王榮杰 詹宜巨 周海峰 楊林舉

（1.集美大學(xué)輪機(jī)工程學(xué)院 廈門 361021 2.中山大學(xué)工學(xué)院 廣州 510006 3.中山大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣州 510006）

1 引言

近年來，鑒于盲源分離（Blind Source Separation，BSS）獨(dú)特的數(shù)學(xué)模型，被作為一種重要的技術(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)字通信、機(jī)器人導(dǎo)航、生物醫(yī)學(xué)工程、語音處理和圖像處理等領(lǐng)域[1-5]。所謂的BSS，就是在源信號(hào)和混合系統(tǒng)（或傳輸通道）等未知的情況下，僅根據(jù)源信號(hào)有限的統(tǒng)計(jì)特性，從觀測(cè)信號(hào)中恢復(fù)或估計(jì)出所有的源信號(hào)。根據(jù)觀測(cè)信號(hào)和源信號(hào)的個(gè)數(shù)，盲源分離可分為非欠定盲源分離和欠定盲源分離（Underdetermined Blind Source Separation,UBSS）；相比之下，欠定盲源分離不如非欠定盲源分離技術(shù)成熟，而源信號(hào)個(gè)數(shù)多于觀測(cè)信號(hào)個(gè)數(shù)的欠定盲源分離方法是本文的研究重點(diǎn)。傳統(tǒng)的欠定盲源分離算法主要可分為兩類：一類是基于源信號(hào)的稀疏性來處理，文獻(xiàn)[6]提出利用聚類技術(shù)和最小化L1范數(shù)相結(jié)合的方法來恢復(fù)在時(shí)域上稀疏的源信號(hào)；文獻(xiàn)[7,8]通過時(shí)頻變換技術(shù)將時(shí)域非稀疏的源信號(hào)變換到稀疏表示的時(shí)頻域，認(rèn)為在時(shí)頻域某些點(diǎn)上只有幾個(gè)源信號(hào)存在，這類方法需先估計(jì)混合矩陣，然后再通過優(yōu)化算法恢復(fù)源信號(hào)等兩個(gè)步驟完成；另一類是利用廣義分布模型作為源信號(hào)的概率密度函數(shù)的貝葉斯估計(jì)法[9,10]，這類方法的主要缺點(diǎn)是計(jì)算量大，一定程度上會(huì)降低源信號(hào)的恢復(fù)質(zhì)量。盲源抽?。˙lind Source Extraction,BSE）是BSS技術(shù)的一種擴(kuò)展；但與BSS不同，它的目的是從觀測(cè)信號(hào)中恢復(fù)一個(gè)或部分源信號(hào)，具有計(jì)算靈活簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)?，F(xiàn)有解決BSE問題的算法主要兩類：一類是通過優(yōu)化基于高階統(tǒng)計(jì)量（High-order Statistics,HOS）的代價(jià)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)[11]，該類算法要求源信號(hào)為非高斯；另一類是基于二階統(tǒng)計(jì)特性的算法，可克服基于HOS算法中源信號(hào)非高斯性的限制，但它們都需要兩步來實(shí)現(xiàn)[12]，首先通過預(yù)白化觀測(cè)信號(hào)得到混合矩陣的正交矩陣，然后再通過聯(lián)合對(duì)角化合適的協(xié)方差矩陣得到白化階段的正交矩陣。這些盲抽取算法只適合于非欠定的情況，本文提出一種基于時(shí)域的欠定盲源分離方法，該方法首先采用一種基于差分峰度的算法抽取欠定情況下的非平穩(wěn)源信號(hào)，然后在非欠定情況下利用源信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)特征分離剩余的源信號(hào)。

2 問題的描述

假設(shè)n個(gè)彼此相互獨(dú)立的未知源信號(hào)，通過一未知瞬時(shí)線性混合系統(tǒng)后，得到m維觀測(cè)信號(hào)矢量。觀測(cè)信號(hào)x(t) 與源信號(hào)s(t) 的數(shù)學(xué)模型可描述為

