羅 榮，曾亞武

(武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072)

1 研究背景

巖石作為一種地質(zhì)材料，非均質(zhì)性是其基本特性之一［1］。造成巖石的非均質(zhì)特性的主要原因是在漫長(zhǎng)的地質(zhì)年代里，巖石經(jīng)歷結(jié)晶過程的演化、高溫高壓的影響、以及各種地質(zhì)營力的作用，使巖石具有不同的細(xì)觀結(jié)構(gòu)(礦物顆粒組成和各類缺陷)。巖石的非均質(zhì)性對(duì)巖石的力學(xué)特性及受荷載后的力學(xué)行為有很大的影響，研究表明:巖石內(nèi)部微觀介質(zhì)參數(shù)的不均勻性是造成巖石力學(xué)性質(zhì)非均勻和非線性的主要原因［2］。

國內(nèi)外學(xué)者就巖石的非均質(zhì)特征對(duì)巖石力學(xué)特性的影響開展了一系列工作，并取得了大量研究成果。Song 和 Kim［3］，Napier和 Dede［4］，Li［5］，楊強(qiáng)［6］等通過隨機(jī)指定格構(gòu)單元的強(qiáng)度和形狀描述巖石材料的非均質(zhì)性模擬了原巖的破壞過程。張征［7］、譚文輝［8］、趙紅亮［9］等基于地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的區(qū)域化變量理論，考慮巖石力學(xué)參數(shù)的空間變異二重性特征研究了巖石的非均質(zhì)特性。唐春安和Kaiser［10－11］考慮巖石材料參數(shù)的非均勻性，假定單元參數(shù)服從某種隨機(jī)分布，對(duì)二維脆性破裂進(jìn)行了詳細(xì)研究，唐春安［12－13］在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步開發(fā)了RFPA模型模擬巖石破壞過程。馬志濤等［14］利用Weibull分布對(duì)巖石材料的非均質(zhì)性進(jìn)行描述，從能量角度建立模擬細(xì)觀層次上巖石破壞演化的Mh-PCA模型。馮增朝等［15］利用Weibull分布描述巖石的非均質(zhì)參數(shù)，并研究了不同的非均質(zhì)統(tǒng)計(jì)分布對(duì)巖石全曲線性態(tài)的影響。岳中琦等［16］提出了一種基于數(shù)字圖像的非均質(zhì)巖土工程結(jié)構(gòu)的二維數(shù)值分析方法，利用數(shù)字圖像技術(shù)獲取非均質(zhì)巖石的細(xì)觀結(jié)構(gòu)，并結(jié)合有限差分方法分析巖石的破壞過程?？傮w來說，都是通過對(duì)組成巖石模型的各細(xì)觀單元賦予不同的力學(xué)參數(shù)模擬巖石的非均質(zhì)特性。

巖石是由不同礦物顆粒集合體和膠結(jié)材料組成的非均質(zhì)體，巖石中的礦物成分及其含量是決定巖石物理力學(xué)性質(zhì)的主要因素，在某些條件下甚至?xí)a(chǎn)生決定性影響［17］，巖石的組成非均質(zhì)性主要為巖石的礦物顆粒的非均質(zhì)構(gòu)成。一般來說，在巖石局部范圍內(nèi)，相同的礦物顆粒集合體具有相近的力學(xué)性質(zhì)，不同的礦物顆粒集合體具有不同的力學(xué)性質(zhì)。本文利用基于巖石礦物組成及含量的巖石礦物細(xì)胞元隨機(jī)性參數(shù)賦值方法描述巖石的非均質(zhì)性，通過數(shù)值試驗(yàn)研究巖石非均質(zhì)構(gòu)成對(duì)巖石宏觀力學(xué)特性的影響。

