朱曉波 王首勇 馮 訊

(空軍雷達(dá)學(xué)院雷達(dá)兵器運(yùn)用工程軍隊(duì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢430019)

引 言

實(shí)際中的雷達(dá)雜波通常呈現(xiàn)顯著的非高斯特性和相關(guān)特性，其概率密度函數(shù)(PDF)具有較重的托尾。在該雜波背景下針對高斯雜波的檢測器難以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的有效檢測?；趶V義中心極限定理的α穩(wěn)定分布(Sα(γ,β,μ))[1-2]得到了廣泛應(yīng)用[3-4]，已被證明特別適合描述具有重尾特性的雷達(dá)雜波[5-6]。Sα(γ,0,0)通常稱為對稱α穩(wěn)定分布，記為SαS.SαS分布除了兩個(gè)特例(高斯和柯西分布)外，不存在PDF解析表達(dá)式[2]。雖然針對獨(dú)立同分布的SαS，可采用高斯混合模型(GMM)[7-8]、柯西-高斯混合模型(CGM)[9-10]等對其PDF進(jìn)行近似，但對于相關(guān)SαS分布[11]，很難給出合適的PDF近似模型。這給在該類雜波背景下的最優(yōu)檢測器設(shè)計(jì)帶來了困難。

由于分布的PDF特征往往可以由統(tǒng)計(jì)矩來描述，在很難獲得PDF的情況下，可根據(jù)信號和雜波的統(tǒng)計(jì)矩信息建立最優(yōu)檢測器[12]。在高斯雜波背景下，通常根據(jù)二階矩或二階統(tǒng)計(jì)量，由最大信雜比準(zhǔn)則建立基于匹配濾波或本征濾波的最優(yōu)檢測器[13]。但對于服從SαS分布的非高斯雜波，當(dāng)特征指數(shù)0<α<2時(shí)，只有小于α階的統(tǒng)計(jì)矩是有限的，不存在二階矩或方差[2]。基于二階矩或二階統(tǒng)計(jì)量的匹配濾波或本征濾波不能有效工作，甚至?xí)o出錯(cuò)誤的結(jié)果。另外，匹配濾波主要適用于已知的確定性信號模型。但通常雷達(dá)目標(biāo)信號，如幅度、初相等參量是隨機(jī)的，通常采用適用于隨機(jī)信號模型的本征濾波[13]。

為此，基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量，結(jié)合最佳濾波器理論，考慮到雷達(dá)目標(biāo)信號幅度、初相隨機(jī)等因素，提出一種分?jǐn)?shù)低階本征濾波模型(FLOEF)。該模型以輸出分?jǐn)?shù)低階信雜比(FSCR)最大為準(zhǔn)則：利用分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣可以很好地白化相關(guān)SαS分布雜波。與傳統(tǒng)基于二階統(tǒng)計(jì)量的本征濾波相比，利用FLOEF模型可以獲得更大的信雜比改善。通過計(jì)算機(jī)仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證結(jié)果表明：分?jǐn)?shù)低階本征濾波模型在不同雜波參數(shù)及不同多普勒信號條件下的檢測性能均優(yōu)于傳統(tǒng)基于二階統(tǒng)計(jì)量的本征濾波模型。

1. 理論分析

1.1 SαS分布及分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量

α穩(wěn)定分布的PDF除少數(shù)特例外，不存在封閉的表達(dá)式，一般使用特征函數(shù)來描述其分布特性。如果實(shí)隨機(jī)變量X具有如下特征函數(shù)形式[1-2]

=exp{jμt-σα|t|α[1-

(1)

式中： 參數(shù)0<α≤2為特征指數(shù)；σ≥0為尺度參數(shù)(γ=σα為分散系數(shù))；-1≤β≤1為偏斜因子；實(shí)數(shù)μ為位置參數(shù)；sign(·)為符號函數(shù)，且

則X服從α穩(wěn)定分布，表示為X～Sα(σ,β,μ)或X～Sα(γ,β,μ).特別地，X～S2(1,0,0)對應(yīng)均值為0，方差為2的高斯分布。當(dāng)α<2時(shí)，一個(gè)服從SαS分布的實(shí)隨機(jī)變量X～Sα(σ,0,0)可表示成X=σGA1/2，其中G～N(0,2)，A為服從正向偏斜的α穩(wěn)定分布

