張曉航 雷 剛 石景嵐 張德欣

（解放軍63891部隊(duì) 洛陽 471000）

1 引言

由于武器裝備體系作戰(zhàn)效能與各輸入因素的關(guān)系復(fù)雜，以及體系作戰(zhàn)效能涉及眾多不確定性因素等原因，為提升體系的作戰(zhàn)效能，需要研究影響體系作戰(zhàn)效能的各個(gè)因素。傳統(tǒng)的作戰(zhàn)效能分析方法由于分析因素少、因素變化范圍窄、不能分析因素之間的交互效應(yīng)或要求作戰(zhàn)效能與輸入因素關(guān)系不能過于復(fù)雜等原因，難以滿足體系作戰(zhàn)效能分析的需要，為此需要研究適合武器裝備體系效能分析特點(diǎn)的分析方法。

假設(shè)通過模型計(jì)算得到的數(shù)據(jù)如圖1。

圖1 模型示意圖

2 Sobol指數(shù)法

2.1 基本原理

Sobol法［1］是俄羅斯學(xué)者Sobol在上世紀(jì)90年代提出，并以他的名字命名的一種敏感性分析方法。這是一種基于方差的Monte Carlo法，其基本思想是研究輸入?yún)?shù)的方差對輸出方差的影響。如果輸入?yún)?shù)的方差很小而輸出的方差很大，表明輸入?yún)?shù)的敏感性較大；反之則較小。Sobol法的核心思想是方差分解，把模型分解為單個(gè)參數(shù)及參數(shù)之間相互組合的函數(shù)，通過計(jì)算單個(gè)輸入?yún)?shù)或輸入?yún)?shù)集的方差對總輸出方差的影響來分析參數(shù)的重要性以及參數(shù)之間的交互效應(yīng)［2～4］。

“全效應(yīng)”指數(shù)，這個(gè)衡量指標(biāo)不僅包含了該輸入因素自身的主效應(yīng)，還包含了它與其它因素之間的交互效應(yīng)。因此選擇“全效應(yīng)”指數(shù)作為衡量輸入因素的敏感性是一種更科學(xué)合理的選擇。通過因素之間的二階及更高階交互效應(yīng)，可以了解因素之間的相互作用，由此可以合理地控制某些因素的輸入組合，達(dá)到預(yù)期輸出的目的。

由以上定義可知，Sobol指數(shù)法是一種相對獨(dú)立于模型的分析方法。使用時(shí)不要求用戶對復(fù)雜的體系仿真模型有具體的了解，也不需要對模型做出假設(shè)。僅需要用戶通過合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)得到相應(yīng)的輸入輸出數(shù)據(jù)。在這些數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上便可以完成整個(gè)分析。

2.2 Sobol指數(shù)的計(jì)算

如果已知分析函數(shù)Y的具體形式，以及各個(gè)輸入變量的分布，那么通過解析計(jì)算便可以獲得各個(gè)輸入變量的Sobol指數(shù)。例如分析函數(shù)如下式所示：

根據(jù)前文所述方法對它進(jìn)行Sobol指數(shù)的計(jì)算。

進(jìn)而計(jì)算可得

但在通常情況下，分析函數(shù)是非常復(fù)雜的，如對抗條件下的武器裝備體系，其作戰(zhàn)效能函數(shù)Y是不可能獲得具體解析形式的。只能通過效能模型計(jì)算，獲取的輸入輸出樣本點(diǎn)，然后在樣本點(diǎn)的基礎(chǔ)上來完成計(jì)算。

3 Kriging模型

3.1 基本原理

Kriging代理模型是一種基于統(tǒng)計(jì)理論的插值技術(shù)，其核心就是通過部分已知的信息去模擬某一點(diǎn)的未知信息。該方法是由南非地質(zhì)學(xué)家Krige于1951年提出的，用來確定礦產(chǎn)儲(chǔ)量的分布情況。后來，法國學(xué)者 Matheron將Krige的成果進(jìn)行了系統(tǒng)化和理論化，形成了嚴(yán)格的Kriging模型數(shù)學(xué)理論［6］。

