周呂 ，文鴻雁，李超

(1.桂林理工大學(xué)測(cè)繪地理信息學(xué)院，廣西桂林 541004;2.廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(桂林理工大學(xué))，廣西桂林 541004)

1 引言

水庫大壩安全監(jiān)測(cè)的原始觀測(cè)數(shù)據(jù)一般只展示了大壩的直觀表象，要深刻地揭示變形規(guī)律和做出判斷，還要通過對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)和監(jiān)測(cè)資料進(jìn)行系統(tǒng)的分析，對(duì)大壩的狀態(tài)做出及時(shí)的分析、解釋、評(píng)估和預(yù)測(cè)，才能為有效地監(jiān)控大壩的安全提供可靠依據(jù)。大壩變形數(shù)學(xué)模型是以大壩效應(yīng)量監(jiān)測(cè)值建立起來的具有一定形式的數(shù)學(xué)方程式。這種數(shù)學(xué)方程式能夠反映大壩效應(yīng)量監(jiān)測(cè)值的定量變化規(guī)律，確定大壩效應(yīng)量與其他環(huán)境影響因子間的確定性關(guān)系或統(tǒng)計(jì)關(guān)系［1］。由此本文通過灰色系統(tǒng)GM(1，1)、逐步回歸分析與最優(yōu)加權(quán)組合模型對(duì)一大壩的同一監(jiān)測(cè)點(diǎn)建立其水平位移量的變形模型，并將三個(gè)模型引入監(jiān)測(cè)點(diǎn)的變形預(yù)測(cè)中，利用原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，通過對(duì)比分析三模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，表明通過最優(yōu)加權(quán)組合建立的模型具有較高的預(yù)測(cè)精度。

2 灰色系統(tǒng)模型GM(1，1)的建立

灰色系統(tǒng)就是指既含有已知的又含有未知的或非確知的信息系統(tǒng)［2］?；疑到y(tǒng)理論通過對(duì)較少或不確定的表示系統(tǒng)行為特征的信息作生成變換來建立灰色模型(Grey Model)，以此來正確把握系統(tǒng)運(yùn)行行為和演化規(guī)律。GM(1，1)模型是一個(gè)只需一個(gè)灰色數(shù)列且適用于大壩變形預(yù)測(cè)分析的模型。GM(1，1)預(yù)測(cè)模型的建立過程如下［2］:

為了提高系統(tǒng)原始數(shù)據(jù)的規(guī)律性，可對(duì)灰色量采用數(shù)據(jù)生成方式，獲得有較強(qiáng)規(guī)律性的生成數(shù)列。常用的生成方法主要有:累加生成、累減生成、均值生成等。

令x(0)為某一監(jiān)測(cè)點(diǎn)各期的等間隔非負(fù)原始數(shù)據(jù)序列:

式中n為序列長(zhǎng)度，k=1，2，…，n。對(duì)原始序列進(jìn)行一次累加生成，得到光滑的生成數(shù)列(記 x(1)=AGOx(0)):

對(duì)(2)時(shí)間求導(dǎo)建立GM(1，1)一階線性灰微分方程，即GM(1，1)預(yù)測(cè)模型的白化方程:

式中a，b為待定常數(shù)。a用來控制系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢(shì)的大小，稱為發(fā)展系數(shù);b用來反映數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，稱為灰色作用量。由文獻(xiàn)［2］對(duì)方程(3)求一重積分，得到GM(1，1)白化方程的時(shí)間響應(yīng)式:

通過累減生成GM(1，1)預(yù)測(cè)模型:

3 逐步回歸原理分析

逐步回歸的基本思想是，將變量在其偏回歸平方和經(jīng)檢驗(yàn)都顯著的情況下一個(gè)一個(gè)引入，同時(shí)對(duì)每一個(gè)選入的新變量進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn)，以剔除不顯著變量，保證最后所得的變量子集中的所有變量都是顯著的，經(jīng)過若干步后便得到“最優(yōu)”變量子集［3］。

逐步回歸的數(shù)學(xué)模型為:

增加一個(gè)自變量u，相應(yīng)的資料向量為un×1，于是模型(9)就變?yōu)?