在m≥n非欠定的情況下，給定A，源信號(hào)s(t)可由式（2）估計(jì)得到

式中，A*為A的廣義逆矩陣，

當(dāng)m＜n時(shí)，即為欠定情況，既便A已知，對(duì)于源信號(hào)s(t) 的恢復(fù)也不是唯一，只能通過估計(jì)方法估計(jì)出s(t) 的最優(yōu)估計(jì)值。

盲抽取的主導(dǎo)思想是僅根據(jù)源信號(hào)的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立假設(shè)條件，從觀測(cè)信號(hào)矢量x(t) 中逐個(gè)地分離出源信號(hào)，通過多次分離過程最終獲得所有源信號(hào)的估計(jì)。文獻(xiàn)[13]中m≥n情況下的盲源抽取過程可由式（3）～式（5）來描述。

式（3）～式（5）中，y(t) 為一個(gè)源信號(hào)s(t)的估計(jì)，T為白化矩陣，抽取權(quán)矢量w為一個(gè)m維的列矢量，y(t) 的峰度y(t)]，具體的計(jì)算為E[·]為求均值運(yùn)算。記，當(dāng)行矢量g中只有一個(gè)元素為1，其余為0時(shí)，則y(t) 為在s(t) 中與g中元素為1位置相對(duì)應(yīng)源信號(hào)的恢復(fù)或估計(jì)，但這種算法不適于m＜n的欠定情況。

3 基于時(shí)域的欠定盲源分離方法

本文提出的基于時(shí)域的欠定盲源分離方法，首先在引入文獻(xiàn)[14]中差分峰度概念的基礎(chǔ)上采用一種新的算法逐次分離欠定情況下的非平穩(wěn)信號(hào)[15]，然后再利用源信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)量恢復(fù)其余的源信號(hào)。

3.1 欠定的非平穩(wěn)信號(hào)盲抽取算法

假設(shè)t1時(shí)刻的峰度為Ky(t1)，t2時(shí)刻的峰度為Ky(t2)，定義抽取后的估計(jì)信號(hào)的差分峰度則為

由式（6）可得到Ky(t) 和DKy(t1,t2) 的展開式分別為

式中，Ksi(t) 為源信號(hào)si在t時(shí)刻的峰度。

當(dāng)si(t) 為平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，式（9）中的Ksi(t1)-Ksi(t2)=0；而當(dāng)源信號(hào)si(t) 為非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，式中的Ksi(t1)-Ksi(t2)≠0。因此，式中的DKy(t1,t2) 是由非平穩(wěn)si(t) 的元素組成的。如果令Q為非平穩(wěn)源信號(hào)si(t) 的序號(hào)i集合，式（9）可改寫成式（10）。

由于式（5）中的峰度K y(t) 是在白化觀測(cè)信號(hào)x(t) 的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算，同樣計(jì)算式（6）或式（10）的DKy(t1,t2) 也需要預(yù)白化觀測(cè)信號(hào)x(t)，它的白化矩陣T要滿足式（11）的要求。

式中，I為單位矩陣。

為了滿足式（11）的要求，T由式（12）進(jìn)行特征值分解（Eigenvalue Decomposition,EVD）獲得[15,16]。

由上述分析可知，在m＜n的欠定情況下可通過優(yōu)化式（13）獲得最優(yōu)的抽取權(quán)矢量w。

3.2 利用二階統(tǒng)計(jì)量的盲源抽取算法

式（3）、式（5）描述為需要白化觀測(cè)信號(hào)的非欠定盲源抽取過程。為了克服傳統(tǒng)的基于HOS方法非高斯性的限制，且減少計(jì)算量，本節(jié)考慮了不需要預(yù)白化處理的抽取算法，該算法還可以實(shí)現(xiàn)在線盲抽取。注意本文僅分析離線的盲抽取算法。由此，可將式（4）改成式（14）。

