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        基于采樣的非線性濾波算法比較*

        2012-06-07 01:50:22漆德寧
        艦船電子工程 2012年1期
        關(guān)鍵詞:卡爾曼濾波

        趙 侃 漆德寧

        (解放軍陸軍軍官學(xué)院 合肥 230031)

        1 引言

        由于非線性問題的復(fù)雜性,非線性估計難度較大。進(jìn)行非線性估計的的最優(yōu)方案需要得到其條件后驗(yàn)概率的完整描述,然而這種精確的描述需要太大的計算量而無法實(shí)際應(yīng)用[1],為此人們提出了大量次優(yōu)的近似方法[2],主要包括:對非線性函數(shù)進(jìn)行近似,采用高階項(xiàng)忽略或逼近措施;用隨機(jī)采樣方法近似非線性分布的概率密度;用確定性采樣方法近似非線性分布;在非線性估計領(lǐng)域中使用遞推的擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)方法通過對非線性函數(shù)的Taylor展開式進(jìn)行線性化截斷,從而將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題。但EKF只適用于濾波誤差和預(yù)測誤差很小的情況。否則,濾波初期估計協(xié)方差下降太快會導(dǎo)致濾波不穩(wěn)定,甚至發(fā)散。

        本文對近年來受到廣泛關(guān)注的粒子濾波(PF)算法[3]和通過確定性采樣點(diǎn)來近似非線性分布不敏卡爾曼濾波進(jìn)行討論。并通過仿真證明對于非線性程度高、模型復(fù)雜系統(tǒng)的估計問題本文研究的濾波算法能獲得更精確的估計結(jié)果。

        2 UKF算法

        Julier提出了unscented卡爾曼濾波(UKF)算法[4~6]。其核心思想是UT變換,狀態(tài)的概率密度分布可通過能完全表述密度函數(shù)的均值和方差的有限個樣本點(diǎn)來描述,通過直接使用狀態(tài)或測量的非線性方程映射這些樣本點(diǎn),加權(quán)求和得到更新的均值和方差,若將非線性方程采用泰勒級數(shù)展開式表示,可看出UKF方法將精確到與三階泰勒級數(shù)展開式相當(dāng)?shù)木岛头讲睢?/p>

        UKF算法流程如下:

        Step1:初始化數(shù)據(jù)

        Step2:通過非線性函數(shù)采樣得到k+1時刻的sigma采樣點(diǎn)χk+1,再由sigma點(diǎn)求取均值和方差。

        Step3:計算量測采樣點(diǎn)Zk+1點(diǎn)及其預(yù)測值、協(xié)方差矩陣P。

        Step4:計算狀態(tài)向量和量測向量的協(xié)方差矩陣S。

        Step5:計算濾波的增益值K。

        Step6:計算狀態(tài)向量的估計值^xk+1和方差Pk+1。

        在卡爾曼框架內(nèi)應(yīng)用UT技術(shù)就得到了UKF算法。

        3 粒子濾波算法

        于是,就有了一種表示真實(shí)后驗(yàn)密度p(x0:k|z1:k)的離散帶權(quán)近似表示,而那些關(guān)于數(shù)學(xué)期望的復(fù)雜計算(通常帶有復(fù)雜的積分運(yùn)算)就可以簡化為和運(yùn)算,如

        基本PF算法的一個主要問題是粒子退化,即經(jīng)過幾次迭代之后,差不多所有的粒子都具有負(fù)的權(quán)值。重抽樣是解決退化問題的一個有效辦法,依靠重采樣,要求提議分布的設(shè)計盡可能逼近后驗(yàn)概率密度函數(shù),選擇和設(shè)計合適的次優(yōu)提議分布一直是粒子濾波的研究重點(diǎn)之一。下面介紹一種基于不敏卡爾曼濾波提議分布的粒子濾波算法。

        4 無味粒子濾波

        在粒子濾波中,重要性密度函數(shù)的選擇是關(guān)鍵技術(shù)之一,選擇好的重要性密度函數(shù)可以大大降低粒子數(shù)目,上一節(jié)所研究的基本粒子濾波算法的基礎(chǔ)上采用UKF濾波生成重要性密度函數(shù),得到基于UKF的粒子濾波算法(UPF)[8~10],其運(yùn)算步驟如下

        step2:For t=1,2,…

        遞歸地計算每個粒子的重要性權(quán)值[7],將各個粒子的權(quán)值歸一化

        對于高維變量的估計,粒子濾波需要大量的粒子,所需的計算量巨大。本節(jié)中將UKF算法和PF算法相融合,形成了UPF算法。該算法思想采用UKF算法生成粒子濾波的提議分布,目的是能夠融入當(dāng)前觀測的信息,以改善濾波效果。

        5 實(shí)驗(yàn)比較與分析

        本文對EKF、UKF、PF、UPF三種方法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),仿真環(huán)境如下:采用如下的非線性非高斯系統(tǒng)模型:

        這里v(k)服從Gamma(3,2)分布,觀測噪聲R(k)服從高斯分布 N(0,10-5),目標(biāo)的初始狀態(tài)x(0)=20,經(jīng)過100次蒙特卡羅仿真,每次仿真時間是60s,采樣間隔為1s。

        在上述條件下,對各種濾波算法分別進(jìn)行50次Monte Carlo仿真。為了清晰顯示各種濾波器的估計結(jié)果,圖1、圖2顯示了在不同初始誤差情況下,各種濾波算法對目標(biāo)目標(biāo)位置估計的誤差。

        圖1 各算法的位置估計誤差(v(k)分別服從Gamma(3,2)

        圖2 各算法的位置估計誤差(v(k)分別服從Gamma(9,6)

        表1 濾波器運(yùn)算效率比較

        由圖1、圖2看出,各種濾波器都是漸進(jìn)無偏的。UKF和PF,收斂速度最快、估計精度最高;EKF性能遜于UKF和PF,大約60s收斂到無偏位置,UPF由于粒子數(shù)不足,估計誤差曲線抖動較大;而UKF沒有出現(xiàn)濾波發(fā)散、丟失目標(biāo)的現(xiàn)象。當(dāng)增大初始誤差時,PF的收斂速度最快,UKF在起始階段濾波精度較低,但隨著時間增加其濾波精度與PF基本相同。

        由表1可以看出,UKF運(yùn)算效率最高;PF次之,UPF的運(yùn)算時間約是UKF的5800倍。粒子濾波器已經(jīng)不能實(shí)時對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。

        6 結(jié)語

        綜合考慮各種非線性濾波器的收斂速度、運(yùn)算效率等因素,在初始誤差較小的情況下,UKF比PF具有更高的跟蹤精度,收斂更快,而在初始誤差較大的情況下,PF收斂速度更快,這可以贏得更多的預(yù)警時間。PF和UPF運(yùn)算量巨大,無法實(shí)時跟蹤目標(biāo),而且需要更多的變量存儲空間。在目標(biāo)跟蹤應(yīng)用環(huán)境下,如果比較準(zhǔn)確,過程噪聲較小的模型,UKF已經(jīng)足夠精確,而PF在粒子數(shù)有限(本文中PF選用200個粒子)的情況下不能提高估計精度,因此,隨著計算機(jī)能力的不斷提高,PF將具有廣泛的應(yīng)用空間。

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