周 帥，左東廣

(第二炮兵工程大學(xué) 1系，陜西西安 710025)

近年來(lái)由于小波理論的不斷發(fā)展，小波的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛。小波分析方法是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種多分辨分析工具，目前已成功應(yīng)用于信號(hào)處理等工程領(lǐng)域。在信號(hào)處理中，利用小波變換給信號(hào)去噪同樣受到了許多學(xué)者的重視。在對(duì)小波去噪方法的研究中，出現(xiàn)了許多不同的基于小波變換的信號(hào)去噪方法，其中小波閾值去噪方法得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用［1］。

1 小波去噪原理

小波變換是一種重要的時(shí)頻描述方法，具有較好的時(shí)頻局部化性能。由小波變換理論可知其具備以下特點(diǎn)［2］:

(1)時(shí)頻局部化。即小外波變換可定位出信號(hào)發(fā)生突變的時(shí)間和位置。

(2)多分辨率。即小波變換可以在不同尺度上刻畫(huà)信號(hào)的局部性能，如邊緣和斷點(diǎn)等。

(3)選基靈活性。即小波變換可以根據(jù)信號(hào)本身的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男〔ɑ瘮?shù)，以便更好地逼近原始信號(hào)。

(4)去相關(guān)性。信號(hào)經(jīng)小波變換后可以使大部分能量集中在少數(shù)幾個(gè)小波系數(shù)上。

與傳統(tǒng)的去噪理論相比，小波變換的時(shí)頻局部化和多分辨率性能夠在去除信號(hào)噪聲的同時(shí)，較好地保留信號(hào)的突變部分或圖像的邊緣和紋理信息。隨著小波分析理論的逐漸成熟，其應(yīng)用領(lǐng)域也越來(lái)越廣泛。小波信號(hào)去噪的本質(zhì)在于根據(jù)信號(hào)和噪聲變換后的系數(shù)在不同尺度上具有不同性質(zhì)這一原理，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對(duì)含噪信號(hào)的小波系數(shù)進(jìn)行處理，其實(shí)質(zhì)在于減少或去掉有噪聲產(chǎn)生系數(shù)的同時(shí)，最大限度地保留信號(hào)產(chǎn)生的系數(shù)，最后根據(jù)小波的性質(zhì)，把經(jīng)過(guò)處理的小波系數(shù)重構(gòu)以得到去噪后的信號(hào)。從數(shù)學(xué)角度看，信號(hào)的小波去噪是一個(gè)函數(shù)逼近問(wèn)題，即是如何在由母函數(shù)平移和伸縮展開(kāi)的函數(shù)空間中，根據(jù)一定衡量準(zhǔn)則，尋找對(duì)原始信號(hào)的最真實(shí)的逼近，從而實(shí)現(xiàn)原始信號(hào)和噪聲信號(hào)的區(qū)分，達(dá)到信號(hào)去噪的目的。從信號(hào)處理角度來(lái)看，小波去噪是一個(gè)信號(hào)低通濾波的問(wèn)題。因此，小波去噪可以看成低通濾波和特征提取的結(jié)合［2－4］。

2 小波閾值去噪的一般步驟

一個(gè)含噪的一維信號(hào)的模型可以表示成

其中，f(i)是真實(shí)信號(hào);e(i)是噪聲信號(hào);s(i)是含噪信號(hào)，i=0，1，…，n－1。

在實(shí)際工程中，有用信號(hào)通常表現(xiàn)為低頻信號(hào)或者一些比較平穩(wěn)的信號(hào)，而噪聲信號(hào)通常表現(xiàn)為高頻信號(hào)。去噪過(guò)程可以按以下方法處理:首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解，以3層為例，如圖1所示，那么噪聲通常包含在cd1，cd2和cd3中，接著對(duì)分解后的小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)信號(hào)，這樣就達(dá)到了去噪的目的。

圖1 三層小波分解結(jié)構(gòu)圖

由上可得具體的閾值去噪步驟為［5］:

(1)對(duì)帶噪聲的語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行小波變換，得到不同尺度上的子波信號(hào)，將有用信號(hào)和噪聲分開(kāi)。這過(guò)程中涉及以下幾個(gè)重要部分:

1)確定小波基及其階數(shù)。小波基的階數(shù)不同，則表現(xiàn)信號(hào)局部特點(diǎn)的能力也不同。一般情況下，階數(shù)越高越能很好地表征信號(hào)局部特點(diǎn)，但計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)變大，當(dāng)階數(shù)＞5階時(shí)，小波基階數(shù)的提高對(duì)提高表征信號(hào)能力的影響較小，因此一般選取階數(shù)約為5～8。

2)確定小波變換的次數(shù)。當(dāng)信號(hào)中白噪聲的含量較多時(shí)，小波變換尺度要大一些，即小波變換次數(shù)要多一些，但相應(yīng)地會(huì)增大計(jì)算量;相反的當(dāng)信號(hào)中含噪聲較少時(shí)，小波變換的尺度即變換次數(shù)可以少些，計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)的減少。

3)小波變換。通過(guò)選取合適的小波變換參數(shù)進(jìn)行小波變換，就可得到不同尺度上的小波信號(hào)。

(2)確定各層小波信號(hào)的去噪閾值門限。

(3)選取閾值函數(shù)。

(4)小波逆變換。進(jìn)行小波逆變換將經(jīng)過(guò)閾值處理的小波系數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，得到恢復(fù)的原始信號(hào)的估計(jì)值。

在上述的閾值去噪步驟中，合適的小波基、小波分解層數(shù)、閾值以及閾值函數(shù)直接影響去噪效果，其中閾值和閾值函數(shù)的選取至關(guān)重要。

3 小波閾值函數(shù)

3.1 傳統(tǒng)的閾值函數(shù)

Donoho提出基于小波閾值的去噪方法，該算法在最小均方差意義下可以達(dá)到近似最優(yōu)。根據(jù)其算法可以得出對(duì)小波系數(shù)處理的軟、硬閾值函數(shù)。

硬閾值函數(shù)為

將小波分解后的系數(shù)的絕對(duì)值與閾值λ進(jìn)行比較，小于閾值的點(diǎn)變?yōu)?，大于或等于閾值的點(diǎn)保持原值。在硬閾值處理過(guò)程中，由于硬閾值函數(shù)在整個(gè)小波區(qū)域內(nèi)是不連續(xù)的，在λ和－λ處存在間斷點(diǎn)，因此得到的估計(jì)小波系數(shù)值連續(xù)性差，可能引起重構(gòu)信號(hào)的振蕩。

軟閾值函數(shù)為

軟閾值方法處理后，小波系數(shù)值雖然連續(xù)性好，不存在間斷點(diǎn)問(wèn)題，易于處理，但由于當(dāng)小波系數(shù)較大時(shí)，得到的估計(jì)小波系數(shù)值與原來(lái)的小波系數(shù)值有固定的偏差，也會(huì)給重構(gòu)信號(hào)帶來(lái)不可避免的誤差［6］。此外，軟閾值對(duì)大于閾值的小波系數(shù)采取恒定值壓縮，這與噪聲分量隨著小波系數(shù)增大而逐漸減小的趨勢(shì)不相符。

在式(2)和式(3)中，wj，k表示信號(hào)分解的小波系數(shù);j，k表示閾值方法得到的小波系數(shù)估計(jì)值;λ為閾值

其中，σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，可以用以下經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行估計(jì)

3.2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

由于軟、硬閾值函數(shù)自身都存在一些缺陷，使重構(gòu)信號(hào)存在一定的偏差，并且還會(huì)出現(xiàn)振蕩，因此需要對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)的思想是要讓小波系數(shù)的偏差盡量減小，要在小波空間中連續(xù)，還要具有高階導(dǎo)數(shù)，為此，本文引入一種改進(jìn)的閾值處理函數(shù)［7－8］

式(6)中，m、n、k是改進(jìn)閾值函數(shù)的調(diào)整因子，它們?cè)鰪?qiáng)了閾值函數(shù)的靈活性。參數(shù)m、n決定了閾值函數(shù)的形式，參數(shù)k的取值在0～1之間，若k取0，則該閾值函數(shù)相當(dāng)于軟閾值函數(shù)，若k取1，則該閾值函數(shù)相當(dāng)于硬閾值函數(shù)。因此，可調(diào)節(jié)參數(shù)k能夠克服硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性和軟閾值函數(shù)在處理小波系數(shù)時(shí)存在的恒定偏差，同時(shí)也保留了軟、硬閾值原有的優(yōu)點(diǎn)。改進(jìn)的閾值函數(shù)具有無(wú)窮階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為小波自適應(yīng)閾值的選取提供了基礎(chǔ)。改進(jìn)的閾值函數(shù)圖如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的閾值函數(shù)圖