如果經(jīng)檢驗(yàn)假設(shè)H0∶bu=0被接受，則變量u不能入選;若H0被否決，則變量u應(yīng)入選。

逐步回歸的每一步驟，不但要選入變量，而且還要對(duì)已入選的變量進(jìn)行檢驗(yàn)，觀察每個(gè)變量的重要性是否發(fā)生變化。對(duì)不重要的變量要剔除，剔除變量的準(zhǔn)則和方法如下:

設(shè)已入選變量就是前 k+1個(gè)變量:x1，x2，…，xk。用Fj表示變量xj(j=1，2，…，k+1)是否能剔除的統(tǒng)計(jì)量。用，Q(j)，R(j)(j=1，2，…，k+1)分別表示相應(yīng)的xj的回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)，殘差平方和與矩陣R，考察模型為:

則有:

比較 F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)k+1，取其中最小者，設(shè)為 Fk+1。設(shè)顯著水平為α?xí)r的臨界值為Fα(1，n－k－2)，如果Fk+1≤Fα(1，n－k－2)則表明 xk+1不重要，可以剔除。對(duì)剩下的變量再依照此方法考察，直到?jīng)]有需要剔除的變量時(shí)，再轉(zhuǎn)入考察是否有變量可以入選。

4 最優(yōu)加權(quán)組合模型

組合預(yù)測(cè)就是將幾種單一模型的預(yù)測(cè)結(jié)果選取恰當(dāng)?shù)臋?quán)重進(jìn)行加權(quán)平均的一種預(yù)測(cè)方法。組合模型的建模過程如下［5］:

依據(jù)已有的觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的物理特性建立各個(gè)不同的單一函數(shù)模型yi(i=1，2，…，k)，設(shè)有m個(gè)單一的函數(shù)模型，則有組合模型:Yq=f(y1，y2，…，yk)，k≤q，q為m個(gè)模型的組合數(shù)。

設(shè)組合模型中各函數(shù)模型的權(quán)重向量為:P=［p1，p2，…，pk］，取這時(shí)，組合模型的形式為:

若某一單個(gè)函數(shù)模型的擬合殘差為:

則各函數(shù)模型可構(gòu)成擬合殘差矩陣:

組合模型的最優(yōu)權(quán)重向量求解，是依據(jù)最小二乘原理對(duì)誤差平方和求解數(shù)學(xué)規(guī)劃。其目標(biāo)函數(shù)與約束條件為:，令 R=［1，1，…，1］T，則有:

對(duì)式(14)用拉格朗日乘子法求解可得最優(yōu)權(quán)重向量為:

將式(15)中所求得的 P=［p1，p2，…，pk］代入式(11)中可得最優(yōu)加權(quán)組合模型。

當(dāng)某一個(gè)模型，在擬合時(shí)，模型誤差較大，則該模型在組合時(shí)，占的權(quán)的比重則較少，當(dāng)模型誤差較小，則該模型在組合時(shí)，占的權(quán)的比重則較大。

5 模型精度檢驗(yàn)

本文采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法［4］評(píng)判模型的精度。后驗(yàn)差是對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行精度檢驗(yàn)，考察殘差較小的點(diǎn)出項(xiàng)的概率，以及與殘差方差有關(guān)的指標(biāo)的大小，該檢驗(yàn)法由后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P來共同描述。

式中:q(k)=x0(k)－^x0(k)

小誤差概率為:P=P{|q(k)－ˉq|＜0.6745s1}

按照C和P兩個(gè)指標(biāo)，可以綜合評(píng)判模型精度，各精度等級(jí)如表1所示。

后驗(yàn)差檢驗(yàn)法精度等級(jí)表 表1

6 應(yīng)用實(shí)例分析

大壩的變形分析一般包括:沉降分析、水平位移分析、裂縫分析、撓度分析等。以某大壩一監(jiān)測(cè)點(diǎn)的20期水平位移觀測(cè)數(shù)據(jù)為例，分析影響大壩橫向水平位移較大的影響因子:氣溫(t)、水庫水位(h)、水頭(s)等并分別利用GM(1，1)模型、逐步回歸模型和最優(yōu)加權(quán)組合模型對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。GM(1，1)模型的建立利用MATLAB語言編程實(shí)現(xiàn)并完成數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè);逐步回歸模型的建立及數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)利用 SPSS Statistics實(shí)現(xiàn)(F選入的臨界值為0.05，F(xiàn)剔除的臨界值為0.10);最優(yōu)加權(quán)組合模型的建立是在已經(jīng)建立好的GM(1，1)模型與逐步回歸模型的基礎(chǔ)上，通過加權(quán)平均計(jì)算獲得各單一模型的權(quán)重來實(shí)現(xiàn)并完成數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)。結(jié)果如表2所示。

