楊志春，吳 鋒, 余仕成

(1. 海軍駐武漢438廠軍事代表室，湖北 武漢 430064；2.武漢工程大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

熱聲發(fā)動(dòng)機(jī)和制冷機(jī)沒有或者很少有運(yùn)動(dòng)部件，并且使用環(huán)境友好氣體作為工質(zhì)，以上突出優(yōu)點(diǎn)使其在近年來備受關(guān)注[1].回?zé)崞魇菬崧暉釞C(jī)的關(guān)鍵部件[2-3]，實(shí)際熱聲裝置中使用了多種結(jié)構(gòu)形式的回?zé)崞靼ㄆ叫邪褰Y(jié)構(gòu)、圓孔結(jié)構(gòu)和鋼絲型結(jié)構(gòu)等[4-5].Swift等[6-7]引入了一種被稱為針束結(jié)構(gòu)的新型回?zé)崞鳎横樖徒Y(jié)構(gòu)如圖1所示，在回?zé)崞鬏S向位置平行布置多根細(xì)針，單根針半徑為rd，每根針處于一個(gè)正六邊形流道中心.理論與實(shí)驗(yàn)均已證明針束型回?zé)崞鹘Y(jié)構(gòu)優(yōu)于其它規(guī)則幾何結(jié)構(gòu)的回?zé)崞鱗8].

圖1 針束結(jié)構(gòu)回?zé)崞鳈M截面局部示意圖Fig.1 A schematic diagram of the pin-array stack

工質(zhì)在回?zé)崞鲀?nèi)振蕩時(shí)的換熱和黏性損耗會(huì)導(dǎo)致不可逆損失，這種不可逆損失可以通過熵產(chǎn)率[9-10]來分析.文獻(xiàn)[11-16]對(duì)熱聲裝置不可逆性進(jìn)行了分析，但這些研究僅僅集中于單板、平行板或鋼絲型回?zé)崞饕约皳Q熱器.本文對(duì)針束回?zé)崞髦杏蓳Q熱和黏性耗散導(dǎo)致的熵產(chǎn)率進(jìn)行了分析，研究了間距、尺寸、角頻率、溫度梯度和阻抗比等參數(shù)對(duì)熵產(chǎn)率的影響.

1 理論分析

線性化動(dòng)量守恒方程為[4]

(1)

在無滑邊界條件下，有：

u1(rd)=0

(2)

在針的表面，對(duì)稱邊界條件下：

(3)

連續(xù)性方程為：

(4)

其中cp為工質(zhì)的復(fù)密度振幅.

線性化能量方程為：

(5)

其中cp為比定壓熱容，T1為復(fù)溫度振幅，dT/dx為溫度梯度，T0為平均溫度，β為等溫膨脹系數(shù)，k為工質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù).

線性化狀態(tài)方程為：

(6)

其中a為工質(zhì)絕熱聲速，γ為比熱比.

由公式(1)-(6)可得：

(7)

(8)

其中

(9)

(10)

單位質(zhì)量工質(zhì)能量方程為

(11)

由傅里葉導(dǎo)熱定律

(12)

可得：

-[T⊥T)2]

(13)

將公式(11)代入(5)得：

(14)

將Gibbs 方程Tds=dE+pdV代入公式(14)并忽略一階小量得：

(15)

其中s為單位體積熵產(chǎn).

公式(15)左邊第一項(xiàng)為單位體積熵產(chǎn)率，第二項(xiàng)為熵流.公式(15)右邊第一項(xiàng)為黏性不可逆性引起的熵產(chǎn)率，第二項(xiàng)為傳熱引起的熵產(chǎn)率.由此可得單位體積熵產(chǎn)率：

(16)

在層流和小擾動(dòng)條件下，黏性耗散函數(shù)為：

?=μ(⊥u1)2

(17)

將公式(17)代入公式(16)并取時(shí)間平均得：

(18)

其中*表示復(fù)共軛.

將公式(7)和公式(8)代入公式(18)并取實(shí)部可得針束型回?zé)崞鲿r(shí)均熵產(chǎn)率：

(19)

其中

由公式(19)可知Sir與r有關(guān)，即Sir沿流道橫向截面有一分布，取其截面平均得：

(20)

其中

(N,R=J,Y;η,ζ=μ,k)

2 數(shù)值結(jié)果分析

根據(jù)公式(19)和(20)，可分析得出不同參數(shù)對(duì)熵產(chǎn)率的影響：

2.1 截面分布熵產(chǎn)率

公式(19)表明截面分布不可逆熵產(chǎn)率Sir是針束距中心點(diǎn)距離r的函數(shù).計(jì)算時(shí)所取參數(shù)T0=600 K,T0β=1,f=ω/2π=400 Hz,dT/dx=1 000 K/m,Z=1,rd=0.000 1 m,ρ0=1.9 kg/m3,σ=0.68和k=0.13W/(m2·K).由圖2可知：在不同的r0/rd下Sir隨著r的增大而減小.這是因?yàn)殡x針束越遠(yuǎn)，換熱與黏性耗散的程度越小，回?zé)崞鞯牟豢赡嫘栽叫?

