李順異,唐興蕓,薛先貴

(黔南民族師范學院數學系,貴州 都勻 558000)

捕食者具階段結構和脈沖擾動的群體防衛(wèi)捕食系統

李順異,唐興蕓,薛先貴

(黔南民族師范學院數學系,貴州 都勻 558000)

研究了一類捕食者具有階段結構與脈沖擾動和食餌具有群體防衛(wèi)效應的捕食系統,應用Floquet乘子理論和脈沖比較定理,獲得了食餌(害蟲)滅絕周期解局部穩(wěn)定和系統持續(xù)生存的充分條件.通過數值例子討論了脈沖周期,成年捕食者(天敵)的投放量和群體防衛(wèi)效應系數對系統的重要作用,并揭示了系統諸如周期與擬周期振蕩,混沌,吸引子突變等復雜的動力學現象.為實際的害蟲管理提供了可靠的策略依據.

階段結構;群體防衛(wèi);脈沖擾動;持續(xù)生存;混沌

1 引言

自然界中有許多種群在其生命歷程中需要經歷不同的生命階段,即從幼年種群到成年種群,從不成熟到成熟,從成年到老年等.而且在其成長的各個生命階段生理機能(出生率,死亡率,競爭率,捕食能力)有比較顯著的差別.這在不同程度上影響著種群的持續(xù)生存和絕滅,考慮種群的階段差異性是更具有實際意義的[1-3].

在捕食系統中,食餌的群體防衛(wèi)效應是指當食餌種群密度足夠大時它們能增強自身的集體防衛(wèi)和保護能力,從而導致捕食者種群密度減小,甚至絕滅[4].此時,捕食者對食餌的捕食能力(功能反應函數),需要用非單調功能反應函數來描述.文獻[5]在研究具有群體防衛(wèi)的食物鏈系統時,提出了一類非線性功能反應函數:

其中參數α＞0,β＞0.最近,文獻[6-13]研究了脈沖作用(脈沖投放捕食者(天敵),脈沖噴灑農藥等)下的捕食系統,討論了食餌(害蟲)滅絕周期解的穩(wěn)定性及系統持續(xù)生存的充分條件.文獻[6]構建了功能反應函數為φ(x(t))=αx(t)e?βx(t)的脈沖捕食系統,通過數值模擬揭示了諸如擬周期振蕩,倍周期與半周期分支,吸引子突變,動力學行為不唯一等復雜的動力學現象.

但是,具有脈沖作用和階段結構(無時滯)的捕食系統的研究結果較少.文獻[11]討論了捕食者具階段結構的脈沖兩食餌-捕食者系統,獲得了食餌滅絕周期解局部穩(wěn)定和系統持續(xù)生存的充分條件.文獻[12-13]研究了捕食者具階段結構和Holling-II功能反應的脈沖捕食系統,獲得了食餌滅絕周期解全局穩(wěn)定和系統持續(xù)生存的充分條件,并通過數值模擬討論了脈沖捕食者投放量對系統動力學行為的影響.本文在捕食者種群中引入階段結構,考慮脈沖投放捕食者(天敵)且食餌(害蟲)具有群體防衛(wèi)效應的的捕食系統:

2 預備引理

3 滅絕性與持續(xù)生存性

4 數值例子

在系統 (1.1)中,令a=3.5,b=1.1,α=1.2,β=0.2,k=0.75,d1=0.25,d2=0.18, m=0.5,q1=0.2,q2=0.5,初值X(0)=(0.1,0.3,3.0).由定理3.1知,當T=1.19＜Tmax≈1.2063時,食餌(害蟲)滅絕周期解是局部穩(wěn)定的.如圖1(a)所示,食餌種群的數量在較短時間內趨于零,而捕食者種群呈穩(wěn)定的周期波動.因此,為了根除害蟲,并考慮到釋放天敵的數量和成本,可以選擇脈沖周期T使得T＜Tmax.當T=1.22＞Tmax≈1.2063時,系統(1.1)持續(xù)生存.如圖1(b)所示,較少數量的食餌種群與捕食者種群以穩(wěn)定的周期振蕩形式共存.

