劉持平

（常州市公安局 江蘇 常州 213000）

論指紋的拓撲性質

劉持平

（常州市公安局 江蘇 常州 213000）

應用拓撲學原理，指出了指紋“人各不同”和“終生不變”的兩大規(guī)律的本質，即指紋天然具有的“拓撲不變性質”，為指紋技術理論與方法的創(chuàng)新指出了新方向。

指紋 拓撲性質 矢量數據 柵格數據

1 指紋的兩大規(guī)律

被譽為物證之首的指紋鑒定，在犯罪對策學中的地位與作用始終是不可動搖的。指紋以它千姿百態(tài)的圖形展示著“人各不同”和“終生不變”的兩大規(guī)律。

關于指紋學的核心和精髓：

（1）各人各指不同。各人各指不同是指乳突線花紋結構的形態(tài)，乳突線細節(jié)的形態(tài)、數目、位置、距離、相隔線數和角度關系在其總體上所構成的特定性，亦即獨特性，不重復性。

（2）指紋終生不變。指紋終生不變是指紋的第二個基本特性，與指紋各人各指不同一樣，它是指紋學又一基本理論問題。指紋終生不變，是這個普遍規(guī)律的一個具體表現。指紋終生不變具有分子遺傳學、組織學和生理學的根據。

2 拓撲性質

拓撲學在解釋拓撲性質的概念時常常將歐氏平面想象成一塊橡皮：這塊橡皮可以任意地被拉伸、壓縮，但是不能夠被扭轉以及折疊，其表面上有由結點、孤段和多邊形組成的任何可能的圖形。如果對這塊橡皮進行拉伸、壓縮，但不對其進行扭轉以及折疊，則在這塊橡皮形態(tài)的變換過程中，圖形的一部分屬性保持不變，而另一部分屬性將會發(fā)生變化。例如，假設橡皮表面上有一個多邊形，其內部有一個點，在對橡皮進行拉伸、壓縮后，點仍然存在于多邊形內部，即點與多邊形的空間位置關系沒有改變，但是多邊形的面積卻發(fā)生了變化。

橡皮的這種拉伸和壓縮稱為拓撲變換，在這種變換中，能夠保持不變的屬性稱為拓撲屬性，發(fā)生變化的屬性稱為非拓撲屬性。

拓撲屬性：（1）點是一個弧段的端點；（2）點在多邊形的邊界上；（3）點在多邊形的內部；（4）點在多邊形的外部；（5）點在環(huán)的內部；（6）弧段是一個單一的弧段，弧段自身不相交；（7）面是一個簡單的面，面中沒有“島”；（8）面的連接性，面內任意兩點可以通過面的內部沿任意線路連接起來。

非拓撲屬性：（1）兩點之間的距離；（2）一個點指向另一個點的方向；（3）弧段的長度；（4）多邊形的周長；（5）多邊形的面積。

3 指紋的拓撲性質

拓撲學是現代幾何學的一個分支，它主要研究“形態(tài)在經過特定變換后仍然保持不變的幾何屬性——拓撲屬性”。指紋是典型的拓撲圖形，自然成為了拓撲學重點研究的對象之一，其最重要的成果是由此產生了指紋自動識別技術。

對于指紋學而言，非常容易理解圖形特定變換的概念以及不變的屬性含義。因為指紋恰恰是一種可以被有限地拉伸、壓縮，但是不能夠被扭轉以及折疊，其表面上有許多細節(jié)結點和多邊形，能組成任何可能形式的圖形。

