符曉玲

（昌吉學(xué)院物理系，新疆昌吉831100）

1 引言

在眾多的預(yù)測控制算法中，近年來研究最活躍的，同時成果也最多的是D.W.Clarke等人于1987年提出的廣義預(yù)測控制（Generalized Predictive Control，GPC）算法［1-3］。廣義預(yù)測控制作為一種新型的遠(yuǎn)程預(yù)測控制方法，集多種算法的優(yōu)點(diǎn)于一體，具有較好的性能。現(xiàn)有多種修正算法，大體上可分為顯式算法和隱式算法兩種。顯示算法是先辨識對象模型參數(shù)，然后利用Diophantine方程作中間運(yùn)算，最后得到控制律參數(shù)，由于要作多步預(yù)測，就必須多次求解Diophantine方程，因要經(jīng)過繁瑣的中間運(yùn)算，故計(jì)算工作量較大，占線時間較長。隱式算法不辨識對象模型參數(shù)，而是根據(jù)輸入／輸出數(shù)據(jù)直接辨識求取最優(yōu)控制律中的參數(shù)，因而避免了在線求解Diophantine方程所帶來的大量中間運(yùn)算，減少了計(jì)算工作量，節(jié)省了時間［4-6］。

為了驗(yàn)證隱式算法的可行性和優(yōu)越性，本文將對其算法進(jìn)行介紹，并進(jìn)行仿真研究，分析仿真結(jié)果，總結(jié)參數(shù)變化對整個系統(tǒng)性能的影響。

2 單輸入單輸出系統(tǒng)的隱式廣義預(yù)測自校正控制算法

2.1 并列預(yù)測器

GPC的最優(yōu)化控制律

要求ΔU必須知矩陣G和開環(huán)預(yù)測向量f，原因是控制量加權(quán)因子λ和經(jīng)柔化后的設(shè)定值向量W均屬已知量。隱式自校正方法就是利用輸入／輸出數(shù)據(jù)，根據(jù)預(yù)測方程直接辨識G和f。

以前根據(jù)預(yù)測理論，為了預(yù)測超前輸出，引入Diophantine方程得到的最優(yōu)輸出預(yù)測值為：

根據(jù)式（2）可得n個并列預(yù)測器為：

分析式（3）可知，矩陣 G 中所有元素 g0，g1，…，gn-1都在最后一個方程中出現(xiàn)，因此僅對式（3）的最后一個方程辨識，即可求得矩陣G。

2.2 矩陣的求取

在式（3）的最后一個方程中，令

則式（3）的最后一個方程可寫為：

輸出預(yù)測值為 y（k＋n／k）＝X（k）θ（k）或

本課中，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教師把對食物網(wǎng)的探究進(jìn)行梯度設(shè)計(jì)，首先請學(xué)生閱讀《有趣的“貓和?！薄?，學(xué)習(xí)達(dá)爾文研究食物網(wǎng)的方法和角度。學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)量變化后，也領(lǐng)悟到了尋找生物間的關(guān)系是蘊(yùn)含在其中的方法。教師再請學(xué)生結(jié)合一日三餐，思考：人是否屬于食物鏈（網(wǎng)）中的一員？我們從食物中獲得了什么？能量主要儲存在哪里？引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量、物質(zhì)、能量三個角度進(jìn)行探究。為了提升探究的有效性，教師進(jìn)一步組織如下活動：

若在時刻 k，X（k-n）元素已知，Enξ（k＋n）為白噪聲，就能用普通最小二乘法估計(jì)參數(shù)向量θ（k），然而通常Enξ（k＋n）不是白噪聲，因此采用將控制策略與參數(shù)估計(jì)相結(jié)合的方法，即用輔助輸出預(yù)測的估計(jì)值來代替輸出預(yù)測值 y（k／k-n），且認(rèn)為與實(shí)際值 y（k）之差為白噪聲 ε（k）。

θ（k）可用以下遞推最小二乘公式估計(jì)為：

式中：λ1為遺忘因子，0＜λ1＜1。

k時刻n步估計(jì)值可由下式算出，即

2.3 預(yù)測向量f的求取

根據(jù)GPC與動態(tài)矩陣控制（DMC）控制規(guī)律的等價性，GPC中的f向量相當(dāng)于DMC中的Y0向量，可得到下一時刻的預(yù)測向量f為

在G和f求得后，就可利用式（1）計(jì)算控制量，在計(jì)算的每一步，都能得到此步至以后n步各點(diǎn)上的n個控制序列。為及時利用反饋信息決定控制量，每次僅將序列中的第一個控制量作用于系統(tǒng)，其后的n-1個控制量不直接作用于系統(tǒng)，而只用于＾的計(jì)算。

2.4 控制律的簡化

在自校正方案中，可從式（1）看出，每次計(jì)算必須在線求解一次 n×n 維逆陣（GTG＋λI）-1，在這里與基本的GPC一樣，也引入控制時域長度，m（m≤n）當(dāng) j＞m 時，有 Δu（k＋j-i）＝0，從而矩陣 G 變成 n×m維，矩陣（GTG＋λI）則變成了 m×m 方陣，降低了維數(shù)，減少了計(jì)算工作量。對階數(shù)較低較易控制的簡單系統(tǒng)，可取 m＝1，這時（GTG＋λI）將由矩陣變成一個標(biāo)量數(shù)值，而整個運(yùn)算過程將不會有矩陣運(yùn)算。

