孟波

(聯(lián)科應(yīng)用研究所,山東 濟南 250031)

常微分方程數(shù)值計算的新方法—偏差分方法的理論與分析

孟波

(聯(lián)科應(yīng)用研究所,山東 濟南 250031)

提出了一種新的常微分方程數(shù)值計算的方法,構(gòu)建了一些新的計算公式.提出的新方法計算公式繁多,是一種值得研究的常微分方程數(shù)值計算方法.

偏差分方法;一階偏差分;二階偏差分;加權(quán)平均偏差分方法

1 引言與基本知識介紹

傳統(tǒng)的常微分方程數(shù)值計算方法是建立在插值點的基礎(chǔ)上[1-5].本文基于偏差分的概念提出了一種構(gòu)建常微分方程數(shù)值方法的新思路,給出了一些具體的計算公式.本文的基本概念是偏差分,所以先介紹偏差分概念.本文只需要一階和二階偏差分.

由于連續(xù)函數(shù)的高階偏微分與順序無關(guān),所以本文認為高階偏差分也與順序無關(guān).當i/=j時二階偏差分包括四種類型,即

2 偏差分方法的基本思想和相關(guān)公式推導(dǎo)

本文建立的偏差分方法由于是建立在偏差分概念基礎(chǔ)之上的,所以稱為偏差分方法,該方法的基本思想是用偏差分代替導(dǎo)數(shù)做近似計算.其基本思路如下:

設(shè)存在常微分方程初值問題

以上八個公式可分成三類,第一類是顯式公式,包括(A2)式和(A4)式;第二類是隱式公式,包括(A1)式,(A3)式,(A6)式和(A8)式,其中(A1)式和(A3)式右邊隱式項出現(xiàn)了一次,而且是出現(xiàn)偏差分中,稱為單隱式公式,而(A 6)式和(A 8)式右邊隱式項出現(xiàn)了兩次,稱為雙隱式公式;第三類的最高項出現(xiàn)在右端偏差分表達式中,這是一類特殊的顯式公式,稱之為反向顯式公式,包括(A5)式和(A7)式.

按照本文的思路可以構(gòu)建更高階偏差分方法中的公式,不過當階數(shù)越高,偏差分方法的公式也會變得越復(fù)雜.限于篇幅本文以下給出二階偏差分方法中的公式形式.

(2.9)式和(2.10)式是二階偏差分方法的一般形式,可以根據(jù)不同的一階偏差分和二階偏差分構(gòu)造具體的二階偏差分方法中的公式.顯然二階偏差分方法中的公式也是有很多的.

3 常微分方程組的偏差分方法

4 加權(quán)平均偏差分方法

在傳統(tǒng)的常微分方程的計算方法中,梯形方法是顯式和隱式Euler方法的平均.但是平均方法還可以采用加權(quán)的方式構(gòu)造,也可以采用多個公式求加權(quán)平均.以下給出加權(quán)平均方法的構(gòu)造方法,不考慮(A 5)式和(A 7)式兩個反向顯示公式.先考慮零階加權(quán)平均偏差分方法,設(shè)存在權(quán)重s,0＜s＜1.對(2.2)式兩邊乘以s,對(2.3)式兩邊乘以1-s.然后相加得到

按照這種思路構(gòu)建的加權(quán)平均偏差分方法中(B7)式是顯式平均公式.當s=0.5時可稱為平均偏差分方法.以上的平均公式都是兩個公式的加權(quán)平均,稱為雙加權(quán)平均公式.實際還可以把k個偏差分公式加權(quán)平均構(gòu)建k加權(quán)平均公式.例如把三個公式加權(quán)平均得到三加權(quán)平均公式,把四個公式加權(quán)平均得到四加權(quán)平均公式,這樣的公式形式繁多,限于篇幅本文在此不一一列舉.當k≥3時,加權(quán)平均公式均為隱式公式.

5 偏差分方法穩(wěn)定性分析

以下考慮一階偏差分方法的穩(wěn)定性.設(shè)存在實驗方程y′=λy,λ＜0.