2 巖石礦物細(xì)胞元參數(shù)賦值方法

在數(shù)值模擬中，將巖石劃分為若干單元，單元尺寸為0.2～0.5 mm，并假設(shè)每一個(gè)單元覆蓋一個(gè)巖石顆粒，可將這些細(xì)觀的巖石組構(gòu)稱之為巖石的細(xì)胞元［15］。巖石礦物細(xì)胞元隨機(jī)性參數(shù)賦值方法:假設(shè)每一個(gè)巖石細(xì)胞元僅由一種礦物構(gòu)成，并將其稱為礦物細(xì)胞元;假定同屬性細(xì)胞元在局部范圍內(nèi)具有相同的物理力學(xué)性質(zhì)，不同屬性的細(xì)胞元物理力學(xué)性質(zhì)不同;利用巖石的礦物含量定義細(xì)胞元類別的判定區(qū)間，根據(jù)Monte Carlo方法對(duì)各個(gè)細(xì)胞元進(jìn)行類別判定和參數(shù)賦值，從而得出非均質(zhì)巖石的數(shù)值計(jì)算模型。由于礦物細(xì)胞元隨機(jī)性參數(shù)賦值方法考慮了巖石的組成礦物種類及含量，因此可很好地用于研究巖石的非均質(zhì)構(gòu)成對(duì)巖石宏觀力學(xué)特性的影響。

2.1 礦物細(xì)胞元類別區(qū)間定義

當(dāng)i=m時(shí)，ui=1，ui為一組單調(diào)遞增的數(shù)列。定義區(qū)間 Ai=［ui－1，ui］(其中 i=1，2，…m － 1;當(dāng)i=m，取右閉區(qū)間)為非均質(zhì)巖石礦物細(xì)胞元的類別判定區(qū)間，其中子區(qū)間Ai即為第i類別礦物細(xì)胞元的判定區(qū)間。由于區(qū)間Ai在［0，1］區(qū)間所占比例為 ui－ui－1=ni，ni又為礦物 i的實(shí)際含量，所以定義的礦物細(xì)胞元類別判定區(qū)間Ai與礦物i的含量具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

2.2 礦物細(xì)胞元類別判定

巖石礦物細(xì)胞元隨機(jī)性參數(shù)賦值方法利用Monte Carlo方法對(duì)非均質(zhì)巖石單元進(jìn)行隨機(jī)判定。根據(jù)非均質(zhì)巖石剖分的有限元單元數(shù)，產(chǎn)生一組服從［0，1］均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列 ξk，選用［0，1］的均勻分布作為隨機(jī)序列目標(biāo)分布，概率分布函數(shù)為F(x)=x，概率密度函數(shù)為f(x)=1。根據(jù) Monte Carlo方法，對(duì)于初始隨機(jī)數(shù) ξk，令F(xk)= ξk，即得到用以進(jìn)行礦物細(xì)胞元類別判定的數(shù)序列xk=ξk，利用所得類別判定隨機(jī)數(shù)序列依次對(duì)各單元進(jìn)行礦物細(xì)胞元類別判定。

礦物細(xì)胞元類別判定過程如圖1所示，對(duì)于第k號(hào)單元，判定類別隨機(jī)數(shù)xk所屬區(qū)間，若xk∈Ai，則判定該單元為第i類別礦物細(xì)胞元，并對(duì)該礦物細(xì)胞元賦予相應(yīng)的i類別物理力學(xué)參數(shù)。依次對(duì)所有的單元體進(jìn)行類別判定和賦值，即可完成有限元模型的非均質(zhì)賦值。

礦物細(xì)胞元類別判定數(shù)xk是服從［0，1］均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列，故單元判定為第i類別礦物細(xì)胞元的概率 Pi=uiui－1=ni，其中ni等于巖石第i類別礦物的含量，因此利用該礦物細(xì)胞元判定區(qū)間進(jìn)行單元類別判定可使得模型中各類別礦物細(xì)胞元的含量與巖石實(shí)際礦物含量相等;同時(shí)，由于類別判定隨機(jī)數(shù)是服從［0，1］的均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列，所以賦值完成后的模型各礦物細(xì)胞元是隨機(jī)均勻混合的。

