徐煒卿，吳光強(qiáng)，2，欒文博

(1.同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院，上海 201804;2.東京大學(xué)生產(chǎn)技術(shù)研究所，日本 東京 153－8505)

0 引言

隨著中國汽車保有量的不斷增長，城市交通狀況日益惡化，擁堵的城市路況，常使汽車長時間處于走走停停的狀態(tài).大量的試驗研究表明，制動顫鳴是一種發(fā)生在較低車速和較低制動壓力下的低頻制動振動噪聲.駕駛員逐漸松開制動踏板時，汽車從靜止?fàn)顟B(tài)開始運(yùn)動，當(dāng)制動壓力逐漸降低，制動盤和摩擦塊之間產(chǎn)生了滑移，此時制動壓力依舊較高，制動盤的轉(zhuǎn)速受到限制，從而導(dǎo)致了制動盤和摩擦塊之間反復(fù)的粘合，由此造成了汽車的制動顫鳴現(xiàn)象［1－2］，其中，動摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)之間的差值是制動盤和摩擦塊之間的摩擦塊之間的粘滑運(yùn)動的產(chǎn)生的一個重要因素［3－4］.

目前對于機(jī)械系統(tǒng)的粘滑運(yùn)動，通過計算機(jī)來仿真來準(zhǔn)確模擬粘滑運(yùn)動的兩個表面之間的相對速度在零值附近時的強(qiáng)非線性特性仍非常困難［5］.本文基于上述求解過程中存在的問題，通過結(jié)合 M.Hénon求解龐加萊映射的計算方法與Runge－Kutta法，提出了一種求解分段的非線性系統(tǒng)的可行方法.

1 單自由度制動顫鳴模型

自激振動系統(tǒng)以自激的運(yùn)動狀態(tài)作為調(diào)節(jié)器，控制輸入的能量，輸入的能量與耗散的能量達(dá)到平衡，系統(tǒng)維持等幅運(yùn)動.其中，汽車制動盤和摩擦塊之間的粘滑運(yùn)動，作為一個干摩擦自振系統(tǒng)，就是一種典型的自激振動［6］.圖1為一個簡單的干摩擦自振系統(tǒng)模型，這個經(jīng)典的單自由度模型對于分析粘滑特性有著出色的效果［7］，被廣泛應(yīng)用用制動顫鳴現(xiàn)象的研究中.

圖1 單自由度制動顫鳴模型

對該模型進(jìn)行受力分析得到:

式中:m為摩擦塊質(zhì)量;k為摩擦塊連接剛度;c為摩擦塊連接阻尼;v0為制動盤恒定運(yùn)動速度;Fn為摩擦塊法向作用力;Ff為摩擦塊制動力;μs為靜態(tài)摩擦系數(shù);μd為動態(tài)摩擦系數(shù);Δμ為靜態(tài)摩擦系數(shù)與動態(tài)摩擦系數(shù)之差.取狀態(tài)變量，狀態(tài)方程為

對于非線性系統(tǒng)，通過解析法來求解原系統(tǒng)的精確解往往非常困難，大部分只能取得近似的數(shù)值解，因此采用常用的Runge－Kutta法，設(shè)定一定的時間步長進(jìn)行計算，在計算過程中發(fā)現(xiàn)，狀態(tài)變量始終處于＞v0或是＜v0的情況下，而=v0的情況在運(yùn)算時幾乎不會觸發(fā)，即實(shí)際的運(yùn)算中，制動盤與摩擦塊之間的運(yùn)動始終處于滑移工況，而這與實(shí)際情況顯然是不符的.

對某配備自動變速箱汽車進(jìn)行制動顫鳴實(shí)驗，由駕駛員逐漸松開制動踏板，汽車從靜止開始啟動，當(dāng)顫鳴現(xiàn)象發(fā)生時，通過對制動鉗處采集到的加速度信號進(jìn)行分析后，發(fā)現(xiàn)其中存在著周期性的粘滑運(yùn)動.

圖2 粘滑運(yùn)動相圖

在非線性振動理論中，汽車制動顫鳴現(xiàn)象中的粘滑運(yùn)動可以看作是自激振動系統(tǒng)中的一個穩(wěn)定極限環(huán)，是一種與極限環(huán)相對應(yīng)的周期運(yùn)動［6，8］.通過圖2 中運(yùn)動的相軌跡可以發(fā)現(xiàn)，其運(yùn)動的周期性不明顯，且=v0的情況未觸發(fā).為了解決這一問題，比較簡單的辦法是將=v0的情況適度放大，即為摩擦塊與制動盤之間的粘合運(yùn)動增加一個閾值，認(rèn)為當(dāng)－C≤v0－≤C時即為粘合狀態(tài)，將摩擦塊所受摩擦力改寫為

采用Runge－Kutta法進(jìn)行數(shù)值計算，觀察其相軌跡如圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)，周期性明顯得到了改善.