傳統(tǒng)的擬合或者差值技術(shù)大都為參數(shù)化的模型（如線性回歸、響應(yīng)曲面法等），首先必須選擇一個(gè)參數(shù)化的數(shù)學(xué)模型（如多項(xiàng)式模型等），其次模型確立之后必須確定其待定系數(shù)。而半?yún)?shù)化的Kriging代理模型并不需要建立一個(gè)特定的數(shù)學(xué)模型，相對于參數(shù)化模型而言，Kriging模型的應(yīng)用就更加靈活和方便。

Kriging代理模型是由一個(gè)參數(shù)模型和一個(gè)非參數(shù)模型聯(lián)合構(gòu)成的。其中，參數(shù)模型是回歸分析模型，非參數(shù)模型是一個(gè)隨機(jī)分布。Kriging模型在對某一點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測，首先借助于在這一點(diǎn)周圍的已知變量的信息，通過對這一點(diǎn)一定范圍內(nèi)的信息加權(quán)的組合來估計(jì)這一點(diǎn)未知信息。加權(quán)選擇則是通過最小化估計(jì)值的誤差方差來確定［7～8］。

Kriging模型的具體形式如下：

式中：fT（X）為已知形式的回歸模型，通常為多項(xiàng)式函數(shù)，用以提供擬合的全局近似，可以是0階、1階或2階多項(xiàng)式，β為相應(yīng)的待定參數(shù)；z（X）為隨機(jī)分布誤差，用以提供擬合的局部偏差的近似，z（X）具有如下的統(tǒng)計(jì)特性：

其中，X、W 為用來擬合模型的任意兩個(gè)樣本點(diǎn)，R（θ；X，W）為相關(guān)函數(shù)，用來衡量兩個(gè)樣本點(diǎn)之間的空間相關(guān)性。

其中X，W 為兩個(gè)訓(xùn)練樣本點(diǎn)，n為樣本的維度，Xi，Wi分別為X與W 的第i個(gè)分量。Ri（θ，di）根據(jù)需要可以取多種形式，常用的形式有以下幾種［9］：

表1 常用的相關(guān)函數(shù)

當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)之間的歐氏距離較小時(shí)，EXP、LIN和SPHERICAL表現(xiàn)為線性行為，所以它們比較適合于線性對象問題，而GAUSS，CUBIC和SPLINE表現(xiàn)為拋物線行為，所以適合于連續(xù)可微的對象問題。其中計(jì)算效果最好，被廣泛采用的相關(guān)函數(shù)是GAUSS相關(guān)函數(shù)［10］。

對于多維問題，θ值的數(shù)量與變量X的維數(shù)是一致的，θ的分量選擇有兩種：一種是所有的分量都為相同的值，即相關(guān)函數(shù)各向同性，這就假定了變量X的所有分量有相同的權(quán)重；另一種是假定所有分量可以各不相同，這就使相關(guān)函數(shù)是各向異性的。

3.2 計(jì)算示例

下面通過一個(gè)二維的非線性測試函數(shù)來驗(yàn)證Kriging的實(shí)際擬合效果。

該函數(shù)具有明顯的非線性性質(zhì)，如圖2所示。sx＋3y－2x2－y2＋3sin（3x）sin（2y）

圖2 測試函數(shù)的真實(shí)曲面

根據(jù)已知100組樣本數(shù)據(jù)，通過Matlab中的DACE工具箱建立Kriging近似模型，選擇二元二次多項(xiàng)式作為Kriging模型回歸部分的函數(shù)類型，選擇高斯函數(shù)相關(guān)函數(shù)，考慮各向異性作用，對于變量x1，x2選擇不同的方向性參數(shù)θ1，θ2。則有