圖1 礦物細(xì)胞元類別判定示意圖Fig.1 Schematic diagram of the sort judgment for mineral cell unit

3 非均質(zhì)巖石力學(xué)數(shù)值計(jì)算模型

3.1 礦物細(xì)胞元的變形特征

對(duì)于地表巖石結(jié)構(gòu)，形成材料宏觀非線性的主要原因并不是微觀介質(zhì)的非線性，而是微觀介質(zhì)參數(shù)的不均勻性［2］。因此本文選用理想彈塑性模型描述礦物細(xì)胞元的變形特征，并假定在同一模型內(nèi)，礦物細(xì)胞元的強(qiáng)度隨彈性模量增大而增大，且礦物細(xì)胞元強(qiáng)度、彈性模量的變化是成比例的［15］，即強(qiáng)度越高，彈性模量越大;反之，都小。即

式中:E＇，R＇分別為礦物細(xì)胞元的彈性模量和屈服強(qiáng)度;E0，R0分別為對(duì)應(yīng)數(shù)值計(jì)算模型的所有細(xì)胞元的彈性模量、屈服強(qiáng)度的平均值(期望值)。

3.2 數(shù)值試驗(yàn)參數(shù)

數(shù)值試驗(yàn)采用平面應(yīng)變模型，幾何尺寸為20 cm×10 cm，有限元單元(即巖石礦物細(xì)胞元)尺寸為0.5 mm ×0.5 mm，共 劃 分400×200個(gè)單元，數(shù)值試驗(yàn)采用位移加載模式，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2所示，其中不同灰度代表不同的礦物細(xì)胞元類別。

圖2 模型的幾何特征及邊界條件Fig.2 Geometry and boundary conditions of the model

本文所有數(shù)值模擬計(jì)算中，模型的各種物理力學(xué)參數(shù)取相同的期望值，彈性模量E0=50 GPa，屈服強(qiáng)度R0=50 MPa，由于各類巖石材料泊松比差別不大，數(shù)值試驗(yàn)泊松比均取ν=0.3。

本文取礦物細(xì)胞元含量相同、力學(xué)參數(shù)不同的非均質(zhì)巖石構(gòu)成建立非均質(zhì)巖石模型，分別對(duì)2種礦物細(xì)胞元類型(n1=n2=0.5)和3種礦物細(xì)胞元類型(n1=n2=n3=0.333)的混合模型進(jìn)行單軸壓縮試驗(yàn)，其各類別礦物細(xì)胞元參數(shù)分別見表1、表2。

表1 2類礦物細(xì)胞元混合模型計(jì)算參數(shù)Table 1 Calculation parameters of hybrid model with two mineral cell units

表2 3類礦物細(xì)胞元混合模型計(jì)算參數(shù)Table 2 Calculation parameters of hybrid model with three mineral cell units

4 巖石非均質(zhì)特性對(duì)宏觀應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響

數(shù)值試驗(yàn)采用位移加載方式，巖石宏觀軸向應(yīng)變按下式計(jì)算:

式中:Δh為試件壓縮變形;h為試件壓縮變形前的高度。

巖石宏觀軸向應(yīng)力通過頂部邊界的約束反力來表示，即

式中:n為頂部邊界節(jié)點(diǎn)數(shù);Fi為頂部邊界上i節(jié)點(diǎn)的約束反力;l為模型的寬度;d為模型的厚度(取單位厚度)。

根據(jù)表1、表2所述參數(shù)分別對(duì)2類礦物細(xì)胞元和3類礦物細(xì)胞元混合的非均質(zhì)巖石模型進(jìn)行加載試驗(yàn)，各試件宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線結(jié)果整理如圖3、圖4所示。

圖3 2類礦物細(xì)胞元混合模型的應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.3 Stress-strain curves of hybrid model with two cell units

圖4 3類礦物細(xì)胞元混合模型的應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.4 Stress-strain curves of hybrid model with three cell units

