劉停戰(zhàn)，劉偉，何穎

(中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

調(diào)整步長牛頓法

劉停戰(zhàn)，劉偉，何穎

(中國傳媒大學(xué) 理學(xué)院，北京 100024)

本文研究了求解非線性方程組的迭代解法，提出了一種調(diào)整步長牛頓法。證明了該算法在不同條件下的二階收斂性和大范圍收斂性。

非線性方程組;牛頓法;調(diào)整步長牛頓法

1 引言

設(shè)F是實(shí)的或復(fù)的高維Banach空間上的某個(gè)凸子集Ω到同型空間S上的非線性算子，考慮求方程組

的解，其中F(x)=(f1(x)，…，fn(x))。我們知道在迭代法中，牛頓法和牛頓下山法最具代表性，牛頓法有二階收斂性，牛頓下山法有大范圍收斂性。牛頓法和牛頓下山法的迭代格式分別為:

2 調(diào)整步長牛頓法

我們構(gòu)造方程組(1)的等價(jià)方程組

對(2)式使用牛頓法，得到牛頓迭代格式:

注 該算法是牛頓下山法的推廣。當(dāng)0＜λ1=λ2=…=λn≤1時(shí)，調(diào)整步長牛頓法就簡化為牛頓下山法。當(dāng)λ1=λ2=…=λn=1時(shí)，調(diào)整步長牛頓法即為牛頓法。

3 調(diào)整步長牛頓法的收斂性

關(guān)于調(diào)整步長牛頓法的收斂性及收斂階，我們有:

由以上可知，滿足Kantorovich定理的條件，所以結(jié)論成立。

定理1 給出了調(diào)整步長牛頓法的半局部收斂性，下面討論調(diào)整步長牛頓法的大范圍收斂性。

于是利用上式立即導(dǎo)出x(k)有極限x*∈Ω0存在，并注意‖［F'(x(k))］-1‖≤β以及λk的有界性。對(7)式令k→∞導(dǎo)出F(x*)=0。這樣就證明了調(diào)整步長牛頓法的大范圍收斂性。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將考慮使用上述調(diào)整步長牛頓法與牛頓法來計(jì)算一個(gè)例子，迭代終止條件為‖xk-x(k-1)‖＜10-6。

例1

表1

通過表l的計(jì)算結(jié)果可以看出當(dāng)初始迭代點(diǎn)x(0)距離解較遠(yuǎn)時(shí)，牛頓法發(fā)散，調(diào)整步長牛頓法卻收斂，這就說明了迭代格式(7)具有大范圍收斂性。

［1］劉興龍.解非線性方程組的一種帶參數(shù)的Newton方法［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1979(2):97-104.

［2］馮果忱.非線性方程組迭代解法［M］.上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，1989.

［3］盧興江.關(guān)于解非線性方程組的Newton型迭代法的若干研究［J］.浙江絲綢工學(xué)院學(xué)報(bào)，1998，15(2):141-144.

［4］Ortega JM，RheinboldtW C.多元非線性方程組迭代解法［M］.北京:科學(xué)出版社，1983.

Step-adjusting New ton M ethod

LIU Ting-zhan，LIUWei，HE Ying
(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

In this paper，we studied iterative method for solving nonlinear equations and obtained stepadjusting Newton method.Second-order convergence and global convergence are also proved in different conditions.

nonlinear equations;Newton method;step-adjusting Newton method

O241.7

A

1673-4793(2012)01-0008-03

2011-07-12

劉停戰(zhàn)(1954-)，男(漢族)，吉林長春人，中國傳媒大學(xué)理學(xué)院教授.E-mail:tzliu@cuc.edu.cn.

(責(zé)任編輯

:宋金寶)