圖3 閾值C=0.01時的粘滑運(yùn)動相圖

圖4 閾值C=0.01時的制動盤和摩擦塊之間的相對速度

圖5 閾值C=0.01時的摩擦力圖

圖6 Runge－Kutta法與Hénon法結(jié)合分析所得相圖

圖7 Runge－Kutta法與Hénon法結(jié)合分析所得相對運(yùn)動速度

圖8 Runge－Kutta法與Hénon法結(jié)合分析所得摩擦力圖

盡管通過增加閾值，改善了粘滑運(yùn)動的周期特性，但從圖5中，可以發(fā)現(xiàn)，在粘滑運(yùn)動的每個周期內(nèi)，粘合和滑移的臨界點(diǎn)(圖5中實(shí)線圈和虛線圈)處的摩擦力存在偏差，而通過理論分析可以知道，該臨界點(diǎn)(上極值點(diǎn))處的摩擦力μsFn應(yīng)為最大靜摩擦力，且實(shí)線圈與虛線圈中的極值點(diǎn)大小應(yīng)相同，而每個周期內(nèi)的摩擦力下極值點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)大小相同.即采用Runge－Kutta法直接進(jìn)行求解時，對于摩擦塊在任意兩個運(yùn)動周期內(nèi)計算得到的結(jié)果，表示在相圖中時，往往是處于不同位置處的相點(diǎn)，因此也不利于找出準(zhǔn)確的周期.

2 Hénon法原理

M.Hénon在計算龐加萊映射時，即計算相軌跡與龐加萊截面之間的交點(diǎn)時，提出了一種對交點(diǎn)的計算方法［9］.

假設(shè)一個N維的動力學(xué)系統(tǒng)I的微分方程為

運(yùn)用一個N－1維的超平面Σ(龐加萊截面)與該微分方程組在相空間內(nèi)的運(yùn)動軌跡的交點(diǎn)，從而獲取龐加萊映射，此平面的方程如下

通常，龐加萊截面的平面方程并不是顯式方程，為了獲取龐加萊映射，往往增加一個新的變量

從而在微分方程中增加一個新的方程

當(dāng)新系統(tǒng)II的相軌跡靠近該截面，當(dāng)檢測到xN+1的正負(fù)符號在零值附近變化時，即xN+1的值由大于零轉(zhuǎn)變?yōu)樾∮诹悖蛴尚∮诹戕D(zhuǎn)變?yōu)榇笥诹銜r，將其方程改寫成系統(tǒng)III如下形式

這樣，時間t轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)變量，假設(shè)在相軌跡中，xN+1的正負(fù)符號變化前的最后一個點(diǎn)所對應(yīng)的xN+1=x*，以xN+1∈［x*，0］對各變量進(jìn)行積分，得到各變量［x1，x2，…，xN，t］的值.

3 結(jié)合Hénon法與Runge－Kutta法的數(shù)值方法

現(xiàn)將M.Hénon計算龐加萊映射中所用的數(shù)值計算方法應(yīng)用到汽車制動顫鳴現(xiàn)象的粘滑運(yùn)動的數(shù)值計算中.首先對方程(3)、(4)所描述的單自由度粘滑運(yùn)動模型通過Runge－Kutta法進(jìn)行計算，當(dāng)摩擦塊的運(yùn)動速度穿越粘合點(diǎn)，即x2－v0值的正負(fù)號發(fā)生變化時，以x2－v0值的正負(fù)號變化前一時刻的系統(tǒng)各狀態(tài)變量的值(設(shè)為x*)作為初始值，對狀態(tài)變量x2在［x*，0］范圍內(nèi)進(jìn)行積分，時間t作為新的狀態(tài)變量，將原狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為

之后再以龍格庫塔法進(jìn)行數(shù)值計算，重復(fù)這一過程從而完成整個運(yùn)算過程.

通過在這兩個系統(tǒng)之間的切換完成對單自由度顫鳴模型的數(shù)值計算，圖6與圖3中采用設(shè)定閾值的方法相比其周期性更為明顯;將圖7與圖4相比，可以看到此方法不存在因閾值而存在的偏差;比較圖8與圖5，Runge－Kutta法與Hénon法結(jié)合所得到的摩擦力在每個周期內(nèi)都保持了非常高的一致性.實(shí)際上，用Runge－Kutta法對每個周期內(nèi)的運(yùn)動進(jìn)行數(shù)值計算，當(dāng)兩個摩擦面之間的運(yùn)動速度在粘合點(diǎn)附近時，Hénon法重新計算了相對速度的極值點(diǎn)，相對于在每個運(yùn)動周期內(nèi)進(jìn)行一次“校準(zhǔn)”，從而有利于對其周期運(yùn)動的進(jìn)一步分析

4 結(jié)論

在分析汽車制動顫鳴現(xiàn)象時，運(yùn)用Runge－Kutta法與Hénon法結(jié)合的方法計算其粘滑特性取得了令人滿意的結(jié)果，并得出了以下結(jié)論:

(1)本文提出的方法對于汽車制動顫鳴現(xiàn)象在分析精度上高于設(shè)置閾值所取得的結(jié)果，并且無需考慮閾值大小的選取問題.

(2)在汽車上存在著大量的分段的非線性元素，不僅制動器，離合器接合過程中也存在著粘滑特性，在計算分析時都會遇到分段函數(shù)的邊界值問題，對于這些汽車上大量存在的分段的非線性問題，本文所提出方法不失為一種可行的數(shù)值計算方法.

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