張曉寧，孫麗君

(1.河南工業(yè)大學信息科學與工程學院，河南鄭州 450001;2.河南工業(yè)大學電氣工程學院，河南鄭州 450001)

小波變換與傅里葉變換、窗口傅里葉變換相比，它是一個時間和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進行多尺度細化分析，解決了傅里葉變換不能解決的許多問題。

小波變換被譽為“數(shù)學顯微鏡”，是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進展。小波理論被認為是對傅里葉分析的重大突破，是近年來信號處理領(lǐng)域的研究熱點，許多學者將小波在理論上的研究成果應用到諸如圖像壓縮、特征提取、信號濾波和數(shù)據(jù)融合等方面。小波之所以在信號處理領(lǐng)域具有很大的優(yōu)勢，在于小波變換可以獲得信號的多分辨率描述，同時，小波變換具有豐富的小波基可適應不同特征的信號。隨著小波理論的發(fā)展，Mallat［1］提出了模極大值重構(gòu)濾波，Xu［2］提出了空域相關(guān)濾波和Donoho［3］提出了小波域閾值濾波來消除噪聲。一般地，不同性質(zhì)的噪聲需要采用不同的消噪方法處理。

上述算法都存在參數(shù)的選取問題，不同的參數(shù)選取對濾波的效果會有一些差異。Donoho的傳統(tǒng)小波閾值去噪方法的實現(xiàn)最簡單、計算量最小。但其在理論上找到的最優(yōu)通用閾值，實際應用中效果并不理想。因此，文中在Donoho的傳統(tǒng)小波閾值去噪方法的基礎(chǔ)上，改變了小波閾值函數(shù)的部分參數(shù)得到了一種新的小波閾值函數(shù)，既避免了硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，又可以自適應去噪，從而有效地保存了信號的邊緣信息。仿真結(jié)果表明，改進后方法有更好的去噪性能。

1 小波閾值的去噪原理

小波變換具有一種“集中”的能力。信號經(jīng)小波變換后，可以認為由信號產(chǎn)生的小波系數(shù)包括有信號的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較小，而噪聲對應的小波系數(shù)幅值小。通過在不同尺度上選取一合適的閾值，并將小于該閾值的小波系數(shù)置零，而保留大于閾值的小波系數(shù)，從而使信號中的噪聲得到有效的抑制，最后進行小波逆變換，得到濾波后的重構(gòu)信號。

小波去噪的基本思路如圖1所示［4］。信號先經(jīng)過預處理，然后利用小波變換講信號分解到多尺度上，再對每一層小波系數(shù)進行閾值處理，最后對處理后的小波系數(shù)進行信號重構(gòu)。

圖1 小波去噪框圖

設(shè)一個含噪聲的一維信號模型可以表示為f(i)=s(i)+n(i)，其中s(i)為原始信號，n(i)為方差σ2的高斯白噪聲，服從N(0，σ2)。

1.1 小波硬閾值去噪的步驟

(1)對信號求小波變換。

(3)利用小波變換重構(gòu)，求出信號的濾波值。

1.2 小波軟閾值去噪的步驟

(1)對信號求小波變換。

其中，sgn(x)為符號函數(shù)。

(3)進行小波變換重構(gòu)，求出信號的濾波值。小波系數(shù)估計的軟、硬閾值處理方法。如圖2和圖3所示。

圖2 硬閾值信號

圖3 軟閾值信號

2 小波閾值函數(shù)的改進

硬閾值函數(shù)構(gòu)造雖然簡單，但其在整個小波域內(nèi)是不連續(xù)的，因此重構(gòu)產(chǎn)生的信號會產(chǎn)生振蕩，當噪聲水平較高時，這種現(xiàn)象尤為明顯，容易出現(xiàn)Pseudo－Gibbs現(xiàn)象。這與實際應用中經(jīng)常要對閾值函數(shù)進行求導運算存在矛盾，具有一定的局限性;并在信號的邊緣會產(chǎn)生許多人為的噪聲點。在實際情況下，大于閾值的小波系數(shù)中也存在噪聲信號的干擾，但硬閾值函數(shù)只對小于閾值的小波系數(shù)進行處理，對大于閾值的小波系數(shù)不加處理，這與事實不相符。

軟閾值函數(shù)雖然在小波域內(nèi)整體連續(xù)性好，但是由于當小波系數(shù)較大時，處理過的系數(shù)與原系數(shù)之間總存在恒定的偏差，這將直接影響重構(gòu)信號與真實信號的逼近程度，造成一定的高頻信息損失，使信號的邊緣變得模糊，給重構(gòu)信號帶來不可避免的誤差。

在實際應用中，利用軟閾值消噪信號比較光滑，但有著較大的信號失真。而利用硬閾值消噪對時變信號消噪效果是有限的。為克服軟、硬閾值的缺點，文中將軟閾值和硬閾值結(jié)合起來，在之前研究的基礎(chǔ)上［5－6］增加并優(yōu)化了小波閾值函數(shù)的參數(shù)，構(gòu)造了一類新的閾值函數(shù)為

經(jīng)驗證α=0.4時，濾波的效果比較好。現(xiàn)在，關(guān)鍵在于β取何值合適。通過大量的仿真實驗，當β=0.618時能獲得更好的去噪效果［7］，且處理起來比較方便。

3 仿真結(jié)果與評價

(1)為檢驗新閾值函數(shù)的去噪效果，利用matlab軟件對一段信噪比為4，并含有高斯白噪聲的信號，分別用軟、硬閾值方法和文中提出的改進方法進行仿真實驗。方法中的 α，β分別取最優(yōu)值 α=0.4，β=0.618。選用的小波函數(shù)為db3，分解層數(shù)為3，并在每分解層數(shù)上按照Sqtwolog規(guī)則進行閾值的估計。去噪結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 軟硬閾值去噪結(jié)果

(2)信號去噪效果可以用信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)來描述。定義同一語音信號消噪處理后，均方誤差(MSE)越小，信噪比(SNR)越大，則消噪效果越好，定義形式為

圖5 本文去噪結(jié)果

其中，s(i)是原始信號;s^(i)是由小波閾值處理后的信號。

根據(jù)以上仿真和分析，3種方法對含噪聲信號去噪后，信號的信噪比SNR和均方誤差MSE如表1所示。

表1 信噪比SNR和均方誤差MSE

從表中的數(shù)據(jù)對比可以看出，文中提出的方法比軟、硬閾值方法在信噪比SNR和均方誤差MSE這兩個性能指標上均有明顯提高。

4 結(jié)束語

小波濾波已經(jīng)應用于許多理論和應用領(lǐng)域，尤其在信號處理中發(fā)揮著越來越重要的作用，小波去噪技術(shù)已成為信號處理研究的熱點。文中介紹了小波閾值變換的原理以及軟、硬閾值變換的原理和步驟，分析了軟硬閾值變換的缺點，并且基于軟、硬閾值方法對去噪能力的不同特點，提出了一種新的閾值函數(shù)，用該方法可以獲得比軟、硬閾值消噪更好的去噪效果和更高的信噪比，新的閾值函數(shù)可以避免高頻信息的損失和軟閾值方法中對絕對值大的小波系數(shù)總存在恒定衰減的不足，并且新的閾值可以提高消噪后信號的信噪比，減少信號的失真和震蕩。

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［6］張弦，李世平，孫浚清，等.一種改進的小波閾值去噪方法［J］.軟件天地，2007，23(31):309 －311.

［7］謝搴，詹毅，牛聰.小波閾值去噪黃金分割法［J］.物探與化探，2006，30(3):254－257.