圖2 熵產(chǎn)率的截面分布Fig.2 Cross-section entropy generation rate distribution

2.2 溫度梯度對(duì)截面平均分布熵產(chǎn)率的影響

取參數(shù)T0=600 K,T0β=1,f=ω/2π=400 Hz,Z=1,rd=0.000 1 m，ρ0=1.9 kg/m3,σ=0.68和k=0.13 W/(m2·K)，如圖3所示：在不同r0/rd時(shí)Sir隨溫度梯度dT/dx的增大而增大，這是由于換熱導(dǎo)致的不可逆性受溫度梯度影響.

圖3 截面平均熵產(chǎn)率隨溫度變化規(guī)律Fig.3 Cross section average entropy generation rate versus temperature gradient

2.3 針束型回?zé)崞鞯膬?yōu)化頻率

給定特征尺寸r0/δk和rd/r0時(shí)，當(dāng)角頻率ω變化時(shí)，存在最小截面平均熵產(chǎn)率Si.由公式(20)，當(dāng)?Si/?ω=0時(shí)可得：

(21)

ω0為截面平均不可逆熵產(chǎn)率最小時(shí)的優(yōu)化角頻率.計(jì)算時(shí)取參數(shù)T0=600 K,T0β=1,dT/dx=1 000 K/m,Z=1,rd=r0/5,ρ0=1.9 kg/m3,σ=0.68和k=0.13 W/(m2·K)，在不同r0/rd時(shí)Sir隨ω的變化規(guī)律如圖4所示.

圖4 截面平均熵產(chǎn)率隨角頻率的變化規(guī)律Fig.4 Cross section average entropy generation rate versus the circular frequency

優(yōu)化頻率f0經(jīng)計(jì)算可得：

2.4 針束型回?zé)崞鞯膬?yōu)化阻抗比

取參數(shù)T0=600 K,T0β=1,f=ω/2π=400 Hz,dT/dx=1 000 K/m,rd=0.000 1 m,ρ0=1.9 kg/m3,σ=0.68和k=0.13 W/(m2·K)，在不同r0/rd時(shí)Sir隨阻抗比Z的變化規(guī)律如圖5所示.當(dāng)Z變化時(shí)存在最小Si，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)Z為：

圖5 截面平均熵產(chǎn)率隨阻抗比的變化規(guī)律Fig.5 Cross section average entropy generation rate versus impedance ratio

3 結(jié) 語

本文對(duì)針束型回?zé)崞髦杏捎趽Q熱和黏性耗散的不可逆性導(dǎo)致的熵產(chǎn)率進(jìn)行了研究，計(jì)算獲得了截面熵產(chǎn)率的分布.在給定參數(shù)下，截面平均分布熵產(chǎn)率隨溫度梯度的增大而增大，隨阻抗比變化時(shí)存在最小值.給定特征尺寸時(shí)，獲得了最小熵產(chǎn)率對(duì)應(yīng)的最優(yōu)頻率.本文結(jié)果有利于選擇針束型回?zé)崞鞯膬?yōu)化尺寸.

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳鋒, 李青, 郭方中, 等. 熱聲理論的研究進(jìn)展[J]. 武漢工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 34(1): 1-6.

[2] Swift G W. Thermoacoustic engines[J]. J Acoust Soc Am, 1984, 84(4): 1145-1180.

[3] Tominaga A. Thermodynamic aspects of thermoacoustic theory[J]. Cryogenics, 1995, 35(7): 427-440.

[4] Hofler T J. Thermoacoustic refrigerator design and per-formance[D]. San Diego: Physics Department, University of California at San Diego, 1986.

[5] Swift G W. Analysis and performance of a large th-ermoacoustic engine[J]. J Acoust Soc Am, 1992, 92(3): 1551-1563.

[6] Swift G W, Keolian R M. Thermoacoustics in pin-array stacks[J]. J Acoust Soc Am, 1993, 94(2): 941-943.

[7] Hayden M E, Swift G W. Thermoacoustic relaxation in a pin-array stack[J]. J Acoust Soc Am, 1997, 102(5): 2714-2721.

[8] Gibson R J, Nessler F S, Keolian R M. Measurements of a thermoacoustic pin stack[J]. J Acoust Soc Am, 1996, 100(4): 2735-2742.

[9] Bejan A. The thermodynamic design of heat and mass transfer processes and devices[J]. Heat and Fluid Flow, 1987, 8(4): 398-406.

[10] Bejan A. Entropy generation through heat and fluid flow[M]. New York: Wiley, 1982.

[11] Shohel Mahmud, Roydon Andrew Fraser. The Ther-moacoustic irreversibility for a single-plate thermoa-coustic system[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2006, 49: 3448-3461.

[12] Hadi Babaei, Kamran Siddiqui. Design and optimiz-ation of thermoacoustic devices[J]. Energy Conver-sion and Management, 2008, 49: 3585-3598.

[13] Ishikawa H, Hobson P A. Optimisation of heat excha-nger design in a thermoacoustic engine using a second law analysis[J]. Heat mass transfer, 1996, 23(3): 325-334.

[14] 吳鋒, 陳林根, 孫豐瑞,等.斯特林機(jī)的有限時(shí)間熱力學(xué)優(yōu)化[M]. 北京: 化學(xué)工業(yè)出版社, 2008.

[15] 余仕成. 平板型回?zé)崞鞯牟豢赡骒禺a(chǎn)率分析[J]. 武漢化工學(xué)院學(xué)報(bào), 1999, 21(2): 85-89.

[16] 余仕成, 王克協(xié), 吳鋒. 鋼絲型回?zé)崞鞯牟豢赡骒禺a(chǎn)率分析[J], 吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 1999, 3: 52-56.