如果式（14）中y(t) 的前p個(gè)時(shí)序信號(hào)的線性預(yù)測(cè)估計(jì)為y?(t)，那么它可描述成

式中，bi為線性預(yù)測(cè)系數(shù)；i為時(shí)延。

對(duì)于平穩(wěn)的信號(hào)，y(t) 與它的最優(yōu)估計(jì)y?(t)的關(guān)系可由式（16）或式（17）描述[17]。

式中

基于上述分析，本文將式（17）作為用于估計(jì)式（14）中抽取權(quán)矢量w的代價(jià)函數(shù)；將式中的時(shí)延i用時(shí)間間隔τ代替，而p用最大時(shí)間間隔Γ代替，為了不增加計(jì)算復(fù)雜度，bi取為1/Γ，由此可得到歸一化后新的代價(jià)函數(shù)為式（18）。

由此可得，式（14）中的抽取權(quán)矢量w可通過最小化式（18）中的代價(jià)函數(shù)獲得，其過程為

下面將對(duì)式（18）的代價(jià)函數(shù)的可行性進(jìn)行分析。為了便于分析，式（18）中的時(shí)間間隔只取τ，則式（19）中的抽取權(quán)矢量w可通過求解式（20）的廣義特征矢量獲得[18]。

由式（21）～式（22）可知，w也是Rxx(τ) 和Rxx(0) 的廣義特征矢量。不失一般性，由于Rxx(0)對(duì)角上的元素可變換為1，其代價(jià)函數(shù)可改寫為

由式（24）可知，由于約束項(xiàng)的存在，使得g0可能的優(yōu)化解肯定不是零矢量。當(dāng)g0=g0,opt時(shí)，式（23）中的代價(jià)函數(shù)J2(w) 才達(dá)到最小，源信號(hào)才能被抽?。ǚ蛛x）出來。而g=wTA，所以只有w=wopt時(shí)，g0才能達(dá)到最優(yōu)的g0,opt。

為了滿足Rxx(τ)=RTxx(τ) 這一條件，式（18）中的Rxx(τ) 由式（25）估算得到。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，根據(jù)它具有的全局非平穩(wěn)局部平穩(wěn)特性，將式（25）改寫為式（26）。

式（26）中，將N個(gè)x(t) 分解成K塊不重疊的時(shí)序，每塊時(shí)序的長度T=N/K。那么非平穩(wěn)信號(hào)相應(yīng)的代價(jià)函數(shù)和抽取權(quán)矢量分別由式（27）、式（28）來描述。

式（18）和式（25）可分別視為式（26）、式（27）的特殊形式；當(dāng)K=1時(shí)，式（26）、式（27）將退化為式（25）和式（18）。

3.3 退化過程

退化過程包括退化處理和降維。退化處理的目的是從混疊的觀測(cè)信號(hào)中減去已抽取的信號(hào)，這個(gè)過程可由式（29）描述。

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為了便于分析，圖1中的偽代碼描述了本文提出的基于時(shí)域的欠定盲源分離方法實(shí)現(xiàn)步驟。

圖1 基于時(shí)域的欠定盲源分離方法的實(shí)現(xiàn)步驟Fig.1 Realization step of method of underdetermined blind source separation in time-domain

為了驗(yàn)證3.2節(jié)中利用二階統(tǒng)計(jì)量的盲源抽取算法的有效性，將該算法與文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[20]的BSE算法進(jìn)行仿真比較分析，三種不同BSE的復(fù)雜度運(yùn)算量見表1。在這個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)中，源信號(hào)如圖2a所示，s1和s2為非平穩(wěn)的超高斯分布語音信號(hào)，它們?nèi)∽晕墨I(xiàn)[21]；s3為平穩(wěn)的亞高斯分布正弦信號(hào)，s4為在randn[-1 1]之間隨機(jī)產(chǎn)生的高斯白噪聲信號(hào)。式（1）中的混疊矩陣A在[-1 1]之間隨機(jī)產(chǎn)生，它的值見式（30），圖2b所示為源信號(hào)經(jīng)A混合后的觀測(cè)信號(hào)。為了定量分析分離效果，本文采用式（31）、式（32）來評(píng)價(jià)盲源抽取算法的估計(jì)性能。圖2c～2e分別為三種不同BSE算法的分離信號(hào)，它們的估計(jì)性能比較結(jié)果見表2。