三種模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比表表2

用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法對(duì)以上三種模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)，各個(gè)模型的后驗(yàn)差比值C、小誤差概率P及綜合精度等級(jí)，如表3所示。

三種模型的精度對(duì)比表 表3

對(duì)各個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度利用均方誤差、平均絕對(duì)誤差進(jìn)行誤差分析，如表4所示。

三種模型誤差分析對(duì)比表 表4

由表3、表4可以看出，GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)均方誤差較大，且GM(1，1)模型的綜合精度檢驗(yàn)不合格;逐步回歸模型與最優(yōu)加權(quán)組合模型均有較好的預(yù)測(cè)精度，綜合各項(xiàng)精度指標(biāo)可知，最優(yōu)加權(quán)組合模型的精度最高。

將GM(1，1)模型、逐步回歸模型與最優(yōu)加權(quán)組合模型的運(yùn)算值同實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如圖1所示。

圖1 三種模型擬合結(jié)果對(duì)比

由圖1可以看出，大壩水平位移量隨觀測(cè)時(shí)間呈現(xiàn)出一定的周期性，水平位移量曲線呈波形;逐步回歸模型與最優(yōu)加權(quán)組合模型的預(yù)測(cè)曲線呈波形，與實(shí)測(cè)水平位移量曲線較相似，而GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)曲線呈線形，與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)曲線截然不同。由于大壩水平位移量受氣溫、庫水位、水頭等多方面的影響，水平位移量并不呈線性遞增或遞減，而是一條具有一定周期變換的波形曲線，這使得利用GM(1，1)模型對(duì)大壩水平位移量進(jìn)行預(yù)測(cè)，模型擬合精度較差，所以水平位移預(yù)測(cè)精度較低。而逐步回歸模型考慮到了各影響因子影響擬合精度較高，預(yù)測(cè)的精度也較高;而將GM(1，1)模型與逐步回歸模型建立的組合模型，由于GM(1，1)模型的模型擬合誤差較大，則該模型在組合時(shí)，占的權(quán)的比重則極少，而逐步回歸模型的模型擬合誤差較小，所以該模型在組合時(shí)，占的權(quán)的比重則較大，這樣組合模型擬合與預(yù)測(cè)的結(jié)果基本上與逐步回歸模型計(jì)算結(jié)果一致。

7 結(jié)論

針對(duì)大壩變形分析，本文通過灰色系統(tǒng)GM(1，1)模型、逐步回歸模型與最優(yōu)加權(quán)組合模型對(duì)一實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行大壩水平位移的變形對(duì)比分析得出以下結(jié)論:

(1)由文中圖表可知，GM(1，1)模型在本實(shí)例波動(dòng)較大或非線性數(shù)據(jù)的時(shí)模型擬合精度較差，用于水平位移預(yù)測(cè)精度不高。而逐步回歸模型，由于考慮到多因子影響，在本實(shí)例中，模型擬合精度較高，用于大壩水平位移預(yù)測(cè)精度較高，效果較好。

(2)對(duì)于大壩的變形分析，由于影響大壩變形的影響因子有很多，在對(duì)大壩形變進(jìn)行分析、預(yù)報(bào)時(shí)考慮多方面且比較合理的影響因子會(huì)提高模型的預(yù)測(cè)精度。逐步回歸模型正是比較合理的選入與剔除模型的影響因子，故其精度滿足大壩水平位移量的預(yù)測(cè)分析。

(3)由于最優(yōu)加權(quán)組合模型通過單一模型擬合精度進(jìn)行最優(yōu)加權(quán)組合，根據(jù)模型擬合誤差高低進(jìn)行定權(quán)，能較好地保持?jǐn)M合精度較高的模型的優(yōu)點(diǎn)，故最優(yōu)加權(quán)組合模型可以克服因選擇單一模型因擬合精度較差而得到的預(yù)測(cè)效果欠佳的風(fēng)險(xiǎn)，提高了模型整體應(yīng)用效果。

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