根據(jù)圖3、圖4所示結(jié)果，可得出以下結(jié)論:

(1)試件1的各類礦物細(xì)胞元參數(shù)相同，為均質(zhì)巖石模型，巖石宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線表現(xiàn)為礦物細(xì)胞元的變形特征——理想彈塑性，從線彈性階段到理想塑性階段具有明顯的屈服轉(zhuǎn)折點(diǎn);對(duì)于其它非均質(zhì)巖石模型，宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線除具有線彈性階段和理想塑性階段外，還具有明顯的非線性屈服段，宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線由礦物細(xì)胞元的變形特征和巖石的非均質(zhì)構(gòu)成共同作用決定。

(2)在低應(yīng)力狀態(tài)下，由于各礦物細(xì)胞元均處于彈性變形階段，各試件也表現(xiàn)為宏觀線彈性變形特征。由于非均質(zhì)巖石由不同類別的礦物細(xì)胞元混合組成，隨著荷載的增加，當(dāng)強(qiáng)度較低的礦物細(xì)胞元達(dá)到屈服，應(yīng)力將發(fā)生轉(zhuǎn)移和重分布，隨荷載的繼續(xù)增加，進(jìn)入屈服的礦物細(xì)胞元將逐步增多，直到所有礦物細(xì)胞元達(dá)到屈服，荷載不再增加，表現(xiàn)出理想塑性的變形特征。礦物細(xì)胞元逐步發(fā)生屈服的過程在宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線上表現(xiàn)出明顯的非線性特征。

(3)各組非均質(zhì)巖石模型的宏觀彈性模量、極限強(qiáng)度均不相同，且都比均質(zhì)巖石宏觀彈性模量和極限強(qiáng)度低，說明巖石的非均質(zhì)構(gòu)成對(duì)巖石的宏觀力學(xué)性能有較大的影響。

5 巖石非均質(zhì)度對(duì)宏觀力學(xué)參數(shù)的影響

5.1 巖石非均質(zhì)度的定義

為研究非均質(zhì)巖石構(gòu)成差異性對(duì)巖石宏觀受力性能的影響，本文利用巖石的礦物構(gòu)成定義巖石的非均質(zhì)度。

因巖石礦物細(xì)胞元隨機(jī)性參數(shù)賦值方法具有隨機(jī)性特征，可利用無量綱量標(biāo)準(zhǔn)差率Cv表示模型中所有礦物細(xì)胞元參數(shù)的隨機(jī)離散程度，即巖石的非均質(zhì)度。根據(jù)礦物細(xì)胞元隨機(jī)性參數(shù)賦值方法，任一單元被判定為第i類別礦物細(xì)胞元的概率等于組成巖石的第i類礦物的含量ni，以彈性模量E為例，即礦物細(xì)胞元參數(shù)為Ei的概率為ni，利用各礦物細(xì)胞元彈性模量計(jì)算巖石的非均質(zhì)度，

式中σ(Ei)，E(Ei)分別為模型各礦物細(xì)胞元彈性模量值的標(biāo)準(zhǔn)差、期望值。

由式(2)可知，礦物細(xì)胞元強(qiáng)度、彈性模量是成比例的，因此對(duì)于本文由礦物細(xì)胞元強(qiáng)度計(jì)算的非均質(zhì)度與彈性模量計(jì)算得到的結(jié)果是一致的。

巖石礦物細(xì)胞元隨機(jī)性參數(shù)賦值方法基于非均質(zhì)巖石的真實(shí)礦物構(gòu)成，且非均質(zhì)度的計(jì)算僅與非均質(zhì)巖石的各礦物種類及含量有關(guān)，因此該非均質(zhì)度的計(jì)算公式對(duì)于真實(shí)巖石依然成立。根據(jù)非均質(zhì)度的定義可知，當(dāng)Cv=0時(shí)，巖石模型的各礦物細(xì)胞元參數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差為零，即各礦物細(xì)胞元參數(shù)均相等，為均質(zhì)巖石;當(dāng)Cv＞0時(shí)，為非均質(zhì)巖石;在巖石模型所有細(xì)胞元的參數(shù)均值不變時(shí)，Cv越大，各礦物細(xì)胞元參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差越大，巖石均質(zhì)性越差。

