趙立華，大久保重范

(1.東北電力大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，吉林 吉林132012;2.山形大學(xué) 工學(xué)部，日本山形992-8510)

模型跟蹤控制(Model Following Control System，MFCS)是通過迫使被控對象跟蹤具有理想動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)品質(zhì)的參考模型來獲得期望的閉環(huán)系統(tǒng)性能的控制方法。在MFCS中，對目標(biāo)信號沒有特殊要求，一般信號即可滿足控制器的設(shè)計(jì)要求，因此使得MFCS的應(yīng)用非常廣泛。MFCS的研究已經(jīng)取得了一些研究成果，但基于廣義非線性模型跟蹤控制系(Nonlinear Descriptor Model Following Control System，NDMFCS)的研究成果還不多，本文對MFCS的設(shè)計(jì)進(jìn)行擴(kuò)展，提出了一種基于一般非線性模型的廣義模型跟蹤控制方法，并證明了系統(tǒng)內(nèi)部有界。

1 問題的設(shè)定

由(1)、(2)式給出廣義非線性控制系統(tǒng)

這里，E為正則矩陣，且滿足rankE=r(r≤n);x(t)為廣義變量，x(t)∈Rn;u(t)為控制系統(tǒng)的輸入，u(t)∈Rl;y(t)為控制對象的輸出，y(t)∈Rl;B，C為適當(dāng)維數(shù)的常矩陣;f(x(t))為可利用的非線性變量，f(x(t))∈Rn;取d(t)∈Rl，d0(t)∈Rl為線性有界外界擾動(dòng)，其特征多項(xiàng)式為Dd(p)，滿足(3)式的數(shù)值多項(xiàng)式，模型由(4)式給出。

ym(t)∈Rl為模型的輸出;rm(t)∈為參考模型輸入;Dm(p)為穩(wěn)定的對角多項(xiàng)式，滿足。

Nm(p)為l×lm的多項(xiàng)式矩陣，各行的次數(shù)為?rk{Nm(p)}=σmk。在此，?{·}表示多項(xiàng)式{·}的次數(shù)，?rk{·}表示多項(xiàng)式矩陣{·}第k行的次數(shù)。取對角矩陣可使問題研究簡化，實(shí)際沒有此限制;系統(tǒng)輸出誤差e(t)由(6)式表示。

本文討論系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)完全有界、輸出誤差e(t)漸進(jìn)收縮于零的廣義非線性模型跟蹤控制系(NDMFCS)的設(shè)計(jì)問題。

2 控制系設(shè)計(jì)

取滿足(7)式的，控制對象(1)可寫成(8)式，K為適當(dāng)維數(shù)的常矩陣。

本設(shè)計(jì)法與系統(tǒng)輸入u(t)的初值無關(guān)，討論對于閉回路狀態(tài)方程式中的任意初值有界。令p=d/dt，控制對象的輸入、輸出關(guān)系可得

再由下面的(10)、(11)、(12)式:

得到

取穩(wěn)定對角矩陣T(p)=diagTk(p)。?Tk(p)=ρk表示該對角矩陣第k行的次數(shù)，線性有界外界擾動(dòng)特征多項(xiàng)式Dd(p)的系數(shù)為?Dd(p)=nd，建立如下(14)條件式，適當(dāng)取nmk值，使得ρk≥0。

使用上面的對角矩陣T(p)，求滿足(15)式的S(p)。

式中，T(p)，Dm(p)，D(p)為已知的多項(xiàng)式矩陣，Dd(p)為已知數(shù)值多項(xiàng)式。S(p)可由次數(shù)為nd的多項(xiàng)式對角矩陣求得。對于控制系統(tǒng)的輸入u(t)，使用滿足(16)式的穩(wěn)定對角矩陣Q(p)，?Qk(p)為角矩陣Q(p)第k行的次數(shù)。

求使(17)式右側(cè)趨近于零的控制系統(tǒng)輸入u(t)的表達(dá)式，模型次數(shù)為nmk≥σmk。

(18)式的u(t)使(17)式的右側(cè)等于零。

上式中T(p)，Dm(p)是穩(wěn)定的多項(xiàng)式矩陣，所以得出

至此，如果構(gòu)成控制系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)有界，便可實(shí)現(xiàn)模型跟蹤控制系的設(shè)計(jì)。

3 內(nèi)部狀態(tài)有界的證明

使用狀態(tài)空間將u(t)表示為

ζi(t)，(i=1～4)為以下狀態(tài)空間函數(shù):

多項(xiàng)式矩陣和系統(tǒng)矩陣的間有以下關(guān)系:

對于控制系來說，外部信號為模型的參考輸入rm(t)和外界擾動(dòng)d(t)、d0(t)，均為有界函數(shù)。為證明控制系內(nèi)部狀態(tài)有界，消去u(t)后，控制系可表示為如下的狀態(tài)空間形式。

取向量z(t)如下:

則(31)式可寫成

對比(31)和(34)式，可知 ～E，As，ds(t)，的內(nèi)容。As的特征多項(xiàng)式，

由pI-Fi=Q(p)，(i=1～4)以及前面相關(guān)各式可得，

由(34)，(35)式，由g(x(t))至x(t)的傳遞特性可由下式描述。

x(t)的有界性的證明可見下面的定理1。

定理1

所示控制系，如x(t)連續(xù)，且滿足條件① ～④時(shí)，則x(t)有界。

限于篇幅，定理1的證明略［8］。x(t)滿足定理1的條件，x(t)有界。由(34)式，x(t)有界，則g(x(t))有界;且ds(t)亦為有界函數(shù)，則內(nèi)部狀態(tài)函數(shù)z(t)有界，即控制系統(tǒng)內(nèi)部有界。

4 結(jié) 論

本文在MFCS設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，將控制對象分為線性和非線性兩部分進(jìn)行考慮，提出了一種內(nèi)部有界的廣義非線性模型跟蹤控制系(NDMFCS)的設(shè)計(jì)方法，證明了當(dāng)非線性部分滿足給定范數(shù)條件、傳遞函數(shù)正實(shí)時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)部完全有界。

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