謝滿 張進虎 吳媛媛

(東莞理工學(xué)院 計算機學(xué)院，廣東東莞 523808)

基于偏微分方程的均衡網(wǎng)狀擴散圖像增強模型

謝滿 張進虎 吳媛媛

(東莞理工學(xué)院 計算機學(xué)院，廣東東莞 523808)

運用偏微分方程方法，對圖像進行降噪與邊緣增強。其中，重點研究網(wǎng)狀擴散模型，并對其存在的問題進行分析。實驗表明，擴散模型的效果在效率和處理的質(zhì)量方面更勝于基本的偏微分圖像處理技術(shù)。

圖像去噪;邊緣增強;均衡網(wǎng)狀擴散;偏微分方程方法

圖像去噪是指減少現(xiàn)實中的數(shù)字圖像在數(shù)字化和傳輸過程中常受到成像設(shè)備與外部環(huán)境噪聲干擾等影響的過程。這個技術(shù)對于相關(guān)應(yīng)用來說也是非常重要的，可以說圖像去噪方法在圖像處理、計算機圖形學(xué)、現(xiàn)實應(yīng)用中占據(jù)了一個特殊的地位［1－2］。到現(xiàn)在為止，基于偏微分的圖像去噪技術(shù)，如Perona－Malik模型［3］與全變分 (TV)模型［4］及其改進［5－7］，都會使圖像失去良好的結(jié)構(gòu)或看起來不自然。另外，在圖像去噪技術(shù)中存在一個不足之處：由于非期望的耗散或收斂趨勢的影響，其穩(wěn)態(tài)解中往往有明顯的“分片常數(shù)”效應(yīng)，或稱“階梯”效應(yīng)。

為了顯著減少和有效地抑制噪聲，本文將介紹擴散調(diào)整的方法。其中，特別地探討一個新的數(shù)學(xué)模型，即均衡網(wǎng)狀擴散 (END)，目的是改進圖像處理的數(shù)學(xué)模型，使之能夠修復(fù)圖像的良好結(jié)構(gòu)。本文中像素點的灰度值設(shè)為0和1之間的實數(shù)離散函數(shù) (即實際灰度值/255)。這樣處理后，像素點就會減少為8位顯示格式。

設(shè)u0為觀察到的被噪聲污染的圖像，且滿足

其中，u是期望圖像，v是具有零均值的隨機噪聲。通用的去噪方法是使得梯度能量函數(shù)最小化，即是在約束條件下求泛函極值：

其中，Ω是圖像的支撐集，ρ是遞增的函數(shù)，λ≥0為約束參數(shù)。式 (2)的Euler－Lagrange方程為

應(yīng)用最速下降法，當(dāng)ρ(r)=r時，其將簡化為基本的TV圖像復(fù)原模型：

其中，σ2是噪聲方差。

TV圖像復(fù)原的基本模型中存在的“分片常數(shù)”效應(yīng)或“階梯”效應(yīng)，這將造成圖像失去了良好結(jié)構(gòu)，例如，TV模型常常收斂到一個分片常數(shù)的圖像。為了緩減“分片常數(shù)”效應(yīng)，Marquina和Osher提出了改進：在式 (4)的右邊乘以梯度模值|▽u|

為進一步改進模型，可令 ρ(x)=x2－q，0≤q≤2，在(3)式中乘以|▽uq|，

其中，β=λ|▽u|q/(2－q)。當(dāng)q=2時，式(7)可化為Perona-Malik模型［9］，為凹－凸各向異性擴散。對于q∈［0，2)，模型(7)能夠求穩(wěn)定的數(shù)值解。數(shù)值實驗證明當(dāng)1＜q＜2時，其更優(yōu)于ITV模型。

2 擴散調(diào)整方法

在這一部分，將提出對擴散調(diào)整方法包括一個含有3個主要元素的有效的去噪模型：擴散算子、調(diào)制器、約束條件。先分析產(chǎn)生于基于偏微分的去噪模型所的非期望耗散。為簡單起見，先研究TV模型(4)，其相應(yīng)的噪聲 (殘差)為v=u0－u，因此，方程 (4)相關(guān)的殘差方程為

盡管所給出的原始圖像u0和期望得到的圖像u在初始條件下分段光滑的，但是圖像在t＞0的像素殘差是正或負則取決于各自圖像的凹凸類型。因此，解決t＞0時的TV模型時，必須使其曲率在任意一點上是非零的;曲率 (模數(shù))越大，非期望耗散源的也就更容易發(fā)生。通過觀察，上述TV模型可以應(yīng)用到基于偏微分的圖像處理的去噪模型上

其中，S是擴散算子，Q是非負的約束條件。(如果S和Q選擇恰當(dāng)，則模型 (9)能夠推導(dǎo)出大多數(shù)的去噪模型，包括引言中所提及的所有模型。)根據(jù)實際觀察可知，當(dāng)擴散級|Su|越大時，方程 (9)的解在像素點上體現(xiàn)了更多非期望耗散。所以，這是該方程不夠好的地方，是會導(dǎo)致良好的結(jié)構(gòu)被破壞，處理效果反而被惡化。

為了克服上述缺點，將方程 (9)加以改進，設(shè)其擴散算子為變量，即能自我調(diào)制，可得

其中，M是一個正函數(shù)，R則是一個適當(dāng)?shù)募s束條件，稱M(Su)Su為模型 (10)的網(wǎng)狀擴散。函數(shù)M的功能是減少圖像像素在穩(wěn)定擴散中的優(yōu)先級|Su|。一個有效的調(diào)制器可以定義為存在某些S0，當(dāng)滿足|Su|≥S0≥0(比較大的控制范圍)，其穩(wěn)定擴散能夠近似相等。值得注意的是穩(wěn)定擴散函數(shù)N(s)=M(s)s必須是增函數(shù)且關(guān)于零點對稱，模型 (10)的收斂方向為擴散減少的方向;由于函數(shù)N(s)關(guān)于原點擴散，故有N(－s)=－N(s)，即凈擴散函數(shù)N能夠在兩個凹面上能夠有同樣的擴散，這樣一個平衡網(wǎng)狀擴散模型能夠如下定義為

