錢宏亮 劉 巖 范 峰

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)，黑龍江 哈爾濱 150090)

引 言

為滿足嫦娥探月工程二期、三期的甚長(zhǎng)基線干涉測(cè)量技術(shù)(VLBI)測(cè)定軌、定位任務(wù)以及我國(guó)各項(xiàng)深空探測(cè)任務(wù)，由中國(guó)科學(xué)院、上海市政府和探月工程共同出資建造的65 m口徑天線系統(tǒng)(圖1)已正式動(dòng)工，預(yù)計(jì)2015年全面完工，屆時(shí)將成為亞洲最大、總體性能位列全球第三、國(guó)際先進(jìn)的全方位可轉(zhuǎn)動(dòng)大型射電望遠(yuǎn)鏡。

該望遠(yuǎn)鏡工作時(shí)允許扇形大齒輪以上部分繞著俯仰軸(圖2)在俯仰方向(兩個(gè)極端角如圖3～4)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行隨機(jī)觀測(cè)[1]。

圖1 65 m天線系統(tǒng)

圖2 俯仰軸效果圖

圖3 俯仰角5°`

圖4 俯仰角90°

這種變位工作(繞x軸旋轉(zhuǎn))對(duì)天線結(jié)構(gòu)而言實(shí)質(zhì)是一種特殊、長(zhǎng)期的往復(fù)疲勞荷載，不可避免地會(huì)帶來(lái)結(jié)構(gòu)疲勞問題。由于疲勞破壞具有脆性破壞特征，一旦發(fā)生，其后果不堪設(shè)想。因此，對(duì)天線結(jié)構(gòu)進(jìn)行長(zhǎng)期變位疲勞分析，預(yù)測(cè)在30年設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)其關(guān)鍵構(gòu)件是否會(huì)發(fā)生疲勞破壞十分必要，從而指導(dǎo)結(jié)構(gòu)的安全運(yùn)行和維護(hù)[2]。而關(guān)于全可動(dòng)天線結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期變位疲勞問題的研究在國(guó)內(nèi)外尚未見到相關(guān)報(bào)道。

針對(duì)全可動(dòng)天線結(jié)構(gòu)提出了一種基于隨機(jī)疲勞應(yīng)力譜，結(jié)合Miner線性累積損傷準(zhǔn)則的方法進(jìn)行其變位疲勞分析。根據(jù)天線結(jié)構(gòu)的工作特點(diǎn)，提出了用其跟蹤觀測(cè)次數(shù)來(lái)表征其疲勞壽命。掌握了結(jié)構(gòu)的疲勞性能，為此類結(jié)構(gòu)疲勞分析提供了相關(guān)借鑒。

1 疲勞分析方法

1.1 Miner線性累積損傷準(zhǔn)則

Miner線性累積損傷準(zhǔn)則(見公式1)通常是用來(lái)處理變幅疲勞問題，它認(rèn)為在變幅應(yīng)力Δσ1，Δσ2，…，Δσk作用下，各應(yīng)力水平的等幅疲勞壽命為Ni，實(shí)際循環(huán)次數(shù)為ni，產(chǎn)生的能量為wi，當(dāng)這些能量之和等于W時(shí)就會(huì)發(fā)生疲勞破壞

(1)

Miner線性累積損傷準(zhǔn)則的成功之處[3]在于大量試驗(yàn)結(jié)果(特別是隨機(jī)疲勞荷載試驗(yàn))顯示∑(ni/Ni)的均值確實(shí)接近于1，而且概念清晰，公式簡(jiǎn)潔，得到了最廣泛的工程應(yīng)用，而其他確定性方法需要進(jìn)行大量試驗(yàn)來(lái)擬合眾多參數(shù)，精度并不比Miner準(zhǔn)則更好，而且斷裂力學(xué)、損傷力學(xué)提供的損傷演變規(guī)律顯示，在一定力學(xué)條件下，即使損傷是非線性的，Miner準(zhǔn)則在均值意義上也仍然是成立的。該全可動(dòng)天線結(jié)構(gòu)在不同的觀測(cè)角度下隨機(jī)變位工作，其機(jī)械傳動(dòng)部位的荷載顯然是變幅的隨機(jī)荷載。對(duì)于變幅疲勞問題，如果可以預(yù)測(cè)出其在使用壽命期間各級(jí)應(yīng)力幅水平所占頻次百分比以及預(yù)期壽命(總頻次)所構(gòu)成的設(shè)計(jì)應(yīng)力譜，則可根據(jù)Miner線性累積損傷準(zhǔn)則，將變幅應(yīng)力幅折算為常幅等效應(yīng)力幅，然后按常幅疲勞進(jìn)行校核。整個(gè)分析具體流程見圖5.

