楊占錄 張國慶 王宗亮

（海軍潛艇學院，山東青島 266042）

0 引言

隨著傳統能源供應的日益緊張以及人們環(huán)保意識的提高，各大汽車制造商競相推出或準備推出電動汽車。大部分電動汽車使用大容量動力電池，其中就有鉛酸蓄電池。所有電動汽車都有電池管理系統（BMS），BMS對電池的當前狀態(tài)進行檢測，并根據使用情況對未來的狀態(tài)做出預測，這就需要建立蓄電池的數學模型。本文介紹幾種常見的蓄電池模型建立方法。

1 基于電化學機理的建模方法

蓄電池內部電解液所含有的活性物質，其濃度損失百分比可表示為：

式中：C*為初始濃度；C(t)為電解液中t時刻活性物質的濃度；時間t的取值范圍[0，L]，L為放電總時間，s(t)為t時刻的荷電狀態(tài)SOC。

當使用蓄電池一維的電化學模型，根據電化動力學理論，最終可得到電解液活性物質濃度損失百分比函數：

式中：v為反應中電子的數目；F為法拉利常數；A為電極的面積；D為擴散系數。

若考慮電流值為I的恒流放電過程，放電截止時ρ(L)=1，則可以得到以下等式：

對于給定的恒流放電集合{I*，*=1，2，…，n}，可以使用最小二乘法得到最優(yōu)的α、β參數，進而計算ρ(t)、s(t)，其中：

蓄電池機理建模側重于蓄電池的理論研究和設計，需要較強的電化學理論知識和設計經驗，蓄電池電化學機理模型和實際情況有較大差距，側重于理論驗證，一般用于蓄電池的輔助設計。

2 基于電化學經驗公式的建模方法

電化學專家根據電化學理論分析和實驗數據進行擬合分析，得出一些經驗公式，根據這些經驗公式的推導和分析，預測蓄電池電氣外特性和剩余容量，從而形成了電化學經驗公式模型。

2.1 Peukert經驗公式、Shepherd方程

Peukert經驗公式為：

Shepherd方程為：

式中：I1、I2為放電電流，t1、t2、C1、C2為以相應電流恒流放電的放電截止時間和放出的電量，U為蓄電池端電壓，ES、Ri、Ki、A、B、C均為恒定系數，可根據實驗數據獲得。

在恒流放電條件下，Peukert經驗公式可以對容量進行估算，Shepherd方程可以對蓄電池端電壓進行估算，這兩個方程聯立求解，即可得出不同荷電狀態(tài)下蓄電池的電氣外特性。

2.2 Nernst方程和Tafel方程電池模型

將Nernst方程表現為半經驗公式形式：

式中：a、b—經驗常數；E—蓄電池電動勢；Q—蓄電池電量；i? t—蓄電池放電量；t—放電時間。

Tafel方程表現為經驗公式形式：

式中：c、d—經驗常數；i—蓄電池放電電流。蓄電池電流則由下式表現：

式中：I—蓄電池總電流。

由以上三式可推導經驗常數的計算式：

以上四個參數可由蓄電池的放電性能曲線初步判定，可利用所推導的計算式反復校對經驗值的準確性，以提高模型的計算精度[6]。

3 基于等效電路的建模方法

3.1 Thevenin等效電路

Thevenin等效電路采用直流電壓源E與內阻r串聯，并與阻容并聯網絡串聯，阻容網絡表示蓄電池的過電壓現象，在蓄電池兩端并聯電阻Rg表示自放電現象，其電路原理圖如圖1所示。各元件的參數隨蓄電池的狀態(tài)（如荷電狀態(tài)、溫度）的變化而動態(tài)變化，變化規(guī)律的辨識與電化學經驗公式模型的處理方法相同。由于等效電路模型考慮的動態(tài)過程更加具體，所以其參數辨識也更加困難，如表示過壓現象的阻容網絡，其電容、電阻值的辨識準確度很難提高。

圖1 Thevenin等效電路

根據電路定律可得到：

式中：E0—理想電壓源；r—內阻；C0—平行極板之間的電容；R0—極板與電解液之間的非線性接觸電阻。

3.2 PNGV模型

PNGV等效電路電池模型通過對電池參數的線性化處理來模擬電池在一定 DOD水平下的動態(tài)性能。這個線性的等效電路模型能較好地預測電池在 HPPC測試循環(huán)下的電池端電壓[5]。模型的等效電路和數學公式描述如下所示。