對于某些正整數(shù)η和γ，如圖1示。

當(dāng)s比較小時，|N(s)|變化得比較快，到達一定程度后又趨于穩(wěn)定，因此，實際上可以考慮把函數(shù)N看作是均衡網(wǎng)狀擴散方程。與方程 (9)合并，則能夠?qū)⒛Ｐ?(10)變化為稱方程 (12)為方程 (9)的平衡網(wǎng)狀擴散模型。

圖1 給定網(wǎng)狀擴散函數(shù)中η和γ的值

現(xiàn)在來研究怎么選取合適的η和γ，設(shè)un－1是迭代n－1次的圖像，則由迭代n次un可算出常數(shù)η和γ的關(guān)系式：

前者決定了網(wǎng)狀擴散方程在原點附近的清晰度，當(dāng)χ漸進于1時，圖像銳化現(xiàn)象會變得更加嚴重;而后者意味著

求解式 (13)，可得

結(jié)合式 (14)可得

擴散級|Su|直接從震蕩區(qū)域得到，通常比L2－均值S0大，因此方程 (17)中的閾值T能夠使均衡網(wǎng)狀擴散在某些區(qū)域達到好的效果。例如，當(dāng)Su=－|▽u|q▽·(▽u/|▽u|q)，0≤q≤2時，對于普通的圖像 (灰度值已經(jīng)映射到 ［0～1］之間)，均值S0的值在0.01～0.3之間。設(shè)S0=0.1，χ=0.9，則從方程 (13)、(14)和 (15)中解出η=90和γ=10，另外有0.1≤N(s)≤0.111(當(dāng)|S|≥S0=0.1)。

綜上所述，η和γ的選擇可以歸納為：

a)選擇常數(shù)χ使得0＜χ＜1。

b)計算|S0|的L2－均值，S0：

c)計算參數(shù)η和γ

如此，模型 (10)只要求選擇一個決定了擴散方程N清晰度的參量χ(其中χ∈0.85～0.95)。注意到當(dāng)χ=0，有M(s)=1，此時模型 (10)變成了傳統(tǒng)的模型 (9)。

3 數(shù)值實驗

選擇模型 (7)作為基本的模型，并考慮合并后的END模型 (10)。設(shè)χ=0.9，在方程 (7)和(10)中約束變量β和R是根據(jù)文獻［7］提出的。為了研究一個有效的模擬模型，我們采用了Crank－Nicolson－交替方向隱式 (CN－ADI)迭代過程［11－12］，當(dāng)‖un－un－1‖∞＜0.01時，CN －ADI迭代停止(默認為高斯噪聲)。圖2a為含噪聲的原圖，圖2b、圖2c、圖2d分別為模型CCAD、CCAD［0］、CCAD［1］的增強效果。不難看出，雖然它們比原圖都有所增強，但效果并不理想。圖2e為本文END模型的增強結(jié)果，其降噪與邊緣保護效果是最好的。

圖2 含噪聲的原圖與4種不同模型處理后的效果圖

4 結(jié)語

在圖像去噪技術(shù)中，傳統(tǒng)的基于偏微分的圖像修復(fù)技術(shù)肯可能會失去良好的結(jié)構(gòu)，為了減少噪聲，我們研究了擴散調(diào)整模型，特別是均衡網(wǎng)狀擴散模型。雖然改進后的END模型是高度非線性的，然而它可以運用CN－ADI模型實現(xiàn)穩(wěn)定、高效的計算算法。數(shù)值實驗表明，改進后的模型在質(zhì)量和效率方面更勝于傳統(tǒng)的基于偏微分的圖像修復(fù)技術(shù)。

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［2］楊新．圖像偏微分方程的原理與應(yīng)用［M］．上海：上海交通大學(xué)出版社，2003：6－19．

［3］李世進．?dāng)?shù)字圖像的平滑處理［J］．湖南科技學(xué)院學(xué)報，2008，29(12)：1－3．

［4］王大凱，侯余青，彭進業(yè)．?dāng)?shù)字圖像的偏微分方程方法［M］．北京：科學(xué)出版社，2008：195－215．

［5］章鋶晉．圖像處理和分析［M］．北京：清華大學(xué)出版社，1999．

［6］陳文斌．圖像處理與分析［M］．北京：科學(xué)出版社，2007：87－108．

［7］陳剛．基于偏微分方程的圖像處理［M］．北京：高等教育出版社，2003：56－198．

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［9］Perona P，Malik J．Scale －space and edge detection using anisotropic diffusion［J］．IEEE Trans on Pattern Anal Mach Intell，1990，12：629 －639．

Image Enhancement Model of Equalized Net Diffusion Based on Partial Differential Equations

XIE Man ZHANG Jin-hu WU Yuan-yuan
(Computer College，Dongguan University of Technology，Dongguan 523808，China)

This article introduces the image denoising and edge enhancement by using the method of Partial Differential Equation(PDE)，mainly researching mesh diffusion model．Experiments show that effects of diffusion model are better than basic partial differential image processing technologies．

image denoising;edge enhancement;equalized mesh diffusion;PDE’s method

O175

A

1009－0312(2012)05－0009－04

2012－05－25

謝滿 (1990—)，男，廣東潮汕人，主要從事偏微分方程研究。