圖5 分析流程

1.2 雨流計(jì)數(shù)法原理

應(yīng)用Miner線性累積損傷準(zhǔn)則時(shí)，需要一定計(jì)數(shù)方法，統(tǒng)計(jì)分析出各級(jí)水平的應(yīng)力幅循環(huán)作用頻次。目前主要的計(jì)數(shù)方法有峰值計(jì)數(shù)法、幅度計(jì)數(shù)法、雨流計(jì)數(shù)法等，其中，雨流計(jì)數(shù)法是國(guó)內(nèi)外普遍認(rèn)為符合疲勞損傷規(guī)律的一種計(jì)數(shù)方法[4-5]。

雨流計(jì)數(shù)法首先將實(shí)際應(yīng)變-時(shí)間歷程數(shù)據(jù)記錄中的峰谷值提取出來(lái)，其次把處理后的峰谷值數(shù)據(jù)記錄旋轉(zhuǎn)90°，如圖6所示，時(shí)間坐標(biāo)軸豎直向下，數(shù)據(jù)記錄猶如一系列屋面，雨水順著屋面往下流，根據(jù)雨流跡線來(lái)確定應(yīng)力循環(huán)，故稱為雨流計(jì)數(shù)法。該方法是考慮了材料應(yīng)力-應(yīng)變行為而提出的一種計(jì)數(shù)方法，即把樣本記錄用雨流法定出一系列閉合的應(yīng)力-應(yīng)變滯回環(huán)，從而對(duì)應(yīng)提出每個(gè)應(yīng)力循環(huán)的均值和幅值。與其他計(jì)數(shù)法相比，更為簡(jiǎn)單準(zhǔn)確，因而得到最廣泛的研究與應(yīng)用。

圖6 雨流計(jì)數(shù)示意

1.3 天線結(jié)構(gòu)變位疲勞壽命需求

天線結(jié)構(gòu)工作時(shí)，在俯仰角5°～90°范圍內(nèi)隨機(jī)跟蹤觀測(cè)每天60次，全年工作天數(shù)為340天，整個(gè)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)基期為30年，則天線在運(yùn)營(yíng)期間至少要滿足的循環(huán)工作次數(shù)為60×340×30=612 000次。

2 俯仰軸變位疲勞應(yīng)力分析

2.1 俯仰軸長(zhǎng)期變位疲勞應(yīng)力譜的構(gòu)成

2.1.1 理論意義上的準(zhǔn)確計(jì)算

由于俯仰軸(見圖2)承受背架結(jié)構(gòu)及俯仰機(jī)構(gòu)自重547 t，是結(jié)構(gòu)重要受力構(gòu)件，隨著俯仰角長(zhǎng)期變化，俯仰軸隨之轉(zhuǎn)動(dòng)且承受上部傳來(lái)的自重荷載，其截面邊緣各點(diǎn)的彎曲應(yīng)力隨之發(fā)生變化，因而在結(jié)構(gòu)疲勞驗(yàn)算時(shí)，俯仰軸的疲勞問題是必須關(guān)注的。俯仰軸疲勞應(yīng)力譜準(zhǔn)確構(gòu)成步驟如下：

第一步，在 5°～90° 內(nèi)隨機(jī)抽取俯仰角起點(diǎn)和終點(diǎn)，采用整體有限元模型，計(jì)算起點(diǎn)角和終點(diǎn)角對(duì)應(yīng)的俯仰軸最危險(xiǎn)截面邊緣各點(diǎn)應(yīng)力，如在90°俯仰角時(shí)，俯仰軸最危險(xiǎn)截面最大應(yīng)力(軸應(yīng)力+彎曲應(yīng)力)為127.4 MPa，最小應(yīng)力(軸應(yīng)力-彎曲應(yīng)力)為-129.1 MPa；第二步，重復(fù)第一步612 000次，得到612 000×2個(gè)應(yīng)力值并互相連接。從而得到設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)疲勞應(yīng)力譜。

2.1.2 全壽命應(yīng)力譜的等效簡(jiǎn)化方法

顯然，如果按照上述步驟，會(huì)造成計(jì)算量巨大，耗時(shí)長(zhǎng)，幾乎不可行。多數(shù)情況下，天線在長(zhǎng)期觀測(cè)中，每個(gè)角度觀測(cè)工作均是等概率的，且每次觀測(cè)工作對(duì)結(jié)構(gòu)的疲勞損傷累積是一定的，因而在統(tǒng)計(jì)意義上，可認(rèn)為一定次數(shù)觀測(cè)工作的應(yīng)力時(shí)程所引起的總損傷累積和612 000次是近似一致的[6]。因此，可以用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)力時(shí)程塊的重復(fù)循環(huán)代替長(zhǎng)期、周而復(fù)始地實(shí)際作用在結(jié)構(gòu)上的應(yīng)力時(shí)程。由于是等概率地隨機(jī)抽取，將 5°～90° 離散化即每隔5°取值，共18個(gè)俯仰角度，分布均勻，且具有足夠密度，因而依據(jù)簡(jiǎn)單抽樣理論[7]，從中隨機(jī)抽樣，可按公式(2)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力歷程所應(yīng)包含的觀測(cè)工作次數(shù)num

(2)

