侯曉秋，陳志學

（1.黑龍江科技學院電氣與信息工程學院，黑龍江哈爾濱150027；2.中國兵器工業(yè)第205研究所，陜西西安710065）

1 引言

自 1982 年 Billings等提出 NARMAX 模型［1］以來，針對于NARMAX模型的辨識和控制問題的研究已形成Billings學派，因人工神經(jīng)網(wǎng)絡可逼近任意非線性系統(tǒng)，已提出許多控制算法，采用多模型逼近NARMAX模型的多模型自適應控制算法，我國學者韓志剛，侯忠生提出的無模型控制，各種采用時變線性模型逼近NARMAX模型的控制算法，采用動態(tài)切平面逼近NARMAX模型的控制算法等。文獻［2］給出的基于一步時滯情形的NARMAX模型的最小預測誤差自適應預測控制器的準則函數(shù)具有局限性，致使算法存在穩(wěn)態(tài)偏差，文獻［3］對文獻［2］的準則函數(shù)進行改進，所提出的控制算法無穩(wěn)偏，文獻［4］研究了NARMAX模型的多重時滯情形，文獻［2-4］的算法只適用于確定性情形，本文研究多重時滯隨機性NARMAX模型的自適應預測控制問題。

2 一類非線性隨機系統(tǒng)的NARMAX模型

Billings等提出NARMAX模型：

其中：y（t）為系統(tǒng)輸出，y（t）∈R1；U（t）為系統(tǒng)的m 維輸入，U（t）∈Rm；ξ（t）為系統(tǒng)干擾量，ξ（t）∈R1；Y（t＋d-1）為系統(tǒng) t＋1 時刻至 t＋d-1 時刻輸出的集合；Y（t）為系統(tǒng)到t時刻為止的輸出的集合，U（t-1）為系統(tǒng)到t-1時刻為止的輸入的集合；ξ（t＋d）為系統(tǒng)止t＋d時刻的干擾量的集合；θ為未知參數(shù)；d為系統(tǒng)時滯，f（…）表示一般的非線性函數(shù)。因ξ（t）一般是無法測量的，故其在f（…）中出現(xiàn)的形式難以確定，所以上式NARMAX模型實用性差，這里將NARMAX模型的各種隨機干擾等效在系統(tǒng)的輸出端，當?shù)刃У母蓴_為平穩(wěn)隨機序列時，基于文獻［5］線性濾波和譜分解定理及成型濾波器原理構(gòu)成一非線性隨機系統(tǒng)模型：

其中：η（t）為平穩(wěn)隨機序列，且

其中：e（t）為零均值，方差為 σ2的白噪聲序列，而

這里假設n2，nc已知，A2（q-1）和C（q-1）為穩(wěn)定多項式。

3 四個假設條件

假設1：系統(tǒng)（1）式輸入輸出可觀測的，可控制的，即對某一系統(tǒng)有界的期望輸出信號，存在有界的可行控制輸入信號，使得系統(tǒng)在此控制輸入信號的驅(qū)動下，其輸出等于系統(tǒng)的期望輸出。

假設2：f（…）關(guān)于Y（t＋d-1）及U（t）的偏導數(shù)是連續(xù)的，且各偏導數(shù)有界。

假設3：由泰勒展開公式，在工作點Y0（t＋d-1），U0（t）處用線性的動態(tài)切平面去逼近一般的非線性系統(tǒng)式（1）時，假設有：

其中：

這里，假設3中的y0（t），U0（t）一般可為：

假設 4：d、n2、nc，已知。

假設1-3對多數(shù)非線性系統(tǒng)成立的分析見文獻［4］。

4 動態(tài)切平面逼近非線性系統(tǒng)