A～Sα/2([cos(πα/4)]2/α, 1, 0)

(2)

(3)

式中：n=0,…,M-1，G1(n)和G2(n)相互獨(dú)立，均服從高斯分布N(0,2)，A(n)服從式(2)的分布，M為序列長度。要產(chǎn)生相關(guān)復(fù)SαS分布雜波，實(shí)際應(yīng)用中式(3)中A(n)、G1(n)和G2(n)的產(chǎn)生則通常由對應(yīng)的白色序列分別通過一個(gè)自回歸(AR)或自回歸滑動平均(ARMA)模型來實(shí)現(xiàn)。

對于0<α<2的SαS分布隨機(jī)變量，只有階數(shù)小于α階的矩是有限的，即不存在二階矩和有限方差[2]。傳統(tǒng)基于二階或高階統(tǒng)計(jì)量的信號處理方法將會顯著退化，甚至?xí)?dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。因此，分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量成為SαS分布條件下進(jìn)行信號處理的重要工具。常用的分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量包括：分?jǐn)?shù)低階矩、共變、分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差等。根據(jù)需要，這里僅給出復(fù)SαS分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的定義。

(4)

1.2 分?jǐn)?shù)低階本征濾波模型

1.2.1 模型設(shè)計(jì)

設(shè)觀測信號為

(5)

(6)

式中：

(7)

由于符號冪變換(·)〈p〉只作用于信號幅度，不改變其相位信息，因此，將FLOEF的模型輸出表示為

(8)

(9)

(10)

唯文章之用，實(shí)經(jīng)典枝條……于是搦筆和墨，乃始論文。詳觀近代之論文者多矣：至如魏文述典，陳思序書，應(yīng)玚文論，陸機(jī)《文賦》，仲治《流別》，弘范《翰林》，各照隅隙，鮮觀衢路……又君山、公干之徒，吉甫、士龍之輩，泛議文意，往往間出，并未能振葉以尋根，觀瀾而索源?！蜚屝蛞晃臑橐?，彌綸群言為難……[注]范文瀾：《文心雕龍注》，第726-727頁。

(11)

(12)

考慮到式(12)中FLOEF的輸出功率是由信號和雜波的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣形式給出的，因此，將FLOEF的輸出信雜比用分?jǐn)?shù)低階信雜比(FSCR)來表示

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

因此，最佳FLOEF濾波器模型為

(18)

當(dāng)p=1時(shí)，式(18)即轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的基于二階統(tǒng)計(jì)量的本征濾波器模型。

1.2.2 分?jǐn)?shù)低階指數(shù)p的選取

(19)

(20)

式中：

C2(p,α)= 2pΓ(1+p/2)Γ(1-p/α)

Γ(1-p/2)

(21)

則根據(jù)式(19)和式(20)可得

(22)

因此，分?jǐn)?shù)低階指數(shù)p的取值可由式(22)確定。由式(22)不能直接求解出p的解析表達(dá)式，但對于給定的α和γ值，可以確定唯一的p值。圖1給出了當(dāng)1≤α<2,γ取不同值時(shí)p的取值示意圖。特別地，當(dāng)α=2時(shí)為高斯分布，此時(shí)存在二階矩，取p=1.

圖1 不同α,γ值時(shí)p的取值示意圖

2. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

(23)

(24)

(25)

式中：N為觀測數(shù)據(jù)矢量樣本數(shù)，仿真中取N=1 000.