式中：λ為可靠性指標(biāo)，在大樣本查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與保證概率為α相應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)，在小樣本時(shí)查t分布雙側(cè)分位數(shù)，通常當(dāng)樣本數(shù)目≥30時(shí)稱為大樣本，當(dāng)樣本數(shù)目<30時(shí)稱為小樣本；M為總體變異系數(shù)，取(0, 1)均勻分布變異系數(shù)0.577 5；E為抽樣均值與總體均值的相對(duì)誤差限。

取保證率α=99%(查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，λ=2.577 5)， 抽樣均值相對(duì)誤差不超過E=5%，則至少需抽樣num=885次，這里取1 000次，即在 5°～90°范圍內(nèi)隨機(jī)抽取1 000次，然后計(jì)算所有角度對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)疲勞應(yīng)力譜塊。多次重復(fù)疲勞標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力譜塊的構(gòu)建過程，直至疲勞驗(yàn)算結(jié)果穩(wěn)定。圖7給出了俯仰軸的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力譜塊。

2.2 俯仰軸變位疲勞應(yīng)力譜的雨流計(jì)數(shù)法分解

依據(jù)上節(jié)闡述的雨流計(jì)數(shù)原理，基于MATLAB編制相應(yīng)的雨流計(jì)數(shù)程序。針對(duì)已經(jīng)獲取的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力譜塊，采用雨流計(jì)數(shù)程序予以分解，其結(jié)果見圖8.

圖7 一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力譜塊

圖8 雨流計(jì)數(shù)結(jié)果

2.3 各級(jí)應(yīng)力幅的疲勞壽命

分解后的各應(yīng)力循環(huán)所對(duì)應(yīng)的疲勞壽命值根據(jù)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》GB50017-2003，按附錄E無(wú)連接處的主體金屬類別選取參數(shù)，C=1 940×1012、β=4， 按下式計(jì)算

(3)

式中:n為應(yīng)力循環(huán)次數(shù)； [Δσ]為常幅疲勞的容許應(yīng)力幅。

2.4 依據(jù)Miner準(zhǔn)則對(duì)俯仰軸變位疲勞分析結(jié)果

針對(duì)天線工作特點(diǎn)，用其跟蹤觀測(cè)次數(shù)來(lái)表征其疲勞壽命。應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力譜塊進(jìn)行變位疲勞壽命計(jì)算時(shí)，Miner準(zhǔn)則公式(1)可相應(yīng)地等效為式(4)，表明一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力譜塊(由num次跟蹤觀測(cè)所引起)循環(huán)作用T次，即發(fā)生疲勞破壞。

(4)

式中:T為疲勞破壞時(shí)的應(yīng)力歷程譜塊數(shù)；k為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力歷程譜塊中分解出的不同水平應(yīng)力循環(huán)的總數(shù)；ni為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力歷程譜塊中的第i級(jí)應(yīng)力水平的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)；Ni為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力歷程譜塊中的第i級(jí)應(yīng)力循環(huán)的等幅疲勞壽命。

從而變位疲勞壽命N[8]可按公式(5)計(jì)算

(5)

由于標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力譜塊不是唯一確定的，需要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力譜塊進(jìn)行多次隨機(jī)模擬計(jì)算，模擬計(jì)算次數(shù)要求滿足公式(6)和(7)，即多次模擬計(jì)算后結(jié)構(gòu)疲勞壽命的均值和標(biāo)準(zhǔn)差趨于穩(wěn)定值[9]。

(6)

(7)

公式(6)和(7)中，check值取10，即每隔10次模擬計(jì)算就做一次收斂檢驗(yàn)，直至滿足精度要求[10](圖9～10)。通過對(duì)其分布擬合分析，俯仰軸疲勞壽命的概率分布最接近對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其疲勞壽命在99.9%概率下大于5×107(圖11)。即俯仰軸在長(zhǎng)期、往復(fù)變位觀測(cè)作用下滿足疲勞壽命要求。

圖9 多次隨機(jī)模擬后俯仰軸疲勞壽命均值

圖10 多次隨機(jī)模擬后疲勞壽命標(biāo)準(zhǔn)差

圖11 多次隨機(jī)模擬俯仰軸疲勞壽命統(tǒng)計(jì)概率分布

3 結(jié) 論

1) 對(duì)于該類全可動(dòng)天線結(jié)構(gòu)，其特有的工作方式—俯仰方位往復(fù)變化引起的疲勞問題值得關(guān)注。

2) 根據(jù)天線工作特點(diǎn)發(fā)展出一種基于隨機(jī)疲勞應(yīng)力譜和Miner線性累積損傷準(zhǔn)則的變幅疲勞分析方法，該方法可以對(duì)天線結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期變位疲勞性能進(jìn)行有效的評(píng)估。

3) 俯仰軸疲勞壽命的概率分布最接近對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其疲勞壽命在99.9%概率下大于5×107，即長(zhǎng)期、往復(fù)變位觀測(cè)作用下滿足疲勞壽命要求。

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