章東平，陳非予，童 超，何海波

(中國計(jì)量學(xué)院信息工程學(xué)院，杭州310018)

在圖像處理與分析中，如何在除去噪聲的同時(shí)更好的保護(hù)圖像的邊緣及紋理信息一直是極為重要的技術(shù)問題。由于Perona[1]提出的各向異性擴(kuò)散濾波算法的性能優(yōu)于那些傳統(tǒng)的圖像去噪算法[2]，導(dǎo)致了大量的學(xué)者研究圖像濾波的PDE方法。如Parker和Schnable[3]建議用一個(gè)基于熵的統(tǒng)計(jì)值與文獻(xiàn)[1]中提出的擴(kuò)散傳導(dǎo)函數(shù)相乘。Edoardo[4]提出了使用邊緣驅(qū)動(dòng)的自適應(yīng)各向異性擴(kuò)散濾波，指出在邊緣區(qū)域各向異性擴(kuò)散應(yīng)考慮邊緣方向的影響。Hye[5]為了濾除噪聲的同時(shí)更好的保持邊緣，提出了基于邊緣方向的各向異性擴(kuò)散濾波法。他利用Prewitt算子得到邊緣方向，并且自適應(yīng)的根據(jù)邊緣方向選擇擴(kuò)散的權(quán)值。Chao[6]利用圖像中細(xì)小區(qū)域比噪聲背景擁有更高灰度級方差的特性，提出了一種基于修正的各向異性擴(kuò)散邊緣保持平滑的方法。

此外研究者們在各向異性擴(kuò)散基礎(chǔ)上還結(jié)合其他濾波去噪技術(shù)以獲得更好的濾波效果。由于小波變換的多分辨表示能力在圖像去噪的同時(shí)也能有效保留圖像細(xì)節(jié)[7]，Zhong[8]利用絕對小波系數(shù)的總和把小波系數(shù)分為規(guī)則和不規(guī)則的區(qū)域，然后在小波域內(nèi)對不同層級使用不同的參數(shù)進(jìn)行各向異性擴(kuò)散。與之類似，Wang[9]提出了基于小波域內(nèi)自適應(yīng)歸一化濾波大小和步長的各向異性擴(kuò)散。此外在Black[10]指出各向異性擴(kuò)散可以視為魯棒估算的最小化能量過程之后，Couprise[11]等首次將用于圖像分割的能量分水嶺原理用于各向異性的能量最優(yōu)化過程中來，代替之前的魯棒估算濾波模型。

最初由Perona提出的各向異性擴(kuò)散濾波方法沒有使用任何形態(tài)或結(jié)構(gòu)信息來控制不同區(qū)域擴(kuò)散的范圍，從而使細(xì)小的圖像結(jié)構(gòu)常會(huì)被除去，模糊的邊緣會(huì)更模糊。為了克服這些問題，Saha[12]引入了“局部尺度”的概念，在擴(kuò)散濾波中，用局部尺度控制圖像中不同區(qū)域平滑的程度。根據(jù)Saha對局部尺度的定義，具有細(xì)小結(jié)構(gòu)的區(qū)域和邊界附近的局部尺度較小，因此，在小區(qū)域內(nèi)(對應(yīng)于具有細(xì)小結(jié)構(gòu)的區(qū)域或邊界附近)可采用小的參數(shù)進(jìn)行濾波，而在大尺度區(qū)域內(nèi)(對應(yīng)于大的均勻區(qū)域的內(nèi)部)使用大的參數(shù)濾波。

Saha算法由于利用了每個(gè)象素的局部結(jié)構(gòu)信息而在性能上優(yōu)于Perona算法，但Saha并沒有充分利用每個(gè)象素的局部結(jié)構(gòu)信息。Saha在對每個(gè)象素尺度的定義中，每個(gè)象素的尺度信息只由區(qū)域一致性所決定的，實(shí)際上，有的象素在各個(gè)方向上形態(tài)和結(jié)構(gòu)是不同的。根據(jù)圖像這一特征，本文重新定義每個(gè)象素的局部尺度，我們稱之為“局部方向尺度”。本文定義的局部方向尺度與Saha定義的局部尺度的主要不同之處是:本文定義的象素的局部方向尺度是有方向性的，即:每個(gè)象素在每個(gè)方向都具有一個(gè)局部尺度。對于二維圖像我們使用東、南、西、北、東南、西南、東北和西北八個(gè)方向，也就是說每個(gè)象素具有東、南、西、北、西南、東南、東北和西北八個(gè)方向的“局部方向尺度”。在擴(kuò)散濾波中，本文采用局部方向尺度來控制擴(kuò)散傳導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)方向擴(kuò)散的參數(shù)。

