穆朝絮 孫長銀 錢承山，2

(1東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京210096)

(2南京信息工程大學(xué)信息與控制學(xué)院，南京210044)

衛(wèi)星在執(zhí)行特定任務(wù)時(shí)，對(duì)飛行姿態(tài)有一定的要求，如要求對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星的觀測(cè)儀器窗口始終對(duì)準(zhǔn)地面.因此，對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)控制是衛(wèi)星技術(shù)發(fā)展的關(guān)鍵.傳統(tǒng)的以歐拉角描述航天器姿態(tài)的控制方法具有直接明確的幾何意義，但需要進(jìn)行大量的三角函數(shù)計(jì)算，且在進(jìn)行大角度(如俯仰角為±π/2)機(jī)動(dòng)調(diào)整時(shí)會(huì)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象.采用四元數(shù)方法描述衛(wèi)星姿態(tài)，能解決上述奇異性問題且有利于存貯和計(jì)算.文獻(xiàn)［1］設(shè)計(jì)了四元數(shù)反饋控制律，有效地解決了飛行器大角度姿態(tài)控制問題.近年來，四元數(shù)方法在航天器姿態(tài)定位與控制中得到了廣泛應(yīng)用［2-4］.然而，四元數(shù)描述衛(wèi)星姿態(tài)具有雙值性.文獻(xiàn)［5］采用誤差四元數(shù)方法描述航天器姿態(tài)，解決了姿態(tài)控制中最終姿態(tài)表示的非單值問題.

滑模控制是處理非線性系統(tǒng)控制問題的一種有效方法.它對(duì)外部擾動(dòng)具有良好的魯棒性，在航天器控制系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用［6-10］.文獻(xiàn)［6-9］討論了滑模控制在衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制中的應(yīng)用.對(duì)于外界干擾，滑?？刂剖峭ㄟ^使用高控制增益來獲得魯棒性的，因而對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)提出了較高的要求，有時(shí)甚至是無法實(shí)現(xiàn)的，亦會(huì)加劇抖振的幅值.近年來，干擾觀測(cè)器方法受到普遍關(guān)注.該方法的優(yōu)點(diǎn)是能夠有效克服外界干擾但不需要高的控制器增益.文獻(xiàn)［10］針對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)控制問題設(shè)計(jì)了滑?？刂坡桑⒒跔顟B(tài)方程設(shè)計(jì)了干擾觀測(cè)器，以抑制滑?？刂浦泄逃械亩墩瘢岣呖刂菩Ч?，但是該方法要求干擾信號(hào)的導(dǎo)數(shù)為零，僅對(duì)慢時(shí)變干擾信號(hào)有效.

本文以基于誤差四元數(shù)和誤差角速度的衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為研究對(duì)象，采用Lyapunov方法設(shè)計(jì)了一種滑?？刂破?通過引入干擾觀測(cè)器來消減干擾的影響，并構(gòu)造了模糊規(guī)則平滑控制量.對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)的仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制方案在實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)控制的同時(shí)，有效解決了滑?？刂频亩墩駟栴}，且具有良好的魯棒性.

1 衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 基于四元數(shù)的衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)模型

剛體衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

式中，ω=［ω1ω2ω3］T∈R3為衛(wèi)星本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的角速度矢量;J∈R3×3為衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，且為正定矩陣;U=［u1u2u3］T∈R3為三軸控制力矩矢量;D∈R3為系統(tǒng)的干擾力矩;對(duì)于?ω∈R3，符號(hào)ω?可表示為

剛體衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程應(yīng)用四元數(shù)法可表示為

式中，Q=［q0q1q2q3］T為衛(wèi)星本體坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)矢量，且滿足

1.2 基于誤差四元數(shù)的衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)模型

考慮三軸穩(wěn)定的衛(wèi)星姿態(tài)控制，以軌道坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系.設(shè)軌道坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的目標(biāo)姿態(tài)四元數(shù) Qc=［qc0qc1qc2qc3］T，系統(tǒng)初始姿態(tài)四元數(shù)Q=［q0q1q2q3］T，則衛(wèi)星本體坐標(biāo)系到軌道坐標(biāo)系的姿態(tài)誤差四元數(shù)Qe定義為

在偏航角、滾轉(zhuǎn)角、俯仰角均為0的條件下，設(shè)衛(wèi)星目標(biāo)姿態(tài)四元數(shù)Qc= [1 0 00]T.由式(3)可知，系統(tǒng)誤差四元數(shù)與系統(tǒng)初始姿態(tài)四元數(shù)相同.對(duì)于跟蹤問題，可以證明，當(dāng)Qc=±Q時(shí)，Qe=0，即+Q和－Q表示的位置是相同的，采用四元數(shù)±Q表示航空器姿態(tài)具有雙值性，但用誤差四元數(shù)Qe表示時(shí)則具有單值性.Qe=0表示衛(wèi)星達(dá)到所要求的姿態(tài)位置，這是采用誤差四元數(shù)描述航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的優(yōu)點(diǎn).