5.2 巖石非均質(zhì)度對(duì)宏觀彈性模量的影響

非均質(zhì)巖石的宏觀彈性模量是構(gòu)成非均質(zhì)巖石的各類礦物細(xì)胞元均未進(jìn)入屈服狀態(tài)所表現(xiàn)的彈性變形力學(xué)特征。根據(jù)第3節(jié)數(shù)值試驗(yàn)參數(shù)及計(jì)算結(jié)果，分別計(jì)算各試件的非均質(zhì)度和宏觀彈性模量，結(jié)果見圖5。

通過圖5可知，對(duì)于2類礦物細(xì)胞元模型和3類礦物細(xì)胞元模型，當(dāng)非均質(zhì)度等于0時(shí)，均質(zhì)巖石宏觀彈性模量即為礦物細(xì)胞元的彈性模量E0;當(dāng)非均質(zhì)度較小時(shí)(Cv＜0.3)，宏觀彈性模量變化較小，基本與非均質(zhì)巖石模型的所有礦物細(xì)胞元彈模均值E0相等;當(dāng)非均質(zhì)度較大(Cv＞0.3)時(shí)，宏觀彈模逐漸變小，由礦物細(xì)胞元參數(shù)和巖石非均質(zhì)度共同決定。對(duì)于2類礦物細(xì)胞元模型和3類礦物細(xì)胞元模型，其宏觀彈性模量隨巖石非均質(zhì)度的變化具有近似相同的曲線規(guī)律。

圖5 宏觀彈模隨非均質(zhì)度的變化曲線Fig.5 Variation of elastic modulus of model against inhomogeneity degree

5.3 巖石非均質(zhì)度對(duì)極限強(qiáng)度的影響

本文采用理想彈塑性模型描述巖石礦物細(xì)胞元的變形特征，當(dāng)構(gòu)成非均質(zhì)巖石的所有礦物細(xì)胞元均達(dá)到屈服后，表現(xiàn)出理想塑性的變形特征，此時(shí)應(yīng)力即為非均質(zhì)巖石的極限強(qiáng)度。根據(jù)第3節(jié)數(shù)值試驗(yàn)參數(shù)及計(jì)算結(jié)果，分別計(jì)算各試件的非均質(zhì)度和極限強(qiáng)度，結(jié)果見圖6。

圖6 極限強(qiáng)度隨非均質(zhì)度的變化曲線Fig.6 Variation of ultimate strength of model against inhomogeneity degree

通過圖6可知，當(dāng)非均質(zhì)度等于0時(shí)，均質(zhì)巖石的極限強(qiáng)度即為礦物細(xì)胞元的極限強(qiáng)度;隨著非均質(zhì)增大，礦物細(xì)胞元力學(xué)特性差異性增大，極限強(qiáng)度降低，這是因?yàn)樵谕夂奢d作用下強(qiáng)度較低的細(xì)胞元發(fā)生屈服后，將作為承載缺陷引起巖石宏觀承載能力的下降。對(duì)于非均質(zhì)巖石，極限強(qiáng)度將由礦物細(xì)胞元強(qiáng)度和巖石非均質(zhì)度共同決定。對(duì)于2類礦物細(xì)胞元模型和3類礦物細(xì)胞元模型，極限強(qiáng)度隨巖石非均質(zhì)度的變化具有相同的曲線規(guī)律。