1 象素局部方向尺度計(jì)算

Saha算法的主要思想是在一個(gè)區(qū)域一致性標(biāo)準(zhǔn)下決定每個(gè)象素局部結(jié)構(gòu)的尺寸，然后使用這個(gè)參數(shù)控制濾波的廣度。Saha的尺度概念最初在文獻(xiàn)[13]中引入。

(1)Saha局部尺度的計(jì)算:在二維圖像C中，中心點(diǎn)位于c(i，j)，半徑為k的圓Bk(c)定義為:

根據(jù)圓的定義，Saha定義一個(gè)函數(shù)FOk(c)，表示圓的邊界與c是否具有一致屬性(例如強(qiáng)度相似):

其中，|Bk(c)－Bk－1(c)|為 Bk(c)－Bk－1(c)中象素的數(shù)目，Wψ是一個(gè)一致性函數(shù)，根據(jù)圓的邊界與c具有一致屬性函數(shù)公式，可以確定二維圖像C中的任何象素c(c∈C)的局部尺度。象素c(c∈C)的局部尺度為當(dāng)圓的邊界與c具有一致屬性時(shí)最大圓的半徑r(c)。

(2)局部方向尺度的計(jì)算:在Saha提出的算法中，使用圓內(nèi)的所有象素來計(jì)算圓的邊界像素與像素c是否具有一致屬性。實(shí)際上，在圖像的邊緣附近，象素c在不同方向鄰域內(nèi)的象素具有不同的屬性，這樣用圓內(nèi)的所有象素來計(jì)算圓的邊界與c是否具有一致屬性就不很恰當(dāng)。為了克服這一缺陷，本文提出用象素c鄰域內(nèi)不同方向扇面內(nèi)的象素來分別來計(jì)算不同方向扇面的邊界與c是否具有一致屬性。然后，根據(jù)各個(gè)方向一致屬性來計(jì)算象素在各個(gè)方向的局部尺度。

在二維圖像C中，中心點(diǎn)位于c(i，j)，半徑為k方向角為u的“扇面”Bk，u(c)定義為半徑為k，兩條半徑的方向分別為u+π/4和u－π/4的扇形內(nèi)的區(qū)域，如圖1所示，圖中陰影部分是半徑為k方向角u為∠xOA的扇面，其中

圖1 扇面

根據(jù)“扇面”的定義，分別定義函數(shù)FOk，u(c)和函數(shù)FO'k，u(c)，來表示“扇面”的弧形邊界與c具有一致屬性的程度:

其中，|Bk，u(c)－Bk－1，u(c)|為 Bk，u(c)－Bk－1，u(c)中象素的數(shù)目，|Bk，u(c)－Bk－2，u(c)|為 Bk，u(c)－Bk－2，u(c)中象素的數(shù)目，Wψ是一個(gè)一致性函數(shù)，與Saha一樣我們使用高斯函數(shù)。

計(jì)算象素c的局部方向尺度的算法如下:

算法從k=1開始，逐步增加扇面的半徑，直到FOk，u(c)和 FO'k，u(c)小于閾值 ts(k)。FOk，u(c)和FO'k，u(c)小于閾值ts(k)時(shí)，認(rèn)為u方向的扇面內(nèi)含有了一個(gè)不同于c的對象，其中ts(k)是k的函數(shù)，它隨著k的增大而增大，它的取值范圍為[0.75，1]。ts(k)的下限取為0.75的理由是:在 c的3×3鄰域內(nèi)，當(dāng)象素c的四個(gè)鄰域象素中在某個(gè)方向的有一個(gè)屬性不同的點(diǎn)，但c與它的鄰域還是有可能屬于同一個(gè)對象。ts(k)的上限取為1的理由是:在k較大時(shí)，只有“扇面”的弧形邊界上的所在象素點(diǎn)的屬性都與象素點(diǎn)c相同時(shí)，才把半徑為k的“扇面”與c歸于同一個(gè)對象。本文自適應(yīng)的取。