設(shè)ωc=［ωc1ωc2ωc3］T為軌道坐標(biāo)系的目標(biāo)姿態(tài)角速度，ωe=［ωe1ωe2ωe3］T為衛(wèi)星本體坐標(biāo)系相對(duì)于軌道坐標(biāo)系的誤差角速度，則

式中，φQe為由誤差四元數(shù)Qe描述的從軌道坐標(biāo)系到衛(wèi)星本體坐標(biāo)系的姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣，且

根據(jù)式(1)、(2)和(4)，可得基于誤差四元數(shù)的衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，即

式中，D(t)=［d1(t)d2(t)d3(t)］T，且‖d1(t)‖，其中均為常數(shù).

因此，欲將衛(wèi)星三軸姿態(tài)慣性定向于某個(gè)位置，只須設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)幕？刂破鱑即可，使得式(5)和(6)描述的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，并滿足

2 基于干擾觀測(cè)器的衛(wèi)星模糊滑模控制器設(shè)計(jì)

2.1 衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

在滑?？刂浦?，通過設(shè)計(jì)控制律，可使被控系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)預(yù)先設(shè)計(jì)的滑模面，并沿滑模面以適當(dāng)?shù)乃俣葷u近趨向平衡點(diǎn).

考察式(5)和(6)描述的閉環(huán)系統(tǒng)，定義系統(tǒng)滑模面為

式中，S=［s1s2s3］T∈R3為滑模變量;K=diag(k1，k2，k3)，且 kj＞0，j=1，2，3.

定理1針對(duì)式(5)和(6)描述的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，在干擾有界的條件下，取滑模控制律為

式中，C，Ks為正定對(duì)角矩陣，且 Ks＞L1，其中 L1=為等效控制量;sgn(S)=［sgn(s1)sgn(s2)sgn(s3)］T為符號(hào)函數(shù).則系統(tǒng)狀態(tài)ωe和Qev能在有限時(shí)間到達(dá)滑模面S，并沿滑模面漸近收斂至原點(diǎn).

證明選取Lyapunov函數(shù)，則

等效控制Ueq設(shè)計(jì)為

將滑?？刂坡蒛=－Kssgn(S)－CS+Ueq代入，且K's=Ks－L1，則

故系統(tǒng)狀態(tài)ωe和Qev可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面S.

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)，S=0，系統(tǒng)將在U=Ueq作用下沿滑模面運(yùn)動(dòng).若S＞0，則控制量U＜Ueq，相當(dāng)于產(chǎn)生負(fù)的控制力矩將系統(tǒng)狀態(tài)控制到滑模面;若S＜0，則控制量U＞Ueq，相當(dāng)于產(chǎn)生正的控制力矩將系統(tǒng)狀態(tài)控制到滑模面.

系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上時(shí)，S=0，即 ωe=－KQev，代入式(6)可得，在滑模面上Qev滿足形如的動(dòng)態(tài)方程.為了簡(jiǎn)化證明，設(shè)kj=k，則漸近到達(dá)原點(diǎn).由于 ωe與Qev成比例關(guān)系，則ωe也漸近到達(dá)平衡點(diǎn).證畢.

2.2 干擾觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

依據(jù)文獻(xiàn)［11-12］中提出的微分器算法，得到如下引理.

引理1對(duì)于函數(shù)p(t)，若其n階導(dǎo)數(shù)是李普希茲連續(xù)的，且李普希茲常數(shù)為L，則

式中，z0，z1，…，zn分別為的估計(jì);λi(i=0，1，…，n)為微分器增益.

為了保證微分器的收斂，增益λi需要足夠大.文獻(xiàn)［11］已證明了對(duì)于任意階次的形如式(9)的微分器都存在一組增益序列{λi}ni=0，使得式(9)在有限時(shí)間內(nèi)收斂.對(duì)于一個(gè)5階的微分器，增益可以取為 λ0=1.1，λ1=1.5，λ2=2，λ3=3，λ4=5，λ5=8.

考慮如下的一階系統(tǒng):

式中，x(t)∈R，f(t)∈R分別為已知的狀態(tài)和變量;g(t)∈R為有界未知干擾.

根據(jù)引理1，由干擾g(t)設(shè)計(jì)的干擾觀測(cè)器具有如下定理.

定理2對(duì)于形如式(10)的非線性系統(tǒng)，‖g(t)‖＜L，其估計(jì)值可以由下式獲得:

證明根據(jù)引理1，設(shè)微分器輸入為

取一階微分器為

由微分器原理可知，z1將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到)(即g(t)).

故

由此可知，對(duì)于g(t)，存在如下形式的干擾觀測(cè)器:

式中，λ0=1.1;λ1=1.5.將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到g(t).證畢.