4 自適應(yīng)閾值選取算法

傳統(tǒng)的閾值函數(shù)會(huì)產(chǎn)生過(guò)扼殺現(xiàn)象，在實(shí)際應(yīng)用中效果欠佳。由于噪聲具有負(fù)奇異性，其幅度和稠密度隨尺度增加而減小，但信號(hào)則相反。隨著尺度級(jí)數(shù)的增加，由噪聲所控制的模極大值的幅度和稠密度會(huì)快速減少，而信號(hào)的模極大值的幅度和稠密度會(huì)明顯增大?？梢?jiàn)，在同一級(jí)尺度上都采用同一閾值顯然不合適，因?yàn)樵谳^低尺度上，會(huì)去除有用信息，在最大尺度上會(huì)留下部分噪聲［9－10］。

自適應(yīng)閾值是一種采用最小風(fēng)險(xiǎn)量所對(duì)應(yīng)的小波變換系數(shù)作為閾值的自適應(yīng)閾值選取算法。由巴什瓦定理可知，小波分解后系數(shù)的平方具有能量的量綱，因此，將分解后的小波系數(shù)平方后排序，給定一個(gè)閾值，求出對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)值，即得到它的似然估計(jì)，進(jìn)行非似然最小化，得到所選的閾值，這是一種軟閾值估計(jì)器。其具體算法［11］為:

(1)將每一層的小波變換后的系數(shù)經(jīng)過(guò)平方由小到大排列，得到一個(gè)向量w=［w1，w2，…，wn］，其中w1≤w2≤…≤wn，n為小波系數(shù)的個(gè)數(shù)。

(2)計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)向量R=［r1，r2，…，rn］，則

其中，ri為引入的風(fēng)險(xiǎn)向量元素，將上式多次迭代得出最小的ri，記為r0，并求出與之對(duì)應(yīng)的wi記為w0。

(3)計(jì)算閾值 λ=σ(w0)1/2，其中 σ 的求解見(jiàn)式(4)。

按照上述算法將每一級(jí)尺度都看作相互獨(dú)立，計(jì)算出一個(gè)與之最匹配的閾值進(jìn)行降噪，最后再用各個(gè)尺度上降噪處理后的小波系數(shù)來(lái)重構(gòu)信號(hào)。

5 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證改進(jìn)閾值方法的去噪效果，通過(guò)Matlab中的Wnoise函數(shù)構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為含噪信號(hào)，其噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為2，然后利用Sym8小波作為小波函數(shù)，分解層數(shù)為5層，采用改進(jìn)閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值去噪方法進(jìn)行去噪，并與傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)去噪方法進(jìn)行比較，下面給出了信號(hào)在3種閾值函數(shù)下的去噪效果圖。

圖3 不同閾值函數(shù)去噪效果圖對(duì)比

表1給出了含噪信號(hào)經(jīng)過(guò)3種不同閾值函數(shù)的信號(hào)去噪方法處理后的信噪比和標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)對(duì)比。

表1 不同閾值函數(shù)的去噪效果數(shù)據(jù)分析

通過(guò)從以上仿真圖和數(shù)據(jù)分析對(duì)比表可以看出，采用改進(jìn)閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的信號(hào)去噪效果要優(yōu)于傳統(tǒng)的軟閾值去噪和硬閾值去噪效果，能有效地克服軟閾值去噪方法中由于估計(jì)值與真實(shí)值之間的恒定偏差而帶來(lái)的去噪誤差，也能有效地抑制硬閾值去噪方法中易產(chǎn)生的信號(hào)振蕩現(xiàn)象，較好地保留了信號(hào)的細(xì)節(jié)部分。

6 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)小波閾值去噪基本原理，提出了一種改進(jìn)閾值函數(shù)和自適應(yīng)閾值的信號(hào)去噪方法，改進(jìn)的閾值函數(shù)兼顧了硬、軟閾值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又在一定程度上彌補(bǔ)了兩種方法存在的不連續(xù)、振蕩等缺陷。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，去噪效果無(wú)論在視覺(jué)上還是在去噪后信號(hào)的信噪比上都有了明顯的改善，而且較好地保留信號(hào)的細(xì)節(jié)部分，提高了信號(hào)去噪的恢復(fù)能力。

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