拓撲學為指紋學的研究提供了強大的數學方法。每枚指紋都是典型的拓撲圖形，都存在多種形式的拓撲空間關系，包括點與點、點與線、線與線、點與面、線與面、面與面等拓撲空間關系。而每一種形式的拓撲空間關系中又包含更多的子形式。在指紋的拓撲關系結構中，“點是相互獨立存儲的，它們相互連接構成線，線始于起結點，止于終結點。面由線（線段、弧段、鏈、環(huán)等）構成。一個多邊形可以由一個外環(huán)和零個內環(huán)或多個內環(huán)組成，簡單多邊形沒有內環(huán)，復雜多邊形由一個或多個內環(huán)組成。這些內環(huán)所包圍的區(qū)域稱為，‘島’或‘洞’。前者有實體意義，后者無實體意義?！蓖負潢P系清晰地反映了指紋細節(jié)特征之間的邏輯關系。指紋圖形中的拓撲關系的研究，對正確認識任何一個指紋或任何一局部指紋的拓撲特性等都具有重要的意義。所以指紋自動識別技術的理論與方法的核心基礎是拓撲學，指紋自動識別技術是拓撲學在犯罪對策領域應用最顯著的成果之一。

指紋圖形中的點、線、面組合既有規(guī)律性又有一定的復雜性。指紋拓撲關系主要有三種：一是拓撲鄰接關系；二是拓撲關聯關系；三是拓撲包含關系。

（1）拓撲鄰接關系：是指存在于指紋圖形同類元素之間的拓撲關系。例如點A與點B之間，塊K1、K2與塊K3之間是鄰接關系（圖1）。

圖1 拓撲鄰接關系圖

指紋圖形中，弧段與端點關系是最常見的體現了鄰接性的拓撲關系。每個弧段都有一個起始點與一個終止點，弧段的方向為從起始點到終止點（約定俗成，指紋圖形依順時針方向旋轉為序，同一根弧段，左、上的端點為起點，右、下，含旋轉360度以上的端點為終點，見圖2）。

圖2 鄰接性拓撲關系圖一

圖3 鄰接性拓撲關系圖二

所有弧段的端點序列就定義了弧段與端點之間的拓撲關系，計算機通過端點序列中的弧段之間的共同端點來判斷弧段之間的鄰接性。例如圖1中，弧段b與e有共同的結點A，因此，計算機通過追蹤弧段b并轉到弧段e是可能的，而與沒有共同結點的弧段f，要直接從弧段b追蹤到f行不通，但可以通過弧段-端點列表中的弧段端點B或D而間接追蹤（圖3）。

指紋圖形中，鄰接性還體現在弧段左與右、上與下的拓撲關系上，這種關系需要通過定義弧段的左、右邊、上、下邊以及弧段的方向來確定。要判斷弧段兩邊的鄰接關系，就必須明確弧段的方向以及在該方向上左右或上下的多邊形。如圖1所示，多邊形K1和多邊形K2因為都有弧段b而相鄰，但卻不能準確確定多邊形相對于弧段的左右關系。只有當明確了弧段的方向后，多邊形K1和多邊形K2鄰接性的拓撲關系（左與右、上與下）才真正明確（圖4）。

弧段 左(上)多邊形 右(下)多邊形b K1 K2 d K2 K3 c K1 K3 j K3 K4

（2）拓撲關聯關系：指存在于指紋空間圖形不同類元素之間的拓撲關系。例如結點A與孤段a，b，e之間的關聯關系（取中心花紋下的三角為例）；多邊形K1與孤段a，b，c之間的關聯關系等（圖5）。

圖5 不同類元素拓撲關系圖

（3）拓撲包含關系：指存在于指紋空間圖形同類但不同級別元素之間的拓撲關系。例如大多邊形中包含一小多邊形，或多邊形中有不與多邊形關聯的弧段或點等（圖4）。

多邊形K1 K2 K3 K4弧段a，b，c b，e，d c，d，f j

弧段abfcd起點 終點B A A C D B B C C D

若干個弧段首尾相連構成了多邊形的內部區(qū)域。多邊形與弧段之間的拓撲關系不僅體現了多邊形區(qū)域的定義，甚至還體現了拓撲包含關系。如圖1所示，弧段c，d，f，j組成了多邊形K3，其中弧段j構成了多邊形K3中的內島K4，多邊形K3包含了K4。

圖6中，多邊形區(qū)域a中包含了多邊形b。

圖6 拓撲包含關系圖

對于這種拓撲關系，拓撲學是用空間數據模型進行描述的，它為空間數據的組織和空間數據庫的設計提供了基本思想和方法。在指紋識別系統(tǒng)中，主要有矢量數據模型、柵格數據模型等基本的數據模型，矢量和柵格結構是計算機描述空間實體的兩種最基本的方式。