考慮到ωe與干擾的關(guān)系，式(5)中的干擾可改寫為G(t)=J－1D(t)=［g1(t)g2(t)g3(t)］T.G(t)有界，則，其中為常數(shù).又設(shè)J－1U，x=ωe，則G(t)的干擾觀測(cè)器可按下式設(shè)計(jì):

基于干擾觀測(cè)器的衛(wèi)星誤差四元數(shù)姿態(tài)控制動(dòng)力學(xué)方程為

2.3 模糊化

模糊控制算法由模糊化、模糊邏輯規(guī)則推理和解模糊化組成.在本文所設(shè)計(jì)的衛(wèi)星模糊滑模姿態(tài)控制系統(tǒng)中，采用sj作為模糊推理系統(tǒng)的輸入變量為輸出變量，具體設(shè)計(jì)算法步驟如下:

①確定輸入、輸出變量論域，定義輸入、輸出變量的模糊語言值分別為

②采用如表1所示的模糊推理規(guī)則進(jìn)行推理.

表1 模糊推理規(guī)則

③采用重心法將模糊輸出精確化.

3 仿真算例及分析

下面利用本文設(shè)計(jì)的干擾觀測(cè)器估計(jì)衛(wèi)星受到的干擾，然后設(shè)計(jì)模糊滑?？刂坡桑瑢?duì)衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).在仿真的初始條件中，衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

目標(biāo)姿態(tài)角速度為

外界未知干擾力矩為

衛(wèi)星初始誤差姿態(tài)為

衛(wèi)星初始誤差角速度為

滑?？刂破鲄?shù)為

按照誤差四元數(shù)方法對(duì)衛(wèi)星的姿態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模，基于干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)滑模控制律，在上述初始條件下，干擾觀測(cè)器參數(shù)設(shè)計(jì)為λ0=1.1，λ1=1.5，L2=diag(0.02，0.01，0.03).干擾觀測(cè)器對(duì)誤差的估計(jì)曲線和觀測(cè)誤差如圖1所示.基于干擾觀測(cè)器的滑?？刂葡孪到y(tǒng)的誤差角速度以及常規(guī)滑?？刂葡孪到y(tǒng)的誤差角速度如圖2所示.

圖1 干擾觀測(cè)器對(duì)干擾的估計(jì)

圖2 2種控制下姿態(tài)角速度的誤差變化曲線

在 Ks=diag(1，1，1)，C=diag(2，2，2)的增益條件下，使用干擾觀測(cè)器的滑模控制較好地減弱了未知干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，使用較小的控制增益便可讓系統(tǒng)達(dá)到漸近穩(wěn)定的狀態(tài).然而，由于干擾的影響，在較小的控制增益下，傳統(tǒng)的滑?？刂撇荒苁瓜到y(tǒng)穩(wěn)定.由于高頻切換，基于干擾補(bǔ)償?shù)幕？刂崎]環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)了抖振，這不利于控制器的實(shí)際使用，控制效果也不理想.為此，根據(jù)滑模量sj的大小，通過模糊邏輯推理直接設(shè)計(jì)~ksj，以代替不連續(xù)的符號(hào)函數(shù)，構(gòu)成模糊滑?？刂坡?

在模糊滑?？刂破髟O(shè)計(jì)中，輸入論域?yàn)椋郏?.1，0.1］，輸出論域?yàn)椋郏?25，125］.圖 3 ～圖5分別給出了模糊滑?？刂葡抡`差四元數(shù)和誤差角速度曲線、姿態(tài)角速度跟蹤曲線以及模糊滑?？刂屏枯敵銮€.由圖可知，對(duì)于給定的大角度初始條件，衛(wèi)星的誤差姿態(tài)四元數(shù)和誤差姿態(tài)角速度以較高的精度達(dá)到目標(biāo)值，姿態(tài)角也較好地跟蹤了目標(biāo)姿態(tài)角，控制過程中抖振被抑制，姿態(tài)控制系統(tǒng)性能良好.滑?？刂贫墩袂闆r已經(jīng)獲得了明顯的改善.

圖3 模糊滑模控制下誤差角速度和誤差四元數(shù)曲線

圖4 模糊滑?？刂葡伦藨B(tài)角速度跟蹤曲線

圖5 模糊滑?？刂屏枯敵銮€

4 結(jié)語

本文采用誤差四元數(shù)的衛(wèi)星姿態(tài)描述方法，設(shè)計(jì)了基于干擾觀測(cè)器的誤差四元數(shù)衛(wèi)星姿態(tài)模糊滑模控制器.該方法能夠?qū)崟r(shí)估計(jì)未知干擾，減小控制器的輸出幅值;引入模糊方法設(shè)計(jì)切換項(xiàng)，可在不降低魯棒性的前提下，有效抑制滑模控制中存在的抖振問題.仿真驗(yàn)證結(jié)果證明，本文所提的衛(wèi)星姿態(tài)控制方法能有效地達(dá)到控制目標(biāo)，控制性能良好.

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