高良博 ，唐詩(shī)華，賈偉，孫昌瑜

(1.桂林理工大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，廣西桂林 541004;2.廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西桂林 541004)

1 引言

隨著我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展以及城市規(guī)模不斷增大，城市人口流量不斷增加，交通狀況急需改善。為了解決交通擁堵問題，興建地鐵成為有效解決途徑之一。地鐵多經(jīng)過市中心或是人口稠密地區(qū)，然而地鐵等大型工程施工過程會(huì)引起地表以及周邊建筑物的變形，為了確保城市及工程建設(shè)的安全，就需要通過一定的方法來對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和研究。本文利用GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型分別對(duì)地鐵豎井沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)?；疑到y(tǒng)模型是以“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象，主要通過對(duì)“部分”已知信息的生成、開發(fā)來提取有價(jià)值的信息，利用這些信息來進(jìn)行有針對(duì)性的處理，從而得到相應(yīng)的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，為工程的安全施工提供有效保障。

2 灰色GM(1，1)模型原理

2.1 灰色GM(1，1)模型的建立

設(shè)原始非負(fù)數(shù)據(jù)序列:

其中，x0(k)≥0，k=1，2，…，n，n 為序列長(zhǎng)度。對(duì)原始序列X(0)進(jìn)行一次累加生成(1－AGO)，得到一個(gè)生成序列X(1):

對(duì)X(1)作緊鄰均值生成:令

建立一階微分方程為:

式中，a為灰色系統(tǒng)的發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量，此式稱為GM(1，1)模型。

利用最小二乘法求解并帶入一階微分方程(4)的解可得時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為:

所對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)序列為:

2.2 灰色GM(1，1)模型的精度

模型精度即模型擬合程度，通常采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法，其是對(duì)殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn)，是由后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P組成。

設(shè)原始數(shù)列及相應(yīng)的預(yù)測(cè)模型模擬序列分別為X(0)和，殘差序列為:

模型精度檢驗(yàn)等級(jí)表 表1

3 灰色Verhulst模型

設(shè)X(0)為原始數(shù)據(jù)序列，X(1)為X(0)的1－AGO序列，Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，則稱x(0)(k)+az(1)(k)=b［z(1)(k)］α為 GM(1，1)冪模型，式中當(dāng) α=2時(shí)，稱為灰色Verhulst模型。

建立灰色Verhulst模型的白化方程為:

利用最小二乘法求解并帶入白化方程解可得時(shí)間響應(yīng)序列為:

灰色 Verhulst模型的精度檢驗(yàn)方法與灰色GM(1，1)模型的精度檢驗(yàn)方法相同。

4 工程應(yīng)用實(shí)例

4.1 GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型預(yù)測(cè)

本文主要對(duì)地鐵軌道交通11標(biāo)段豎井沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和研究。利用Matlab軟件完成GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型的程序編寫，實(shí)現(xiàn)模型的模擬與預(yù)測(cè)功能。然后利用實(shí)際沉降監(jiān)測(cè)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)，選取變形監(jiān)測(cè)原始數(shù)據(jù)中等時(shí)間間距的10組數(shù)據(jù)，分別用GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)。其預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

原始變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)與模擬預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)比較 表2

經(jīng)后驗(yàn)差檢驗(yàn)，GM(1，1)模型的后驗(yàn)差比值C=0.43，小概率誤差P=1，精度等級(jí)為1;Verhulst模型的后驗(yàn)差比值C=0.19，小概率誤差P=1，精度等級(jí)為1，均通過了模型精度檢驗(yàn)。模型的擬合精度達(dá)到要求。GM(1，1)模型和Verhulst模型均可以應(yīng)用于模擬和預(yù)測(cè)。

圖1 沉降值與預(yù)測(cè)值比較

圖2 GM(1，1)模型與灰色Verhulst模型的殘差值比較

通過觀察分析圖1和圖2得出以下結(jié)論:

(1)如圖1所示，同時(shí)采用GM(1，1)模型和Verhulst模型進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)，由前10組數(shù)據(jù)建立模型進(jìn)行模擬，對(duì)后3個(gè)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。顯然，Verhulst模型的模擬和預(yù)測(cè)效果比GM(1，1)模型的效果好。

(2)GM(1，1)模型本質(zhì)上屬于指數(shù)函數(shù)模型，隨著預(yù)測(cè)步長(zhǎng)k的不斷增大，模擬預(yù)測(cè)曲線不斷單調(diào)上升，根據(jù)圖1所示，GM(1，1)模型的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值有很大偏差，故該模型不宜用于此工程的變形沉降模擬預(yù)測(cè);而Verhulst模型適用于具有飽和狀態(tài)的S形序列，針對(duì)地鐵豎井沉降監(jiān)測(cè)很適用，該模型的模擬值和預(yù)測(cè)值都與實(shí)測(cè)數(shù)值相符合，總體偏差不大，擬合效果較好。

(3)如圖2所示，GM(1，1)模型的模擬預(yù)測(cè)殘差值較大，而Verhulst模型的模擬預(yù)測(cè)殘差值總體穩(wěn)定，沒有較大的浮動(dòng)，說明Verhulst模型的模擬預(yù)測(cè)效果好，更適用于地鐵豎井沉降預(yù)測(cè)。

5 結(jié)語

本文通過模擬與預(yù)測(cè)的實(shí)例可以看出，Verhulst模型能夠較好地預(yù)測(cè)沉降變化，其預(yù)測(cè)精度優(yōu)于GM(1，1)模型，并且精度較高。這主要是由于灰色Verhulst模型的系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律與變形沉降的發(fā)生過程具有內(nèi)在的一致性，這符合Verhulst模型的建模規(guī)律?；疑玍erhulst模型是在較少的沉降數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立沉降預(yù)測(cè)模型，通過該工程實(shí)例充分說明灰色Verhulst模型的實(shí)用性、有效性和可靠性。該模型能夠預(yù)測(cè)沉降的發(fā)展趨勢(shì)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)過大沉降差值，以便采取相應(yīng)措施。

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