在工作點Y0（t＋d-1），U0（t）處對式（1）的非線性系統(tǒng)用動態(tài)切平面逼近，由一階泰勒展開公式得：

其中：

而

整理寫成，

其中：

而

這里，D（t）在t時刻是一個已知的量。

將式（2）代入式（8）整理得：

其中：

5 廣義最優(yōu)預測

對于式（12），定義輔助輸出 s（t＋d）為，

其中：

可用如下引理闡述廣義最優(yōu)預測：

引理1：廣義最優(yōu)預測，滿足預測誤差方差，

其中：G（q-1）、F（q-1）滿足以下阿斯特羅姆恒等式，

式中：

證明：參考文獻［6］可證。

6 自適應預測控制算法

6.1 預測控制算法

控制輸入準則函數(shù)為，

而

且

定理1：對于非線性隨機系統(tǒng)式（1），滿足假設條件1-4，基于式（24）控制輸入準則函數(shù)的預測控制器算法為：

其中

證明：參考文獻［2、3、4、6］證明如下：

上式等價于如下準則函數(shù)：

由 J＊［U（t）］對 U（t）求偏導，

由式（19）得：

整理得：

得：

可得：

［7］的矩陣反演公式得：

式（34）代入式（33）即得式（28）算法。

6.2 自適應預測控制算法

當式（1）模型參數(shù)未知時，可采用文獻［8］的非線性參數(shù)估計算法估計其值，結(jié)合引理1的廣義最優(yōu)預測算法和定理1的預測控制算法，構(gòu)成自適應預測控制。

7 仿真研究

已知系統(tǒng)的形式為：

其中：θ1，θ2，a1的真值為：

U0（t），y0（t）選取如下：

參考輸入為：

結(jié)合現(xiàn)階段工程造價工作的信息化發(fā)展，雖然已經(jīng)得到了絕大部分企業(yè)的認同，也積極進行了多方面的嘗試，但是在具體落實中卻同樣也存在著多方面的缺陷和不足，具體問題表現(xiàn)如下。

u1（t）及u2（t）的限幅為：

白噪聲，

參考文獻［3，4］的魯棒控制策略，使系統(tǒng)無穩(wěn)偏，且控制輸入收斂于以原點為中心的變化域內(nèi)，

采用文［8］的參數(shù)估計算法，仿真結(jié)果如圖1、圖2、圖3所示。由圖1可知系統(tǒng)的輸出響應曲線在0≤t≤100時不理想，這是由于算法開始時系統(tǒng)未知參數(shù)偏離其真值過大造成的，但系統(tǒng)能穩(wěn)定運行，說明算法的魯棒性好。

圖1 輸出響應曲線

圖2 控制信號u1（t）的變化曲線

圖3 控制信號u2（t）的變化曲線

8 結(jié)束語

文中研究了一類非線性隨機系統(tǒng)的控制問題，所提出的模型較Billings等提出NARMAX模型具有實用性，控制算法適用于時變隨機系統(tǒng)，且系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)偏差，控制輸入收斂于以原點為中心的變化域內(nèi)，具有應用參考價值，進一步可研究其自適應廣義預測控制算法和多變量情形。

參考文獻：

［1］Billings，S.A.，and Leontaritis，I.J.Parmeter estimation techniques for nonlineat systems ［J］，6th IFAC Symp.Ident，and Syst.Par.Est.，1982：427-433.

［2］侯忠生.非參數(shù)模型及其自適應控制［M］.北京：科學出版社，1999，98-101.

［3］侯曉秋.非線性確定性系統(tǒng)的魯棒自適應控制器［J］.黑龍江科技學院學報，2003，13（2）：54-57.

［4］侯曉秋.多重時滯非線性系統(tǒng)的自適應預測控制［J］.黑龍江科技學院學報，2008，18（2）：137-139.

［5］韓曾晉.自適應控制［M］.北京：清華大學出版社，1995.70-76.

［6］Clarke D W ，Gawthrop P J.Self-tuning controller［J］.Proc.IEE，1975，122（9）：929-934.

［7］方崇智，蕭德云.過程辨識［M］.北京：清華大學出版社，1994.146-147.

［8］侯曉秋.非線性隨機系統(tǒng)的具有遺忘因子的遞推最小二乘法［J］.黑龍江科技學院學報，2008，18（4）：306-309.