圖1 系統(1.1)的動力學行為

進一步,作出系統(1.1)關于周期T在[1.2,12.2]上變化的分支圖,從圖2(a)可知,隨著脈沖周期T的增大,系統經歷了擬周期與周期振蕩,混沌,吸引子突變等復雜現象,這表明脈沖周期T對系統(1.1)的動力學性質有重要的影響.在混沌區(qū)域中食餌(害蟲)種群的最大值較大,而在周期區(qū)域中食餌(害蟲)種群的最大值較小.在實際的害蟲管理中,要根除害蟲是不實際,也是不可能的.考慮到生態(tài)環(huán)境的穩(wěn)定性和害蟲管理的成本,可以選擇適當的脈沖周期T使其略大于Tmax(如T=1.22).這樣,將食餌(害蟲)控制在較低的密度水平,少量食餌(害蟲)與捕食者(天敵)以穩(wěn)定的周期振蕩形式共存.

類似地,令 T=6,除 q2外其它參數保持不變,作出脈沖投放成年捕食者的數量 q2在[0.1,3.0]上的分支圖,從圖2(b)可知,系統經歷了混沌,周期振蕩等復雜現象.投放成年捕食者的數量q2太小時,系統呈混沌形式,且食餌(害蟲)種群數量的最大值較大,不利于害蟲管理.由于食餌(害蟲)種群數量的最大值大體上呈遞減趨勢,可以選擇適當的成年捕食者(天敵)投放量(如q2=3.0,此時對應的Tmax≈5.9683＜T)使得少量食餌與大量天敵以穩(wěn)定的周期振蕩共存,達到害蟲管理的目的.

令T=6,除 β外其它參數保持不變,作出群體防衛(wèi)系數 β在 [0.1,2.1]上的分支圖,從圖2(c)可知,系統經歷了周期與擬周期振蕩,混沌,吸引子突變等復雜現象.隨著群體防衛(wèi)系數β的增大,食餌(害蟲)種群的最大值大體上呈遞增趨勢,而捕食者(天敵)種群的數量的最大值大體上先逐漸增加,而后當β≈0.852時經歷混沌吸引子突變后迅速減小,大量食餌(害蟲)種群與少量捕食者(天敵)種群以穩(wěn)定周期振蕩的形式共存.通過以上分析可知,食餌(害蟲)種群較小的群體防衛(wèi)能力不能抵御捕食者(天敵)的捕食,通過脈沖投放天敵進行害蟲控制是很有效的;而當食餌(害蟲)具有較大的群體防衛(wèi)能力時,可以在一定程度上抵御捕食者(天敵)的捕食,使得食餌(害蟲)種群數量維持在較高水平.即食餌(害蟲)種群具有較高的群體防衛(wèi)能力時,不利于害蟲(食餌)種群的控制,此時必須增加捕食者(天敵)的投放量和提高脈沖投放的頻率,以達到有效控制害蟲的目的.

圖2 系統(1.1)食餌x和成年捕食者y2的分支圖

5 結論

本文研究了一類捕食者具有階段結構和食餌具有群體防衛(wèi)作用的脈沖擾動系統,通過脈沖比較定理和小擾動方法獲得了食餌(害蟲)滅絕周期解局部穩(wěn)定和系統持續(xù)生存的充分條件,并通過數值例子佐證了定理的正確性,揭示了脈沖周期T,成年捕食者的投放量q2和食餌種群的群體防衛(wèi)系數β對系統的重要作用.現實生產生活中,將害蟲根除是不可能的,從生態(tài)上和經濟上都是不可取的.由于Tmax是關于捕食者投放量q1,q2的函數,考慮到釋放天敵的成本,以及生態(tài)環(huán)境的穩(wěn)定性與生物多樣性,可以選擇脈沖周期T,使得T略大于Tmax,少量食餌與大量天敵以周期振蕩的形式穩(wěn)定共存,將害蟲控制在一個可接受水平—經濟危害水平之下,達到害蟲管理的目的.