為檢驗(yàn)FLOEF模型的有效性，分別在仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)條件下將其與傳統(tǒng)基于二階統(tǒng)計(jì)量的本征濾波器(EF)模型進(jìn)行比較和分析。

2.1 仿真數(shù)據(jù)時(shí)的性能分析

A(n)=aA(n-1)+daη(n)

(26)

G1(n)=bG1(n-1)+dgg1(n)

(27)

G2(n)=bG2(n-1)+dgg2(n)

(28)

仿真數(shù)據(jù)時(shí)的參數(shù)取值：a=-0.85，b=-0.8125，α分別取1.8，1.95和2.0，γ=1.2.則由式(22)可得，當(dāng)α=1.8, 1.95時(shí)，分?jǐn)?shù)低階指數(shù)應(yīng)分別取p=0.425, 0.485.當(dāng)α=2.0時(shí)取p=1.根據(jù)文獻(xiàn)[14]求相關(guān)復(fù)SαS分布雜波的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差譜。圖2所示為α=1.8時(shí)相關(guān)復(fù)SαS分布雜波的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差譜密度曲線(20次獨(dú)立仿真的平均)。

圖3為FLOEF和傳統(tǒng)本征濾波(EF)在不同α值時(shí)的檢測性能曲線。

圖2 相關(guān)復(fù)SαS分布雜波分?jǐn)?shù)低階 協(xié)方差譜密度(α=1.8)

(a) fd=62.5 Hz

(b) fd=375 Hz圖3 仿真數(shù)據(jù)時(shí)FLOEF和傳統(tǒng)EF檢測性能比較

從圖3中可以看出：在高斯雜波條件下(α=2.0)，F(xiàn)LOEF即轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)基于二階統(tǒng)計(jì)量的EF，此時(shí)兩者性能是一致的。當(dāng)目標(biāo)處于主雜波譜區(qū)，α等于1.95和1.8時(shí)，F(xiàn)LOEF在Pd=0.5時(shí)的性能較傳統(tǒng)EF分別提高了約3 dB和8.5 dB；當(dāng)目標(biāo)處于非主雜波譜區(qū)，α等于1.95和1.8時(shí)，F(xiàn)LOEF在Pd=0.5時(shí)的性能較傳統(tǒng)EF分別提高了約6 dB和12.5 dB.實(shí)驗(yàn)結(jié)果還表明：在非高斯相關(guān)雜波條件下，F(xiàn)LOEF較EF具有明顯的性能優(yōu)勢，且α值越小(雜波分布拖尾越重)，F(xiàn)LOEF的性能改善越大。這是因?yàn)椋阂环矫?，在分?jǐn)?shù)低階本征濾波模型中，在保持接收信號相位及多普勒信息不變的前提下，對觀測信號進(jìn)行一次符號冪變換，在很大程度上抑制了較大的雜波尖峰脈沖，這有利于對目標(biāo)(特別是弱目標(biāo))進(jìn)行檢測；傳統(tǒng)EF是利用雜波的相關(guān)矩陣對接收信號進(jìn)行白化，這在高斯相關(guān)雜波背景下可以取得最好的白化效果，極大地提高信雜比，但對于非高斯相關(guān)雜波，特別是在相關(guān)SαS分布雜波條件下，由于SαS分布不存在二階統(tǒng)計(jì)量，相關(guān)矩陣已不能準(zhǔn)確描述雜波的相關(guān)特性，因此，此時(shí)利用傳統(tǒng)EF將不能對雜波進(jìn)行有效的白化，信雜比改善有限。而FLOEF采用分?jǐn)?shù)低階相關(guān)矩陣，可以很好地白化非高斯相關(guān)雜波，通過對分?jǐn)?shù)低階相關(guān)矩陣的變換，求取本征向量導(dǎo)出的最優(yōu)濾波器將能顯著改善信雜比。