用相關(guān)的一階偏差分公式解實驗方程可以求出相應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域.由于實驗方程不含x,所以一階偏差分公式只有4個.(A 1)和(A 3)式合為一個,(A 2)和(A 4)合為一個,(A 5)和(A 7)合為一個,(A6)和(A8)合為一個.設(shè)hλ=h*.

把實驗方程代入(A1)式或(A3)式得到:

6 數(shù)據(jù)計算

以下通過實際計算來觀察偏差分方法的精度,為了方便起見,僅討論一階偏差分方法.傳統(tǒng)方法的計算過程可參閱參考文獻[6].

例2使用顯式和隱式Euler方法,梯形方法,4階Runge-Kutta方法以及一階偏差分方法和加權(quán)平均法求解下列常微分方程初值問題:y′=x+y,y(0)=1,h=0.1,0≤x≤0.5.

本例有精確解y=-1-x+2ex.下面把以上方法的計算結(jié)果列表給出(見表1).

表1 例2方法的計算結(jié)果

使用一階偏差分方法求解,相應(yīng)的各公式計算格式如下:

本例中,(A 1)式和(A 3)式,(A 2)式和(A 4)式,(A 5)式和(A 7)式,(A 6)式和(A 8)式形式相同.對于(B0)式,取s=0.508.八個一階偏差分公式和(B0)式的計算結(jié)果如表2所示.

表2 八個一階偏差分公式和(B 0)式的計算結(jié)果

從本例看出,一階偏差分方法中四個隱式公式(A1),(A3),(A 6),(A8)精確度跟梯形方法相當,兩個顯式公式(A2)和(A4)的精度也明顯好過顯式和隱式Euler方法,而(A5)和(A7)兩個反向顯式公式發(fā)散.顯然由于反向顯式公式的最高階出現(xiàn)在右端函數(shù)中,而右端函數(shù)的前面需要乘以很小的h,這樣可能出現(xiàn)最高階前分母很小,從而造成發(fā)散.而加權(quán)平均方法只要選擇了適當?shù)臋?quán)值,計算精度會好于梯形方法,甚至?xí)糜跇藴?階Runge-Kutta方法.

7 結(jié)束語

偏差分方法是在偏差分概念的基礎(chǔ)上結(jié)合Taylor公式推導(dǎo)出的一種新方法,該方法與傳統(tǒng)的線性多步法不同,因為線性多步法考慮的是步長上的點,而偏差分方法考慮的是偏差分.偏差分方法具有以下特點:一是形式簡單;二是精度高,一階顯式和隱式偏差分方法均具有較高的精度;三是該方法中的公式形式多,可酌情使用.所以,偏差分方法是一種值得研究的新方法.

[1]郭大鈞.大學(xué)數(shù)學(xué)手冊[M].濟南:山東大學(xué)出版社,1985.

[2]鄧建中,劉之行.計算方法[M].2版.西安:西安交通大學(xué)出版社,2002.

[3]余德浩,湯華中.微分方程數(shù)值方法[M].北京:科學(xué)出版社,2006.

[4]李立康,於崇華,朱政華.微分方程數(shù)值方法[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1999.

[5]王立秋,魏煥彩,周學(xué)圣.工程數(shù)值分析[M].濟南:山東大學(xué)出版社,2002.

[6]王立秋,魏煥彩,周學(xué)圣.工程數(shù)值分析習(xí)題解[M].濟南:山東大學(xué)出版社,2002.

Theory of partial difference method─ A new numerical method for ordinary differential equation

Meng Bo

(Lianke Application Institute, Ji′nan 250031, China)

This paper sets up a new numerical method for ordinary differential equation and gives some formulas of this method. This new method which has many specific formulars is worth thoroughly studying.

partial difference method, first-order partial difference, second-order partial difference,weighted average partial difference method

O241.81

A

1008-5513(2012)02-0186-10

2011-03-30.

聯(lián)科應(yīng)用研究所項目(201101).

孟波(1964-),高級工程師,研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué)各分支.

2010 MSC:65L05