2 基于局部方向尺度的擴(kuò)散濾波

在Perona提出的二個(gè)擴(kuò)散傳導(dǎo)函數(shù)中，σ是決定濾波范圍的控制參數(shù)。Perona僅利用了圖像的全局噪聲估計(jì)來確定σ的值，沒有利用圖像中每個(gè)對象的局部結(jié)構(gòu)，因而算法的自適應(yīng)性差。針對Perona算法的這一缺陷，Saha引入局部尺度的概念，并用它來控制擴(kuò)散傳導(dǎo)函數(shù)的參數(shù)σ，從而使算法能夠根據(jù)圖像的局部結(jié)構(gòu)信息自適應(yīng)地調(diào)整擴(kuò)散的范圍。但是，Saha并沒有充分利用像素的局部結(jié)構(gòu)信息，僅僅用一個(gè)參數(shù)來描述像素的局部形狀和結(jié)構(gòu)，這是很不夠的。根據(jù)Saha算法的這一不足之處，本文提出了局部方向尺度的概念，用八個(gè)方向尺度來描述圖像的局部形狀和結(jié)構(gòu)，并用這八個(gè)方向尺度來控制圖像強(qiáng)度在八個(gè)方向的擴(kuò)散范圍。

我們的擴(kuò)散傳導(dǎo)函數(shù)為:

式中，σs，u(c)，是用于控制象素 c 流向東、東北、北、西北、西、西南、南和東南八個(gè)方向流量的自適應(yīng)參數(shù)，u∈{0，π/4，π/2，3π/4，π，5π/4，3π/2，7π/4}，σs，u(c)可通過下列公式求取:

式(7)中，rmax是圖像中局部尺度的上限，取為5，σψ是區(qū)域一致性函數(shù)Wψ的參數(shù)，reffu是用于控制象素c流向u方向流量的有效局部方向尺度，它由下面的算式求取:

式(8)中，e是在u方向上與象素c最相鄰的象素，象素d是在－u方向上與象素c最相鄰的象素。

根據(jù)上面的討論，可推導(dǎo)出，在第t次迭代中，象素c的流向u方向的流量Vu(c)為:

式(9)中，F(xiàn)t，u(c)表示沿著u方向的梯度向量。

根據(jù)上面這些公式可推導(dǎo)出基于局部對象尺度擴(kuò)散濾波的迭代處理可由下面的算式表示:

式(10)中KD是一個(gè)常量，它具有上限:

式(11)中，μα，u(c)是用于加權(quán)的常量。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

我們使用Canny直方圖估計(jì)方法選取參數(shù)σψ。Canny直方圖估計(jì)方法是先計(jì)算整幅圖像的梯度直方圖，σψ選取為從0開始累積梯度直方圖面積直到累積的面積與總面積的比值為閾值Tr時(shí)結(jié)束，取此時(shí)的梯度值為參數(shù)σψ的值，Tr=0.9是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值。

圖像中，同一象素沿不同方向的到邊緣的距離是不同的，采用基于局部方向尺度的濾波擴(kuò)散可以在對象內(nèi)更大的范圍內(nèi)進(jìn)行。因此，在邊緣附近本文的算法具有更強(qiáng)的除噪聲能力。

為了定性的評價(jià)本文提出的算法優(yōu)越性，我們在標(biāo)準(zhǔn)測試圖像中加入了不同的噪聲，將本文提出的濾波方法與Perona各向異性擴(kuò)散濾波方法和Saha基于尺度的擴(kuò)散濾波方法進(jìn)行比較。由圖2可見，基于尺度(Saha)和基于方向尺度(本文提出的算法)的濾波方法比Perona擴(kuò)散濾波方法更能保持圖像中的細(xì)小結(jié)構(gòu)?；诜较虺叨?本文提出的算法)的擴(kuò)散濾波方法與基于尺度(Saha)的擴(kuò)散濾波方法相比較，前一種方法對噪聲的平滑能力和保持圖像中細(xì)小結(jié)構(gòu)方面的能力都比后面一種方法更強(qiáng)。