2.5 GPC控制算法中的主要參數(shù)

對GPC來說，影響其性能的主要參數(shù)主要有以下幾個。

（1）采樣周期T

采樣周期T直接影響到g0，g1，…，gn-1和gT矩陣。采樣周期T的選擇，原則上應(yīng)使采樣頻率滿足香農(nóng)定理的要求，即應(yīng)大于2倍截止頻率。T大有利于控制穩(wěn)定，但不利于抑制擾動。T太長，將會丟失一些有用的高頻信息，無法重構(gòu)出連續(xù)時間信號，且使模型不準(zhǔn)，控制質(zhì)量下降；T也不能太短，否則機(jī)器計(jì)算不過來，且有可能出現(xiàn)離散非最小相位零點(diǎn)，影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

（2）預(yù)測長度n

預(yù)測長度n對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有重要的影響。若控制長度m很小，控制加權(quán)系數(shù)λ＝0，即在控制增量不受壓制的情況下，增大n總可以得到穩(wěn)定控制；若m為任意，通過加大λ，當(dāng)∑gi＞0時，可得到穩(wěn)定控制。

n對系統(tǒng)的動態(tài)特性也有影響。當(dāng)n較小時，系統(tǒng)動態(tài)性能較差，增加n，可明顯改善動態(tài)性能，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。但n過大，對進(jìn)一步改善系統(tǒng)的動態(tài)性能作用不大，反而會增加計(jì)算時間，一般取 n＝5-15。

（3）控制長度m

控制長度m對系統(tǒng)的性能影響較大。較小的m，對控制起到一定的約束作用，使輸出變化平緩，有利于控制系統(tǒng)穩(wěn)定；而偏大的m，表示有較多步的控制增量變化，增大了系統(tǒng)的靈活性和快速性，但往往產(chǎn)生振蕩和超調(diào)，引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。因此，m的選擇應(yīng)兼顧快速性與穩(wěn)定性，一般取m＝1-3。

（4）控制加權(quán)系數(shù)λ

增加λ，控制量減少，輸出響應(yīng)速度減慢，有益于增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；但過大的λ會使控制量的變化極為緩慢，系統(tǒng)得不到及時的調(diào)節(jié)，反而會使動態(tài)特性變壞，一般取 0＜λ＜1。λ＝0 時，對控制量無約束。

（5）柔化系數(shù)α

柔化系數(shù)α對系統(tǒng)的魯棒性有重要的影響。若α小，跟蹤的快速性好，魯棒性差；增加α，系統(tǒng)的快速性變差，而魯棒性提高，故α的選擇必須在動態(tài)品質(zhì)與魯棒性之間折中考慮，一般取0＜α＜1。

3 單輸入單輸出系統(tǒng)的仿真研究

為驗(yàn)證該控制策略的有效性，對非最小相位系統(tǒng)進(jìn)行仿真。考慮系統(tǒng)模型為：

將這個非最小相位系統(tǒng)與非線性環(huán)節(jié)構(gòu)成非線性控制系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 具有非線性特性的非最小相位控制系統(tǒng)

取參數(shù)：p＝n＝6，m＝2，λ＝0.8，α＝0.3，λ1＝1；RLS參數(shù)初值：gn-1＝1，f（k＋n）＝1，Po＝105I，其余為零；ξ（k）為［-0.2，0.2］均勻分布的白噪聲，可得如圖 2 所示特性曲線。

圖2 跟蹤給定值特性曲線（m＝2，λ＝0.8，α＝0.3）

為了比較參數(shù)變化對系統(tǒng)特性的影響，再取一組參數(shù)：p＝n＝6，m＝2，λ＝0.6，α＝0.3，λ1＝1；RLS 參數(shù)初值：gn-1＝1，f（k＋n）＝1，Po＝105I，其余為零；ξ（k）為［-0.2，0.2］均勻分布的白噪聲，可得如圖 3 所示特性曲線。

由圖2和圖3可以看出，按照前面的方法來選擇參數(shù)，系統(tǒng)能夠較好的工作。而λ的引入是為了抑制過于劇烈的控制增量，以防止系統(tǒng)發(fā)生劇烈振蕩。比較圖2和圖3，當(dāng)λ從0.6變?yōu)?.8時，控制量減少，輸出響應(yīng)速度減慢，但穩(wěn)定性增強(qiáng)了。因此，增加λ，輸出響應(yīng)速度減慢，有益于增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖3 跟蹤給定值特性曲線（m＝2，λ＝0.6，α＝0.3）

4 結(jié)束語

本文通過對廣義預(yù)測控制進(jìn)行改進(jìn)，介紹了隱式廣義預(yù)測自校正控制算法，并進(jìn)行了仿真研究。通過仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的優(yōu)越性和可行性，并分析了參數(shù)變化對整個系統(tǒng)性能的影響，從而為廣義預(yù)測控制在工業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用提供一定的依據(jù)。

［1］錢積新，趙均，徐祖華.預(yù)測控制［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2007.

［2］Clarke D W，Mohtadi C，Tuffs P S.Generalized Predictive Control，Part Ⅰ ：The Basic Algorithm ［J］.Automatica，1987，23（2）：137-148.

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［5］陳希平，朱秋琴，王彩霞.廣義預(yù)測控制算法的研究［J］.控制工程，2005（5）：35-37.

［6］王東風(fēng).基于CARMA模型的廣義預(yù)測控制解耦設(shè)計(jì)［J］.自動化技術(shù)與應(yīng)用，2001，20（6）：5.