3.1 矢量數據模型

3.1.1 矢量數據模型的表達

（1）零維矢量：是空間中的一個點，在數學中點無大小、無方向，通常用于表示抽象的點狀實體，如地圖上的城市、鄉(xiāng)鎮(zhèn)，指紋中常有無方向性的點特征出現。在二維空間中，零維矢量用唯一的實數對（x，y）表示，在三維空間中用唯一的數組（x，y，z）表示。

（2）一維矢量：一維矢量是空間中的一條線，又稱之為弧段、鏈等。在地圖中通常用于表示公路、河流等線要素，或行政區(qū)域邊界等。一維矢量有長度（等于矢量方向上相鄰兩點之間距離的和），但不含寬度與高度元素量。有方向，在二維歐氏空間中，用一組離散的實數點表示一維矢量，如（x1，y1）表示為起始點，（xn，yn）表示為終止點；在三維歐氏空間中，則用（x1，y1，z1）表示為起始點，（xn，yn，zn）表示為終止點。指紋自動識別系統(tǒng)中最典型的一維矢量出現在指紋數據的銳化之中，它本質性地反映了指紋特征圖與指紋原圖的區(qū)別，因為指紋原圖含有寬度數據量（圖7）。

圖7 指紋銳化數據圖

（3）二維矢量：二維矢量是空間中的一個面，在地圖中通常用多邊形表示面狀要素，如島嶼、農場、行政區(qū)劃等。二維矢量的參數包括面積、周長、走向、凸性、傾角、傾向等。在二維歐氏空間中，用一組由弧段組成的閉合的多邊形表示；在三維歐氏空間中，二維矢量表示為空間曲面：一是通過設定等高距，把具有相同高程的點連接起來形成等高線，完成對空間曲面的描述，地圖中常見有地形等高線圖；二是按一定的間距和剖面方向切割空間曲面，形成的多細曲面反映了實際的空間曲面形態(tài)，例如指紋乳突花紋剖面圖（圖8）。

圖8 指紋乳突花紋剖面圖

圖9 單一乳突紋線圖

平面指紋是典型的二維歐氏空間中的二維矢量圖，因它有長度和寬度，若放大了若干倍后觀察，單一乳突紋線非常明顯地表現出了面積與邊界的多邊形形態(tài)特征的特點，并且還有若干汗孔所形成的“島形圖形”，這也就是為何條件好的單一乳突紋線也具備鑒定條件的原理（圖9）。

（4）三維矢量：三維矢量是指三維空間中的實體，是由一組或多組空間曲面所包圍的客間客體，具有長、寬、高度，空間曲面的面積、體積，空間曲面的周長等要素，地圖中最常見的三維矢量是用于描述建筑物。三維矢量在指紋學中用的不多，通常只表現在立體指紋中，但在足跡、工具、槍彈、車輛、法醫(yī)物證等檢驗中可常用到。

3.1.2 矢量數據模型的特征

（1）矢量數據模型有很高的工作效率與精度。在幾何變換操作中，形態(tài)和圖形的識別與編輯定位，可根據坐標直接存儲，而屬性則可隱含于文件夾或數據結構之中。這種獨特的特點和圖形運算的識別算法，雖總體上比柵格數據結構要復雜的多，但卻十分適合于指紋圖形的編輯與識別，于是傳統(tǒng)的指紋技術與先進的計算機技術、互聯網技術天衣無縫地實現了完美的結合，結出了豐碩的個體識別技術之果，當然還包括瞳孔識別、聲紋識別、DNA識別、測謊技術等科技成果，無一例外地都應用了矢量數據模型原理與方法。

（2）在矢量數據模型中是用點、線、面、體描述空間對象。這種描述對指紋形態(tài)而言，它不像聲紋識別、DNA識別有個原形與最終數據形態(tài)的轉換，而幾乎是依葫蘆畫瓢，十分形象與直觀，為眾人所接受。