圖2 三種濾波方法試驗(yàn)結(jié)果的比較

圖2(a)為加入未歸一化的方差為σ2=100的高斯噪聲圖，圖2(b)為Perona算法5次迭代濾波的結(jié)果，圖2(c)為Saha算法5次迭代濾波的結(jié)果，圖2(d)為本文提出的算法5次迭代濾波的結(jié)果。圖2(e)為加入未歸一化的方差為σ2=1 000的高斯噪聲圖，圖2(f)為Perona算法5次迭代濾波的結(jié)果，圖2(g)為Saha算法5次迭代濾波的結(jié)果，圖2(h)為本文提出的算法5次迭代濾波的結(jié)果。

為定量地評價(jià)本文算法，我們對圖3加入具有不同方差的噪聲，其中，方差 σ2=100，110，120，…，200。

圖3 未加噪聲的原始測試圖像

實(shí)驗(yàn)中，我們采用圖像的峰值信噪比作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，定義如下:其中，I(i，j)為未加入噪聲的原始圖像，ρ(i，j)為去噪后的圖像，圖像大小為M×N，圖像灰度級為0～255，PSNR越大，濾波去噪能力越強(qiáng)。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，隨著迭代次數(shù)的增加，各向異性平滑的輸出圖像的信噪比會(huì)逐步達(dá)到一個(gè)最大值，然后逐步下降(如圖4所示)。因此在評價(jià)中，當(dāng)峰值信噪比達(dá)到最大值的時(shí)候，停止迭代.評價(jià)步驟如下:

(1)分別采用Perona算法，Saha算法和本文提出的算法處理噪聲污染圖像，得到輸出圖像ρPeronaM(i，j)，ρSahaM(i，j)和 ρZhangM(i，j);

(2)根據(jù)公式 12 計(jì)算 ρPeronaM(i，j)，ρSahaM(i，j)和 ρZhangM(i，j)的峰值信噪比;

(3)如果 PSNR(t)≥PSNR(t－1)，重復(fù)步驟(1)和(2);

(4)輸出PSNR=PSNR(t)。

圖4 隨著迭代次數(shù)的增加，各向異性平滑的輸出圖像的信噪比會(huì)到達(dá)一個(gè)最大值后逐漸下降

按照以上步驟，分別對圖3中加入不同方差的噪聲圖像進(jìn)行處理，我們可以得到模型輸出圖像的峰值信噪比隨噪聲方差的變化曲線，如圖5所示。

圖5 輸出圖像的峰值信噪比隨噪聲方差變化曲線

為了較清晰顯示本文算法在紋理圖像的去噪效果，我們分別對圖6(a)原始紋理圖像，進(jìn)行三種濾波方法的信噪比測試，結(jié)果如圖6(b)所示，本文方法在各測試方差噪聲下信噪比都是最好的。

圖6 三種濾波方法對紋理圖像除噪的結(jié)果比較

4 結(jié)論

本文針對在去噪聲的同時(shí)保護(hù)圖像邊緣及紋理信息的問題，提出了基于局部方向尺度的概念的擴(kuò)散濾波方法。該方法首先本文根據(jù)象素鄰域內(nèi)不同方向的象素來分別來計(jì)算邊界與所求像素是否具有一致屬性，然后，根據(jù)各個(gè)方向一致屬性來計(jì)算象素在各個(gè)方向的局部尺度，并用各個(gè)方向尺度來控制圖像強(qiáng)度在方向上的擴(kuò)散濾波。在Lena測試圖像及紋理圖像上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的算法的去噪效果不僅在圖像視覺效果上比較好，而且在輸出圖像信噪比參數(shù)上也取得了較好的結(jié)果，從而證明了本文所提出算法的有效性。

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