說明1：L為收斂迭代次數(shù)；由于Γ?T，所以KΓ?N。

圖2 不同BSE算法的分離信號(hào)Fig.2 Separated Signals of Different BSE Algorithms

表1 不同BSE算法計(jì)算復(fù)雜度的比較Tab.1 Comparison of computational loads of different BSE algorithms

（續(xù)）

表2 不同BSE算法分離結(jié)果的比較Tab.2 Comparison of results of different BSE algorithms

說明2：仿真實(shí)驗(yàn)中，式（26）、式（27）中的L=5，K=5，文獻(xiàn)[20]的算法中G(u) 函數(shù)選log(cosh(u))；表中的結(jié)果為10次獨(dú)立仿真結(jié)果的平均值。計(jì)算用的是處理器主頻為3.4GHz雙核的DELL臺(tái)式電腦。

通過圖2和表1、表2中對(duì)三種不同的BSE算法進(jìn)行比較的結(jié)果可知，雖然文獻(xiàn)[11]的算法比本文算法對(duì)高斯白噪聲信號(hào)的恢復(fù)質(zhì)量高，但比較其余源信號(hào)的恢復(fù)質(zhì)量，本文的算法不僅可以克服非高斯性的限制，具有更強(qiáng)的抑制高斯白噪聲的能力，而且具有更好的分離效果。

為了全面評(píng)價(jià)本文提出的基于時(shí)域的欠定盲源分離方法的有效性，還將該方法與文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[9]的UBSS方法進(jìn)行比較加以驗(yàn)證。仿真實(shí)驗(yàn)中的源信號(hào)如圖3a所示，s1和s2為服從亞高斯分布的256×256圖像信號(hào)，圖中的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)代表圖像的像素，逐行掃描后為一維信號(hào)；s3和s4為服從超高斯分布的語音信號(hào)。式（33）中的A同樣在[-1 1]之間隨機(jī)產(chǎn)生，圖3b為混合后的觀測(cè)信號(hào)，圖3c～3e分別為三種不同的UBSS方法的分離信號(hào)，圖像信號(hào)和語音信號(hào)的恢復(fù)性能分別由式（34）和式（31）來評(píng)價(jià)，利用它們對(duì)不同UBSS方法估計(jì)性能比較見表3。

式中，M和P分別代表二維圖像信號(hào)的行和列像素?cái)?shù)。

圖3 不同UBSS方法的分離信號(hào)Fig.3 Separated signals of different UBSS methods

表3 不同UBSS算法分離結(jié)果的比較Tab.3 Comparison of results of different UBSS methods

由圖2和表4的比較結(jié)果，本文提出的欠定盲源分離方法不僅能較好地分離出超高斯和亞高斯兩種不同分布的源信號(hào)，同時(shí)它在源信號(hào)恢復(fù)的性能上也體現(xiàn)了它比其他方法更具有優(yōu)越性。

5 結(jié)論

提出一種基于時(shí)域的欠定盲源分離方法，它不像傳統(tǒng)的方法需要先在時(shí)頻域上估算混合矩陣，再由優(yōu)化算法恢復(fù)源信號(hào)，該方法首先采用一種基于差分峰度的盲抽取算法逐次分離欠定情況下的非平穩(wěn)信號(hào)，然后再利用二階統(tǒng)計(jì)量分離其余的源信號(hào)。仿真結(jié)果表明了該方法不僅能較好地分離出服從不同分布的源信號(hào)，同時(shí)它比其他傳統(tǒng)方法具有更好的估計(jì)性能。

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