（3）特別適合于模擬離散（非連續(xù)變化）的空間數。對指紋乳突紋線圖形而言，它在空間上的變化不是連續(xù)的，屬性變化主要發(fā)生在邊界上。乳突紋線（當不考慮汗孔形態(tài)時）、小犁溝面的內部原素是同質的，因此用矢量數據模型來描述指紋十分的便捷。

（4）數據精度高是其又一大特點。矢量數據模型模擬指紋等空間對象時，是通過記錄坐標對的方式進行的，因此其精度與點的數量與質量直接有關，點的數量越多，點的位置越精確，模擬的精度就越高。在指紋比對中，相同指紋在排位序列中得分越高，位次越趨前。若指紋中點的數量越多，其比對速度越慢，即是以比對速度的損失為代價換取精度的。

與比對精度相關的實踐還告訴我們，當面對大容量、海量數據檢索時，會發(fā)生點的位置少而精則排位靠前；而點的位置越多，排位越往后的悖理現象。究其原因，一是點的位置越多，點位人為誤差概率產生累計效應；二是同一手指數次形成的指紋，在局部上會有較大差異（如相同部位沒有同時出現、相同部位同時出現了但清晰度不同），最終造成數據庫中其他原素相似、接近的指紋占領了一定量的排位位置，而將其擠出設定的閾值區(qū)域外。所以，如何首先選擇質量高的細節(jié)特征點，和如何設定最佳的比對點數量，是從事指紋比對核心算法開發(fā)和直接從事比對工作的同志需認真追循的優(yōu)選法。這也是衡量一個指紋比對系統(tǒng)先進與否的標準之一。

3.1.3 矢量數據的獲取

在地理信息領域，矢量數據的獲取采用各種定位儀器設備如全站儀、經緯儀等，可快速獲取地球表面上任意是點的坐標，或是采用硬拷貝數據方式獲取，或通過間接轉換柵格數據，或將已有信息通過空間分析的方式獲取。

在指紋自動識別系統(tǒng)中，指紋大多通過照相、紙張捺印的數字化，或直接人指掃描采集、硬拷貝數據方式獲取?？傮w看相對比較的簡單易行，可操作性很強，適合于大批量操作。

3.2 柵格數據模型

“柵格數據模型是一種用規(guī)則排列的像元陣列來描述空間目標對象的數據模型，它主要用來描述空間實體的級別分布特征及其位置。在柵格數據模型中，對空間實體的最小表達單位為一個像元或像素（cell或pixel），依行列構成的像元陳列稱為柵格（grid）。柵格像元最常用的形狀是正方形，但也可能是長方形、三角形或六邊形。

3.2.1 柵格數據模型的表達

在柵格數據模型中，點表現為具有一定數值的柵格像元；線表現為按線形特征相連接的一組相鄰像元，每個柵格像元最多只有兩個相鄰像元在線上；面表現為按二維形狀特征連續(xù)分布的一組像元，每個柵格像元可以有多于兩個的相鄰單元屬于同一區(qū)域（圖10）。

圖10 點（1）、線（2）、面（3）的柵格表示

3.2.2 柵格數據模型的特征

（1）屬性明顯，定位隱含

柵格數據直接記錄空間對象的屬性本身，而所在的位置則根據像元的行列號轉換為坐標得到。如圖所示，柵格數據表達了屬性為1的一個點實體、屬性為2的一個線實體和屬性為3的一個面實體。柵格數據的陣列方式很容易為計算機存儲和操作，而且易于維護和修改。

（2）在柵格結構中，其精度與分辨率有關

柵格數據的空間分辨率，取決于它每個像元所實際代表的面積區(qū)域的大小。每個像元所實際代表的面積區(qū)域越小，柵格數據陣列的分辨率就越高，該數據就越能表達所描述對象的空間現象細微特征，同時，數據量也就越大，數據處理時間也就越長。即隨著分辨率的提高，數據存儲空間以及處理的時間將以幾何級數增長。

