提高，P1波的衰減逐漸增大，在飽和度為0.7時(shí)出現(xiàn)最大值，隨后又略為減??；P2波的衰減變化較小，在飽和度為0.6時(shí)出現(xiàn)最大值；P3波的衰減急劇減小后趨于平穩(wěn)，在飽和度為0.6時(shí)出現(xiàn)最小值；S波的衰減雖然增大，和P1波類似，其衰減系數(shù)始終保持非常低的水平。

圖4 體波衰減與飽和度的關(guān)系Fig.4 Relations between attenuation and saturation

4 結(jié)論

本文以實(shí)際尾礦壩體的尾砂介質(zhì)為例，采用混合物理論，開展了彈性波在尾砂介質(zhì)中傳播特性的理論分析。在理論分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合尾砂介質(zhì)的實(shí)測參數(shù)，對非飽和尾砂土中4種體波彌散性進(jìn)行全面的數(shù)值分析，并得到以下結(jié)論：

（1）非飽和土中P1波的波速最大，S波波速最小，P2和P3波介于兩者之間，且 P3波波速小于 P2波。P2和P3波的衰減較大，P1波的衰減最小。

（2）在低頻和高頻范圍內(nèi)，4種體波波速的變化不大，而在中間頻段則相對顯著。P2和P3波的頻散性很大，P1波次之，而S波的頻散很小?？傮w上講，非飽和土中體波波速與衰減均隨著頻率的提高而增大。

（3）隨飽和度的提高，P1波的波速增大，P2和P3波的波速在飽和度為0.6時(shí)分別出現(xiàn)最小值和最大值，而S波受飽和度的影響很??；P1和S波的衰減系數(shù)始終保持于非常低的水平，P3波的衰減急劇減小后趨于平穩(wěn)，P2波的衰減最大，在飽和度為0.6時(shí)出現(xiàn)最大值。

［1］BiotM A.Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid［J］.Journal of Applied Mechanics，1955，26：182-185.

［2］BiotM A.General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous material［J］.Journal of Applied Mechanics，1956，23：91-95.

［3］BiotM A.The theory of propagation of elastic waves in a fluid saturated porous solid［J］.Journal of Acoustics of Society of American，1962，34：168-191.

［4］Biot M A.Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous dissipative media［J］.Journal of Acoustics of Society of American，1962，34：1482-1498.

［5］Ishihara K.Approximate forms of wave equations for water saturated porous materials and related dynamic modulus［J］.Soils and Foundations，1970，10：10-38.

［6］Stoll R D.Acoustic waves in saturated sediments［A］.In Physics of Sound in Marine Sediments［C］.Hampton L ed.，New York：Plenum Press，1974，19-39.

［7］門福錄.波在飽水孔隙彈性介質(zhì)中的傳播［J］.地球物理學(xué)報(bào)，1965，14（2）：107-114.MEN Fulu.Wave propagation in a porous，saturated elastic medium［J］.Acta Geophysica Sinica，1965，14（2）：107-114.

［8］門福錄.波在飽含流體的孔隙介質(zhì)中的傳播問題［J］.地球物理學(xué)報(bào)，1981，24（I）：65-76.MEN Fulu.Problems of wave propagation in porous，fluid-saturated media［J］.Acta Geophysica Sinica，1981，24（I）：65-76.

［9］CHEN Longzhu，etal.Propagation of elastic waves in water-saturated soils［J］.Acta Mechanica Sinica，1987，3（1）：92-100.

［10］吳世明，陳龍珠.飽和土中彈性波的傳播速度［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1989，10（7）：605-612.WU Shiming，CHEN Longzhu.Propagation velocities of elastic waves in saturated soils［J］.Applied Mathematics and Mechanics，1989，10（7）：605-612.

［11］Bowen R M.Theory of mixture in continuum physics［M］.New York：Academic Press，1976，3：1-127.

［12］李向維，李向約.飽水孔隙介質(zhì)的質(zhì)量耦合波動(dòng)問題［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)，1989，10（4）：309-314.LIXiangwei，LIXiangyue.Wave propagation with mass-coupling effect in fluid-saturated porous media［J］.Applied Mathematics and Mechanics，1989，10（4）：309-314.

［13］White JE.Computed Seismic speeds and attenuation in rocks with partially gas saturation［J］.Geophysics，1975，40：224-232.

［14］Berryman JG.Bulk elastic wave propagation in partially saturated porous solid［J］.Journal of Acoustics of Society of American，1988，84：360-373.

［15］須明江，魏德敏.非飽和多孔介質(zhì)中彈性波的傳播特性［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2009，9（18）：5403-5409.XUMingjiang，WEIDemin.Characteristics of wave propagation in partially saturated poroelastic media［J］.Science Technology and Engineering，2009，9（18）：5403-5409.

［16］尾礦壩體彈性波傳播特性探索性研究［R］.長沙礦山研究院有限責(zé)任公司，湖南柿竹園有色金屬有限公司，2011.Study on the Characteristics ofwave propagation in tailings［R］.Changsha institute of Mining Research Co.Ltd，Hunan Shizhuyuan Nonferrous Metals Co.Ltd，2011.

［17］徐長節(jié)，史焱永.非飽和土中波的傳播特性［J］.巖石力學(xué)，2004，25（3）：354-358.XU Changjie，SHIYanyong.Characteristics of wave propagation in unsaturated soils［J］.Rock and Soil Mechanics，2004，25（3）：354-358.

［18］Vardoulakis I，Beskos D E.Dynamic behavior of nearly saturated porous media［J］.Mechanics of Materials，1986，5：87-108.

［19］Brooks R H，Corey A T.Hydraulic propertied of porous media［M］.Colorado State University：Hydrology Papers，1964：3-27.