設(shè)定θ1，θ2初始值為10，范圍為［0.1，100］。運(yùn)行 Matlab程序可得函數(shù)的近似曲面如圖3所示。

圖3 測試函數(shù)的擬合曲面（曲面上的點(diǎn)為擬合樣本點(diǎn)）

下面通過測試樣本來檢驗(yàn)所建Kriging模型的精度。

表2 測試函數(shù)實(shí)際值與擬合值對比

4 基于Kriging模型的Sobol指數(shù)求解

在第1節(jié)中討論了Sobol指數(shù)的計(jì)算。由于在實(shí)際情況中，分析函數(shù)復(fù)雜，無法獲得具體解析形式的。只能通過效能模型計(jì)算，獲取的輸入輸出樣本點(diǎn)，然后在樣本點(diǎn)的基礎(chǔ)上來完成計(jì)算。因此，如何根據(jù)已有的樣本數(shù)據(jù)來進(jìn)行敏感性分析，進(jìn)行Sobol指數(shù)的計(jì)算，便成為了問題的關(guān)鍵。本文通過Kriging代理模型方法，根據(jù)已有樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建代理模型，通過代理模型來完成對原模型的敏感性分析。這樣的分析方法僅依賴于樣本數(shù)據(jù)，而不依賴于原模型，因此具有更好的適應(yīng)性。具體操作流程如圖4所示。

首先將已有的數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)分為兩部分，一部分作為訓(xùn)練樣本來建立模型，另一部分作為檢測樣本，來檢驗(yàn)所建立模型的精度是否滿足要求。根據(jù)訓(xùn)練樣本建立Kriging模型，可以通過Matlab中的DACE工具箱來實(shí)現(xiàn)，僅需要對相關(guān)參數(shù)進(jìn)行設(shè)定即可獲得擬合模型。若模型在精度檢驗(yàn)中不滿足要求，可以通過調(diào)整模型參數(shù)來改變模型，直至滿足要求為止。當(dāng)獲得滿足精度的Kriging代理模型后，就可以通過代理模型獲取新的樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)而完成敏感性分析。

本文采用上述方法對某空戰(zhàn)作戰(zhàn)效能模型的200組數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。該模型有五個(gè)輸入因素：X1，X2，…，X5；一個(gè)輸出，即作戰(zhàn)效能指標(biāo)Y。通過運(yùn)用第2節(jié)中介紹的Kriging模型方法擬合出近似模型，進(jìn)而采用Sobol指數(shù)法進(jìn)行全局敏感性分析，計(jì)算得到各輸入因素的主效應(yīng)、全效應(yīng)及它們之間的二階交互效應(yīng)，如表3、表4所示。

圖4 敏感性分析流程圖

表3 各輸入因素主效應(yīng)及全效應(yīng)排序

由表3可知，不論從主效應(yīng)還是全效應(yīng)來看，都可認(rèn)定X2，X4，X5是模型的關(guān)鍵輸入因素。

表4 各輸入因素之間的二階交互效應(yīng)

由以上結(jié)果可知，輸入因素X2，X4，X5的變化對作戰(zhàn)效能Y有重要影響，而輸入因素X1，X3對作戰(zhàn)效能的影響很小。因此要提高體系的作戰(zhàn)效能關(guān)鍵在于控制輸入因素X2，X4，X5的取值。此外，從輸入因素之間的二階交互效應(yīng)可以看出X2與X4，X4與X5之間有顯著的交互效應(yīng)，因此在控制輸入因素時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意它們之間的取值組合，以達(dá)到提高作戰(zhàn)效能的目的。

5 結(jié)語

本文對體系的作戰(zhàn)效能分析方法進(jìn)行了研究，提出利用Sobol指數(shù)法進(jìn)行作戰(zhàn)效能全局敏感性分析。Sobol指數(shù)法是一種基于方差的全局敏感性分析方法，該方法所具有的獨(dú)立于分析模型和能夠定量描述因素間交互效應(yīng)等特點(diǎn)，較好地滿足了武器裝備體系作戰(zhàn)效能分析的需要。利用該方法對一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行了示例分析，驗(yàn)證了該方法的有效性。針對Sobol指數(shù)計(jì)算量大的問題，本章提出利用Kriging模型來擬合原模型，進(jìn)而在擬合模型的基礎(chǔ)上來完成全局敏感性分析。

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