2.2 實(shí)測數(shù)據(jù)時(shí)的性能分析

實(shí)測數(shù)據(jù)為加拿大McMaster大學(xué)利用IPIX(Intelligent PIXel processing)雷達(dá)所采集的海雜波數(shù)據(jù)[15]。該雷達(dá)架設(shè)在加拿大達(dá)特茅斯靠近大西洋海岸的一處懸崖頂上，雷達(dá)距離海平面100英尺(30.48 m)，雷達(dá)采用駐留式工作方式連續(xù)接收來自同一方向的海面回波。IPIX雷達(dá)采用HH和VV兩種工作模式，工作頻率為9.39 GHz，距離分辨率為30 m，脈沖重復(fù)頻率為1 000 Hz，天線增益為45.7 dB，波束寬度為0.9o.采用該雷達(dá)采集的#310組數(shù)據(jù)文件19931118_162155_stareC0000，該文件包含14個(gè)距離單元，每個(gè)距離單元由131 072個(gè)脈沖重復(fù)周期的采樣樣本組成。仿真中取該文件HH極化數(shù)據(jù)的其中10個(gè)距離單元(樣本數(shù)為1 310 720)的純海雜波樣本進(jìn)行分析。首先采用log|SαS|法[9]對雜波參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到數(shù)據(jù)樣本的參數(shù)為：α=1.563 9，σ=0.476 2，對應(yīng)分?jǐn)?shù)低階指數(shù)應(yīng)取p=0.36.

圖4為實(shí)測數(shù)據(jù)的幅度概率分布(APD)曲線，以及分別用復(fù)SαS和復(fù)高斯分布對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的APD曲線?？梢钥闯觯弘s波數(shù)據(jù)幅度偏離復(fù)高斯分布，而復(fù)SαS分布可以較好地對IPIX雜波分布進(jìn)行擬合。

圖5給出了雜波樣本的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差譜密度曲線。可以看出：由于海情(如海浪、海風(fēng)等)的影響，數(shù)據(jù)雜波譜存在頻移和展寬。根據(jù)圖5的雜波樣本分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差譜密度曲線，仿真中分別選取目標(biāo)多普勒頻率處于主雜波譜區(qū)及邊緣和非主雜波譜區(qū)三種情況進(jìn)行分析。因此目標(biāo)多普勒頻率分別取fd等于-187.5 Hz、-250 Hz和375 Hz.其余信號參數(shù)取值同實(shí)驗(yàn)1.

圖4 IPIX雜波APD曲線擬合

圖5 IPIX雜波分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差譜密度曲線

圖6為FLOEF和傳統(tǒng)EF的檢測性能曲線。從圖6中可以看出：對不同多普勒頻率的目標(biāo)，F(xiàn)LOEF的檢測性能均優(yōu)于傳統(tǒng)EF，且當(dāng)fd分別為-187.5 Hz、-250 Hz和375 Hz時(shí)，F(xiàn)LOEF在Pd=0.5時(shí)性能較傳統(tǒng)EF分別提高了約1.5 dB、3 dB和 2.7 dB.這是因?yàn)槔肍LOEF不但可以抑制較大的雜波尖峰脈沖，還能通過分?jǐn)?shù)低階相關(guān)矩陣對非高斯相關(guān)雜波進(jìn)行很好的白化，從而改善信雜比。因此，F(xiàn)LOEF模型在實(shí)測數(shù)據(jù)條件下同樣適用，且性能優(yōu)于傳統(tǒng)的EF模型。

圖6 實(shí)測數(shù)據(jù)時(shí)FLOEF和傳統(tǒng)EF檢測性能比較

3.結(jié) 論

非高斯相關(guān)雜波背景下的目標(biāo)檢測一直是雷達(dá)探測技術(shù)中的難點(diǎn)。當(dāng)雜波PDF結(jié)構(gòu)復(fù)雜或不存在封閉表達(dá)式時(shí)，難以甚至無法建立檢測統(tǒng)計(jì)量。以SαS分布為背景，考慮到SαS分布不存在二階矩，傳統(tǒng)基于二階統(tǒng)計(jì)量的本征濾波不能有效工作，基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量及最佳濾波器理論，以濾波器輸出分?jǐn)?shù)低階信雜比最大為準(zhǔn)則，給出了一種分?jǐn)?shù)低階本征濾波模型。該模型具有結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。通過仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)對FLOEF和基于二階統(tǒng)計(jì)量的傳統(tǒng)EF的檢測性能進(jìn)行了詳細(xì)驗(yàn)證與比較，結(jié)果表明：FLOEF模型適用于不同參數(shù)的雜波環(huán)境，在非高斯SαS分布雜波背景下的檢測性能要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的EF模型。所提出的方法為非高斯相關(guān)雜波背景下的雷達(dá)目標(biāo)檢測提供了一種有效手段。

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