潘子宇，酆廣增，孔媛媛

(1.南京工程學(xué)院 通信工程學(xué)院,江蘇 南京 211167 2.南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院,江蘇 南京 210003）

多用戶檢測(cè)（MUD）應(yīng)用于CDMA下行系統(tǒng)以消除多址干擾MAI[1]。盲多用戶檢測(cè)是通信領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，它無需發(fā)送訓(xùn)練序列，只需目標(biāo)用戶的特定波形和定時(shí)信息。盲多用戶檢測(cè)按代價(jià)函數(shù)的不同有很多種形式，如基于Kalman濾波的算法、基于子空間的算法等。常模（CM）算法也是其中一種，它利用發(fā)送信號(hào)模值恒定的性質(zhì)，通過檢測(cè)器的輸出直接計(jì)算期望響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)盲檢測(cè)。

傳統(tǒng) CM算法基于最陡下降法（SDCMA）[2]，算法簡(jiǎn)單但收斂過程漫長(zhǎng)。最小二乘常模算法 （LSCMA）是Agee于 1986年提出的[3]，使用最小二乘法設(shè)計(jì)常模算法，收斂性能得到提高。但該算法需要進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算，當(dāng)矩陣是奇異或病態(tài)時(shí)，算法會(huì)走向發(fā)散[4]。

針對(duì)以上兩種基本算法，有很多改進(jìn)算法。如線性約束常模算法（LC-CMA）[5]，參考文獻(xiàn)[6]證明了 LCCMA的收斂特性和速度，由于迭代是最陡下降的，相鄰兩次的搜索方向相互正交，呈“之”字型下降，越靠近收斂點(diǎn)越慢，復(fù)雜度為O(N2)（N為擴(kuò)頻碼長(zhǎng)度）。還有線性約束最小二乘常模算法[7]（LC-LSCMA）、子空間最小二乘常模算法等，這些算法與LSCMA相比性能大幅提高，但復(fù)雜度更大，均在O(N3)數(shù)量級(jí)，而且所有基于 LSCMA的算法都需要進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算，而這是最優(yōu)化方法[4]力求避免的問題。

[6]論證了AWGN下LC-CMA代價(jià)函數(shù)的解析性能，即當(dāng)目標(biāo)用戶的幅度≥1/時(shí)，LC-CMA的代價(jià)函數(shù)具有非負(fù)定性，有唯一的全局最小點(diǎn)。而對(duì)于正定二次型，用擬牛頓法和精確一維搜索，有限次(≤n)迭代即可收斂到代價(jià)函數(shù)的最小點(diǎn)(n變量x的維度)[4]。

綜合以上幾點(diǎn)，本文提出了基于擬牛頓法的LCCMA算法，稱之為L(zhǎng)C-QNCMA。

1 信號(hào)模型

同步基帶DS-CDMA系統(tǒng),用戶數(shù)為K,接收信號(hào)為:

式（1）中sk(t)的表達(dá)式如下：

式(2)中，碼片（chip）周期Tc、比特周期T以及擴(kuò)頻增益N三者滿足NTc＝T；(,…,)為第k個(gè)用戶的擴(kuò)頻碼，取值±1；p是碼片波形。

接收信號(hào)r(t)通過chip匹配濾波器后，以chip速率采樣得到的接收信號(hào)為：

其中sk=(1/)[…,]T是第k個(gè)用戶歸一化擴(kuò)頻向量，A＝diag(A1,…,AK)是幅度矩陣；r＝[r0,…,rN-1]T；n＝[n0,…,nN-1]T是噪聲向量，且E{n}=0，E{nnT}=σ2IN。 假設(shè){s}線性無關(guān)，即擴(kuò)頻碼矩陣 S＝[s,…,s]列滿秩。

k1K因此，接收機(jī)的輸出為:

2 LC-QNCMA算法

LC-CMA是使下面的非線性代價(jià)函數(shù)最小化[4]。

式(5)中w為濾波器抽頭系數(shù)。wTs1=1是約束條件。根據(jù)參考文獻(xiàn)[4-5]，該條件等價(jià)于:

其中，s1為期望用戶的方向向量，x是濾波器的新的更新權(quán)向量，其維數(shù)與 w 相等，B 滿足 B＝BT＝IN－，（IN為單位陣）。代入式（5）可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)：

其對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)為：

擬牛頓算法是一類最優(yōu)化算法，DFP算法是具有代表性的一種[4]，有較好的收斂性能，故本文采用DFP擬牛頓算法。

根據(jù)算法公式[4]，濾波器新的權(quán)向量x的更新公式如下：

其中：

因此，LC-QNCMA的算法步驟如下：

(1) 初始化 w0、x0、μ，B，令m＝0；

(2) 計(jì)算ym=，em=4ym(|y|2-1)，gm=emBr；

(3)pm=-Hmgm

(4) 令 xm+1＝xm+μ·pm，m=m+1 轉(zhuǎn)步驟(2)。

分析算法步驟可知，新算法僅涉及向量?jī)?nèi)積和數(shù)值運(yùn)算，復(fù)雜度為O(N2)。相比之下，新算法的復(fù)雜度降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

擬牛頓算法利用二次函數(shù)模型對(duì)目標(biāo)函數(shù)做近似，實(shí)現(xiàn)了算法的快速收斂。在計(jì)算過程中(步驟3)對(duì)Hesse矩陣采用了簡(jiǎn)化處理，使得每一步迭代所需的時(shí)間有所降低。然而擬牛頓法在迭代時(shí)對(duì)步長(zhǎng)仍有很強(qiáng)的依賴性，這導(dǎo)致算法的效率達(dá)不到理想狀況，在第3節(jié)的仿真分析中將詳細(xì)分析。

3 算法仿真及性能分析

3.1 步長(zhǎng)對(duì)算法收斂性能的影響

考慮同步DS-CDMA系統(tǒng)，AWGN信道，2PSK信號(hào)，31 bit Gold擴(kuò)頻碼，用戶數(shù)K＝5，目標(biāo)用戶為用戶 1，其幅度A1＝1，多址干擾MAI(k)=10lg=10 dB，k=2～5，輸入信噪比 SNR＝10lg/σ2，分別取 10 dB及 20 dB，步長(zhǎng)μ 分別取 0.000 5、0.001 和 0.005，初始值均為 w0＝s1。 算法的收斂標(biāo)準(zhǔn)：若相鄰兩次迭代的MSE值的差小于0.000 01時(shí)，認(rèn)為算法收斂。不同步長(zhǎng) μ下的MSE曲線如圖1所示，迭代次數(shù)如表1所示。

從圖1和表1可知：算法的收斂速度會(huì)隨著步長(zhǎng)增大而加快，穩(wěn)定性也隨之下降，當(dāng)μ的值超過某個(gè)值后，算法發(fā)散性能急劇惡化。這與LC-CMA相似，即算法對(duì)步長(zhǎng)有較強(qiáng)的依賴性。

表1暴露的另一個(gè)問題是,無論迭代步長(zhǎng)如何選取，算法總不能理論范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)收斂。上文提到，對(duì)于正定二次函數(shù)，采用擬牛頓法和精確一維搜索，有限次（≤n）迭代后即可收斂到代價(jià)函數(shù)的極小值點(diǎn)。本次仿真實(shí)驗(yàn)中，濾波器的權(quán)矢量w以及新向量x的維數(shù)為系統(tǒng)的擴(kuò)頻增益31。理論上算法收斂所需的迭代次數(shù)應(yīng)在31以內(nèi)。其原因是,對(duì)于正定二次函數(shù)，用擬牛頓法和精確一維搜索可實(shí)現(xiàn)二次終止。所謂精確一維搜索，即算法每步的步長(zhǎng)須根據(jù)當(dāng)前的搜索方向精確計(jì)算，而本文中采用定步長(zhǎng)，不能保證每次的步長(zhǎng)均適合下降方向，這是算法不能在理論范圍內(nèi)收斂的根本原因。