（3）柵格數據的分辨率對數據精度的其他影響

對數據精度的影響，主要表現在像元在位置移動、形狀畸變、屬性的偏差幾個方面。

①位置的移動：矢量的點經柵格化后，像元的中心點與原矢量點會發(fā)生空間位置的漂移。理論上最大的位移量為像元大小的0.707倍。像元越大，分辨率越低，則移動越明顯，精度就越低。

②形狀的畸變：多邊形經柵格化后，形狀發(fā)生比單一矢量點更大的畸變，同理，分辨率越低，則畸變越明顯，精度就越低。

圖11 位置移動

圖12 形狀畸變

③屬性的偏差：如圖13所示，點在柵格化后，當像元大小為32時，像元屬性與點的屬性保持一致；當像元大小為64時，屬性值為13和16的點轉化為同一個像元，其值只能取其一，因此造成像元屬性出現偏差。由此可見，隨著柵格數據分辨率的降低，數據屬性越有可能出現偏差，精度越低。

圖13 屬性偏差

3.2.3 柵格數據的獲取

在地理信息系統(tǒng)中，柵格數據的獲取主要通過遙感影像數據獲取，規(guī)則點采樣、不規(guī)則點采樣及插值獲取，掃描儀、攝像機等設備獲取，通過矢量數據的轉換獲取等方式進行。在指紋自動識別系統(tǒng)中，主要采用數碼相機照片、攝像機視頻、掃描儀掃描等方式，就可以高精度、快捷地將指紋（包括其他物證）資料轉化為標準化的柵格數據，因為這些數據都是以行列為單位的數據列陣，可以很方便地在計算機中建庫。

3.3 矢量數據模型與柵格數據模型的比較

矢量數據模型與柵格數據模型的比較表

矢量數據模型與柵格數據模型是刑事技術中常用的兩種最主要的數據模型，由于兩種模型在結構上截然不同，因此具有不同的特征。

4 結論

綜上所述，拓撲學明確地闡明了指紋的“人各不同”和“終生不變”兩大規(guī)律的本質是指紋天然具有的“拓撲不變性質”。同時拓撲學為指紋識別技術解決了長期困擾的三大理論與方法問題，為痕跡檢驗學的創(chuàng)新打開了一扇嶄新的大門。

（1）完美地解答了為何同一個指紋在不同場合、不同承受客體、不同作用力條件下形成的若干個指印，可以進行指紋與指印、指印與指印之間同一認定的問題。眾所周知，指紋存在終生不變的特性，但并不是說所形成的指印終生不變。指印在形成的過程中，因手指動作的改變、作用力方向與輕重變化、承受客體光滑程度等諸因素的影響而有所變化，有所不同。即事實上，我們每一次將一枚新的現場指紋進行比對時，每一枚指紋均不同。在拓撲學看來，每一次形成的指紋，相當于是造形物——指紋“圖形在一對一的雙方連續(xù)地變換”，變換后所形成的特定形態(tài)的新的指紋，其圖形中所含有的幾何特性——拓撲屬性仍然保持不變，這是為何同一枚手指在不同場合所形成的指紋可以進行同一認定的理論基礎。

（2）完美地解答了為何殘缺不全的指紋同樣可以進行同一認定的問題。實踐中，尤其是對犯罪現場指紋進行比對時，極少出現兩枚指紋同時具有100個細節(jié)特征相互比對的情況發(fā)生，因為犯罪現場指紋大多殘缺不全，或局部模糊不清，導致一枚犯罪現場指紋可供同一認定比對的能有20個左右的細節(jié)特征已是極大的幸運。這絕非作案者故意逃避打擊，偽裝所為，而恰恰是人的正常動作的結果。所以經過一百余年無數例指紋檢驗的實踐，最終總結形成了歐美國家贊成（或規(guī)定）12個細節(jié)特征為具備鑒定條件的標準，我國約定俗成的是8個以上細節(jié)特征具備鑒定條件的模式。指紋業(yè)界都認為，若一枚指紋面積較小，細節(jié)特征低于數量臨界線，其細節(jié)特征重復的概率會急劇升高，容易使鑒定者產生認識上的經驗性錯誤，因此通常認為這類指紋不具備進行科學鑒定的基礎。不應否認，這也是實踐中總結出的經驗之談。