式中： VOC—理想電壓源，它表示的是電池的開路電壓； 1 /—該電容描述的是因電流的時間積分而引起的開路電壓的變化；RO—電池的歐姆內阻； RP—電池內部極化電阻（如由于濃差極化）； CP— RP的并行電容；τ—極化時間參數；IP—極化電阻的電流； VL—電池端電壓。

圖2 PNGV等效電路

4 基于神經網絡的建模方法

由于人工神經網絡具有逼近多輸入輸出參數函數的特點，使其可以估計電池在不同放電狀態(tài)下所能夠放出的容量。

4.1 基于BP神經網絡的建模方法

BP神經網絡是一種單向傳播的多層前向網絡，它除了有一個輸入層和一個輸出層外，還有一層或多層的隱層，同層節(jié)點中沒有任何耦合。輸入信號從輸入層節(jié)點依次傳過各隱層節(jié)點，然后傳到輸出節(jié)點，每一層節(jié)點的只影響下一層節(jié)點的輸出。BP神經網絡具有的非線性映射能力保證其能夠成功逼近各種非線性函數。另外，BP神經網絡將信息分布式存儲于連接權系數中，使網絡具有較高的容錯和魯棒性。因此在目前的人工神經網絡的實際應用中，大部分是采用 BP神經網絡及它的變化形式。

4.2 基于RBF神經網絡的建模方法

徑向基函數神經（Radial Basis Function neural）網絡的網絡結構分為三層：輸入層由一些源點組成，將網絡與外界聯系起來；第二層是網絡中僅有的一個隱層，它的作用是從輸入空間到隱含層高維空間的非線性轉換；輸出層為線性層。對于RBF網絡的訓練，所需要確定的自由參數主要是其傳遞函數徑向基函數的中心、寬度和輸出單元的權值。而根據傳遞函數的自由參數確定方式不同，徑向基函數網絡又有著不同的訓練學習策略，比如建立在插值理論基礎之上的學習策略，結合正則化理論及核回歸理論的學習策略。

蓄電池SOC估計是通過蓄電池的工作電流、電壓和溫度這三種便于測量的參數，估計蓄電池實時的荷電狀態(tài)數值。對上述參數合理地選取，可以設計具有不同輸入輸出參數的多種 SOC估計模型。最為直接的方式是使用電壓、電流和溫度作為輸入，SOC值作為輸出，函數關系可以表述為：，這是標準模型。

5 建模方法比較

模糊系統對非線性映射有任意逼近能力，基于模糊理論的模糊辨識方法正廣泛地被用于復雜系統的辨識與控制，因此亦有學者采用模糊理論進行蓄電池建模。

除以上常見方法外，還有一些不太常用的建模方法。主要有：回歸分析建模方法、基于灰色理論的蓄電池建模方法、基于支持向量機方法的建模方法、鍵合圖建模方法、基于Map模型的建模方法。由于建模方法較多，可以將兩種建模方法結合使用，但是這些建模方法或者過于簡單，或者過于理論化，應用以上建模方法作為大容量動力蓄電池建模的備選方案時應慎重。

基于電化學機理建立模型的難度大，并且模型計算與實際情況相差較大?；陔娀瘜W經驗公式建模與基于等效電路建模，有一定的相近性，其關鍵問題在于公式中的眾多參數如何確定。

基于神經網絡的建模方法應用比較廣泛。建立神經網絡模型的關鍵是選擇合理的網絡結構、優(yōu)化的算法以及大量合理的實驗數據。其中網絡結構可以通過程序的自動選擇來實現，算法可以借鑒廣泛應用的成熟算法。如果建立蓄電池充放電實驗室，設計合理的充放電試驗，獲取大量有效數據，采用神經網絡方法可以建立滿足實際使用需求的蓄電池模型。

[1]Henry A. Catherino, Joseph F. Burgel, Andrew Rusek,etc. Modelling and simulation of lead-acid battery charging [J]. Power Sources, 1999, 17-20.

[2]馬守軍. 潛艇蓄電池建模策略分析[J]. 船電技術,2004(4):23~25.

[3]王治國. 鉛酸蓄電池等效電路模型研究[J]. 裝甲兵工程學院學報, 2003(3): 78~81.

[4]龔慶杰. 一種車用動力型蓄電池的建模仿真研究[J].蓄電池, 2005(2):76~79.

[5]趙建華. 現代潛艇鉛酸蓄電池放電模型研究[J]. 武漢理工大學學報, 2006(4): 675~677.

[6]徐魯杰. 潛艇用新型鉛酸蓄電池萬用放電模型研究[J]. 武漢理工大學學報, 2009(1): 177~179.