表1 不同仿真環(huán)境下的收斂速度

3.2 LC-QNCMA的性能仿真

沿用3.1節(jié)的系統(tǒng)，LC-CMA和LC-QNCMA的步長(zhǎng)采用3.1節(jié)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)0.001，LSCMA需進(jìn)行矩陣求逆，不需要考慮步長(zhǎng)。采用信干比（SIR）作為算法性能的依據(jù)為：

考慮信號(hào)、信道等諸多因素的隨機(jī)性，本次實(shí)驗(yàn)采用100次運(yùn)行的平均。

圖2是 SNR分別取10 dB、20 dB時(shí)的 SIR圖?？梢钥闯觯?1)性能方面，低信噪比時(shí)(10 dB)，LC-QNCMA與LSCMA有差距，隨著信噪比提高(20 dB)，兩者性能相差不大，但都遠(yuǎn)優(yōu)于LC-CMA；(2)收斂速度方面LC-QNCMA略低于LSCMA，遠(yuǎn)高于LC-CMA。

考慮到不同的算法每次迭代的時(shí)間不同，迭代步數(shù)不能完全說明收斂速度。因此，對(duì)算法收斂的CPU時(shí)間做比較(CPU時(shí)間由Matlab函數(shù)cputime獲得),如表2所示。

表2 SNR＝10 dB和20 dB時(shí)的收斂時(shí)間比較

結(jié)合圖2、表2可以看出，雖然LSCMA收斂所需的迭代次數(shù)較少，但每次迭代涉及矩陣求逆，需要大量計(jì)算，因而算法每次迭代和整體收斂所花費(fèi)的CPU時(shí)間均較長(zhǎng)；LC-CMA算法簡(jiǎn)單，每次迭代的時(shí)間短，但迭代次數(shù)多，整體時(shí)間也比LC-QNCMA略長(zhǎng)。

圖3是三種算法對(duì)用戶數(shù)變化的跟蹤性能的比較圖。期望用戶的信噪比為10 dB。迭代次數(shù)在1～199期間內(nèi)，有4個(gè)干擾用戶，SNR為20 dB和30 dB的用戶各2個(gè)（分別是用戶 2、3和用戶 4、5）。 在 k=200時(shí)，有 SNR為25dB和35 dB的用戶6、7同時(shí)加入系統(tǒng)。而當(dāng)k=350時(shí)，有一個(gè)SNR為30 dB的用戶和兩個(gè)SNR為20 dB的用戶同時(shí)離開系統(tǒng)?？梢?，LC-QNCMA對(duì)用戶數(shù)動(dòng)態(tài)變化環(huán)境的跟蹤能力與LSCMA相差無幾，明顯高于LCCMA算法。

圖4是三種算法在用戶數(shù)K=5及多址干擾MAI為10 dB時(shí)的誤碼性能比較圖(采用10 000個(gè)符號(hào)的平均),以單用戶曲線為參照。從圖中可見,本文提出的LCQNCMA的BER性能僅略低于LSCMA,但明顯優(yōu)于LCCMA。

考慮移動(dòng)通信系統(tǒng)接收端的實(shí)際應(yīng)用，將線性約束常模算法與擬牛頓法相結(jié)合，提出了基于擬牛頓法的線性約束模算法，稱之為L(zhǎng)C-QNCMA。該算法在實(shí)現(xiàn)全局收斂的同時(shí)降低了算法的復(fù)雜度,提高了收斂速度。仿真結(jié)果顯示，與LSCMA相比，LC-QNCMA以犧牲較小的算法性能換取了算法復(fù)雜度的降低。而且隨著硬件條件的不斷提升，LC-QNCMA單次迭代所需時(shí)間將進(jìn)一步降低，其收斂速度將會(huì)得到進(jìn)一步提升。LC-QNCMA算法在LC-CMA算法與LSCMA算法之間取得了較好的折中效果。

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