由于沒有確定的數量界限標準，所以國際指紋學界至今未能制定出一個統(tǒng)一的指紋鑒定標準，對殘缺不全的指紋在怎樣的條件下具有同一認定所需的“唯一性”，長期以來缺少有說服力的解答。

拓撲學與概率論最大的不同在于：拓撲學在討論最一般的幾何圖形時，是將圖形看作是一個函數，給定一個函數定義域。它認為，在映射f：A→B的條件下，集合A（函數的定義域）的每個點x，必定對應另一個集合B的相應點f(x)。兩者是一一對應的，被映射到集合B的每個點恰好是集合A的一個點，在映射下f沒有重疊，是同胚映射，證明了兩者具有相同的拓撲性質。

以指紋圖形為例，按照拓撲學原理，一枚指紋就是一個函數定義域，一枚指紋中的一小部分也可能是一個特定的函數定義域，即指紋圖形集合中包含有若干個子集，即若干個特定的函數定義域。集合是可分合的，并且無論是全集、中集或子集，都可能含有不變的拓撲性質。因此，最低的檢驗標準應該是：只要當某一子集之數據具備了拓撲性質的條件時，它才具備了進行同一認定的條件，而與指紋面積的大小、細節(jié)特征的數量多少無關。

（3）完美地解答了為何變形指紋也可以進行同一認定的問題。變形指紋，尤其是變形大的指紋是檢驗實踐中的一大難題。但對拓撲學而言，研究幾何圖形在一對一的雙方連續(xù)變換下不變的性質中，圖形彈性變化的分析是其獨特的理論強項。

（4）對于指紋自動識別系統(tǒng)而言，通過研究拓撲關系進而確定拓撲性質，對于指紋的數據處理和空間分析，具有重要的意義：①它是全部指紋自動識別技術的理論與方法的基礎；②通過拓撲關系，不需要利用坐標或距離，就可以確定一個空間實體（點、線、面）相當于另一空間實體的位置關系，它比幾何數據有更大的穩(wěn)定性，不隨圖形的投影的變化而變化；③利用拓撲關系，有利于指紋要素的查詢。例如一條乳突紋線的端點，穿過幾條乳突紋線才與某個端點聯成假設的直線；某個端點，某條乳突紋線與哪些端點，乳突紋線相鄰；某點、線、面屬于哪些類型等；④利用拓撲數據作為工具，可以重建指紋實體原圖；⑤拓撲關系還可以為指紋數據錯誤檢查、空間數據編輯、屬性數據輸入、空間分析功能的實現等方面提供方便。

在大多數的軟件數據庫中，“僅存儲部分拓撲關系，主要是關聯關系（不同類元素之間的關系），其他關系可以從這些關系中導出，或通過空間運算得到。軟件中拓撲關系有兩種表達方式：①全顯式表達。它是指對結點、弧段、面塊相互之間的所有關聯關系進行圍式儲存。如不僅要明確存儲面塊-弧段結點的拓撲關系，還要存儲結點-弧段-面塊的拓撲關系；②半隱含式表達。如果僅部分表格表示幾何目標的拓撲關系，稱為半顯式表達，或半隱含式表達。如圖4使用了表1、表2表達從面塊到弧段、弧段到結點的上下拓撲關系，其他關系則隱含表達，需要時再建立臨時的拓撲關系。雖然人們對拓撲關系的表達進行了大量的研究，提出了更為復雜的關聯和鄰接關系，但到目前為止，各種使用的軟件還沒有超過使用上述所列的各種關系?！?/p>

指紋拓撲數據結構的構建（俗稱核心算法）是一項難度與復雜性極大的數據編輯工作。指紋自動識別系統(tǒng)的應用，都必須具備這種預先存儲的、耗費大量精力才能創(chuàng)建的數據結構。因此，如何優(yōu)化預先存儲拓撲關系、存儲哪些拓撲關系將成為指紋自動識別技術創(chuàng)新的焦點。

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