參考文獻

[1]李順異,熊佐亮,古仁國.一類具有階段結構的食物鏈系統[J].數學的實踐與認識,2008,38(13):102-109.

[2]陳丹,張耘嘉,張樹文.具有巢寄生行為和階段結構的兩種群模型分析[J].純粹數學與應用數學,2010,26(4):656-662.

[3]劉勝強,陳蘭蓀.階段結構種群生物模型與研究[M].北京:科學出版社,2010.

[4]陳蘭蓀,孟新柱,焦建軍.生物動力學[M].北京:科學出版社,2009.

[5]Freedm an H I,Ruan SG.Hop f bifurcation in three-species food chain m odelswith group defense[J].M ath. Biosci.,1992,111(1):73-87.

[6]Li SY,X iong Z L,Wang X.The study of a predator-prey system with group defense and im pu lsive control strategy[J].App l.M ath.M odel.,2010,34(9):2546-2561.

[7]任慶軍,竇霽虹.具有非單調功能反應和脈沖擾動的捕食系統的分析[J].純粹數學與應用數學,2006,22(4):444-448.

[8]陳以平,謝君輝.具有脈沖擾動和非單調功能反應的三種群捕食系統的分析 [J].純粹數學與應用數學, 2009,25(2):332-338.

[9]張樹文,張耘嘉,譚德君.具脈沖效應和Beddington-DeAnglis功能反應時滯周期捕食系統[J].純粹數學與應用數學,2010,26(4):534-540.

[10]譚德君.具脈沖效應的非自治隨機干擾的捕食-食餌系統的研究[J].純粹數學與應用數學,2012,28(3):285-293.

[11]Song X Y,X iang Z Y.The prey-dependent consum p tion two-prey one-predatorm odelswith stage structure for the p redator and im pulsive eff ects[J].J.Theo.Biol.,2006,242(3):683-698.

[12]Wang L S,Xu R,Feng G H.A stage-structured predator-prey system with im pulsive eff ect and Holling type-II functional response[J].J.M ath.Rese.Expo.,2011,31(1):147-156.

[13]Wang L S,Xu R,Feng G H.Analysis of a stage-structured predator-prey system concerning im pulsive control strategy[J].Diff er.Equ.Dyn.Syst.,2011,19(4):303-313.

[14]宋新宇,郭紅建,師向云.脈沖微分方程理論及其應用[M].北京:科學出版社,2011.

Group defense predator-p rey system with stage-structu red and im pu lsive pertu rbations on p redator

Li Shunyi,Tang Xingyun,Xue Xiangui

(Department of M athematics,Qiannan Normal College for Nationalities,Duyun 558000,China)

A p rey-predator system with group defense for p rey,stage-structured and im pulsive perturbation for predator is considered.By using Floquet theorem and com parison theorem of im pulsive diff erentialequation, the su ffi cient conditions for locally stable of prey-eradication periodic solution and permanence of the system are obtained.The im portance of the im pulsive period,the released am ount ofm ature predator and the coeffi cient of group defense eff ect are discussed by num erical exam p les,and show that the system considered has m ore com p licated dynam ics,such as periodic and quasi-periodic oscillation,chaos,attractor crisis,etc.Our results p rovide reliab le strategy basis for practical pest m anagem ent.

stage-structure,group defense,im pulsive perturbation,perm anence,chaos

O175

A

1008-5513(2012)06-0765-09

2012-09-11.

貴州省教育廳青年項目基金([2010]096);貴州省重點支持學科(應用數學)基金([2009]303).

李順異(1982-),碩士,講師,研究方向:非線性動力系統,生物數學.

2010 M SC:34A 37,37D45,37N25,92D25