巖石的宏觀彈模和極限強(qiáng)度分別反映巖石在外荷載作用下的彈性變形特征和整體抵抗屈服破壞的能力。根據(jù)以上試驗(yàn)結(jié)果，巖石非均質(zhì)度是影響巖石宏觀力學(xué)參數(shù)的重要因素，巖石非均質(zhì)度越小，巖石各礦物細(xì)胞元之間力學(xué)參數(shù)差異越小，巖石越均勻，宏觀總體力學(xué)參數(shù)也越接近礦物細(xì)胞元參數(shù)期望值;反之，非均質(zhì)度越大，各礦物細(xì)胞元之間力學(xué)參數(shù)差異越大，巖石越不均勻，宏觀總體力學(xué)參數(shù)越小，即巖石非均質(zhì)性對(duì)巖石力學(xué)特性具有弱化效應(yīng)。比較分析2類礦物混合模型和3類礦物混合模型的試驗(yàn)結(jié)果，可以看出，非均質(zhì)度是描述巖石宏觀力學(xué)參數(shù)受巖石非均質(zhì)性弱化影響的重要指標(biāo)參數(shù)?？傮w上說，當(dāng)巖石為均質(zhì)體時(shí)，其宏觀力學(xué)參數(shù)由礦物細(xì)胞元參數(shù)決定，當(dāng)巖石為非均質(zhì)體時(shí)，其宏觀力學(xué)參數(shù)由礦物細(xì)胞元參數(shù)和非均質(zhì)度共同決定。

6 結(jié)論

巖石是由不同礦物顆粒組成的非均質(zhì)體，本文利用巖石礦物細(xì)胞元隨機(jī)性參數(shù)賦值方法研究了非均質(zhì)巖石構(gòu)成對(duì)其宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線的影響;并利用巖石礦物構(gòu)成定義了巖石的非均質(zhì)度，研究了巖石非均質(zhì)度對(duì)巖石宏觀力學(xué)參數(shù)的影響，得出以下結(jié)論:

(1)均質(zhì)巖石的宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線與構(gòu)成巖石的礦物細(xì)胞元一致，表現(xiàn)為理想彈塑性變形特征;非均質(zhì)巖石宏觀應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線由細(xì)胞元變形特征和巖石非均質(zhì)構(gòu)成共同決定，表現(xiàn)為線彈性、逐步屈服和理想塑性3個(gè)階段;逐步屈服階段表現(xiàn)出非線性特征，非均質(zhì)度越大時(shí)，巖石均質(zhì)性越差，非線性特征越明顯。

(2)非均質(zhì)性對(duì)巖石宏觀力學(xué)參數(shù)具有弱化影響。根據(jù)非均質(zhì)巖石構(gòu)成定義的巖石非均質(zhì)度反映了非均質(zhì)巖石構(gòu)成的各礦物顆粒力學(xué)性能的差異性大小，非均質(zhì)度越小，巖石越均勻。當(dāng)非均質(zhì)度不大時(shí)(Cv＜0.3)，非均質(zhì)性對(duì)宏觀彈模的弱化作用較小，當(dāng)非均質(zhì)度較大時(shí)(Cv＞0.3)，宏觀彈模受非均質(zhì)性影響較大;非均質(zhì)巖石的極限強(qiáng)度受非均質(zhì)特性的弱化影響與彈性模量一致。

(3)通過對(duì)2類礦物細(xì)胞元混合模型和3類礦物細(xì)胞元混合模型的試驗(yàn)結(jié)果比較分析，非均質(zhì)巖石模型宏觀力學(xué)參數(shù)隨非均質(zhì)度的變化規(guī)律一致，非均質(zhì)度是描述巖石宏觀力學(xué)參數(shù)受巖石非均質(zhì)性弱化影響的重要指標(biāo)參數(shù)。

綜上所述，非均質(zhì)巖石與均質(zhì)巖石的力學(xué)特征具有明顯區(qū)別:對(duì)于均質(zhì)巖石，其力學(xué)特性由非均質(zhì)巖石構(gòu)成礦物細(xì)胞元力學(xué)特性決定;對(duì)于非均質(zhì)巖石，其力學(xué)特性由細(xì)胞元的力學(xué)特性和巖石非均質(zhì)特性組成共同決定。

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