(武漢科技大學，湖北武漢 430060)

1 拱型結構的頻率分布特點

對于一般荷載，一般的分析方法是將它分解成為不同頻率的周期荷載的線性疊加［1］，這些具有不同頻譜特性的周期荷載，結構動力響應不同［2］。具有相同幅值，但頻率不同的周期荷載對結構的影響不大一樣，因此荷載的頻譜特性對結構的影響和動力穩(wěn)定性起著重要的作用［3，4］。

弄清結構的自振特性是進行頻譜分析的基礎，結構對任意荷載的動力響應程度不僅取決于荷載的幅值，而且和結構自身的頻率分布也有著密切的關系［5］，因為一般的任意荷載類似白噪聲，幾乎包含所有的頻率，帶寬較大，頻率較集中的結構在此白噪聲荷載的作用下，更容易引起共振［6］，而且共振時間更長，強度更大，為了全面了解拱型結構的自振特性，計算了不同矢跨比和不同桿件截面結構的前200階頻率，具體結構參數如表1所示。

表1 拱型結構參數表

從圖1，圖2可以看出，拱型結構的頻率分布是連續(xù)“光滑的”、中間沒有斷層。對于同一種矢跨比、不同截面的拱型結構，頻率分布特點也不盡相同，桿件較小的結構，剛度小，周期長，頻率分布比較密集，密集區(qū)間較長，截面較大的結構，剛度較大，密集區(qū)間短。分析還發(fā)現(xiàn)，不同矢跨比的結構，自振頻率的分布也有各自的特點，矢跨比大的結構平面外剛度較小，縱向振型不多，較密集，橫向(平面外)的振型較多，較密集，同時伴隨著與縱向及豎向的耦合扭轉［7］，矢跨比小的結構，豎向振型較多。

圖1 單拱自振頻率分布曲線（不同矢跨比）

2 拱型結構的線性諧響應分析

持續(xù)的周期載荷作用于結構或部件上都產生持續(xù)的周期響應(諧響應)，諧響應分析可以確定線性結構在隨時間以正弦規(guī)律變化的載荷作用下的穩(wěn)態(tài)響應，從而得到結構部件的響應隨頻率變化規(guī)律。我們可以通過響應隨頻率的變化規(guī)律來分析結構的持續(xù)動力特性，發(fā)生在激勵開始時的瞬態(tài)振動不在諧響應分析中考慮，如圖3所示。

圖2 單拱自振頻率分布曲線（不同桿件截面）

圖3 結構系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)動力響應

結構動力運動方程可寫為:

方程右邊的作用力{F}為簡諧荷載，方程(1)的穩(wěn)態(tài)解表達為:

其中，umax為位移幅值;ω為外荷載頻率;φ為相位。

將式(2)進一步改寫為:

令: {u1}={umaxcosφ};{u2}={umaxsinφ}。

則:

同理:

其中，{F1}={Fmaxcosφ};{F2}={Fmaxsinφ}。

將式(3)和式(4)代入式(1)消去 eiωt可得:

對不同的ω求解方程(5)即可求得不同頻率的外荷載對應的結構穩(wěn)態(tài)響應。

3 水平荷載作用平面內的線性諧響應分析

計算取1/3，1/5，1/7矢跨比的單榀拱結構，分別施加橫向水平和縱向水平正弦荷載，激活頻率從0．05 Hz逐漸增加到40 Hz，每增加0．05 Hz就計算一次結構的穩(wěn)態(tài)響應，阻尼比取0．02，并選取5個特征點(見圖4)，以節(jié)點1為例，其縱向水平諧響應分析結果見圖5～圖7。

圖4 特征點分布圖

圖5 1/3矢跨比節(jié)點1諧響應曲線（縱向水平）

圖6 1/5矢跨比節(jié)點1諧響應曲線（縱向水平）

圖7 1/7矢跨比節(jié)點1諧響應曲線（縱向水平）

首先分析在平面內水平正弦荷載作用下的諧響應結果，從圖5～圖7可以看出，在此方向的正弦荷載作用下，各矢跨比的結構均有幾個共振區(qū)段，在此共振區(qū)間，頻率較密集，結構的動力響應較其他頻率荷載對結構的影響大得多，在這個共振區(qū)內包括很多頻率，同時每個激勵頻率對應的結構響應是若干振型共同參與的結果。同時可以看出在這幾個共振區(qū)段中，主要是低階頻率的共振區(qū)段內的振型占優(yōu)勢。矢跨比不一樣的結構對同一幅值的正弦荷載的響應情況也不一樣，1/5矢跨比的特征點1在低階頻率共振區(qū)的最大位移達到0．11 m，而1/3，1/7矢跨比結構相應的最大位移只有0．045 m～0．05 m之間，這說明參數矢跨比對簡諧荷載的動力響應很敏感;另外，從矢跨比節(jié)點諧響應曲線圖可以看出，在同一個共振區(qū)段，1/3，1/7矢跨比結構的特征點3，4的位移甚至比拱部特征點1的位移還要大，這說明此時結構中部已經發(fā)生很大的外凸或內凹變形，材料早已進入塑性變形，建筑物也發(fā)生了很大的外觀形變，結構易發(fā)生突然性“垮塌”，設計時不應該采用這種矢跨比結構。

4 豎向荷載作用下的線性諧響應分析

同樣取矢跨比為1/3，1/5，1/7的不同模型，計算其在單位豎向正弦荷載下的諧響應過程，見圖8～圖10。

圖8 1/3矢跨比節(jié)點1諧響應曲線（豎向荷載）

圖9 1/5矢跨比節(jié)點1諧響應曲線（豎向荷載）

圖10 1/7矢跨比節(jié)點1諧響應曲線（豎向荷載）

在豎向簡諧荷載作用下，矢跨比小的結構的響應程度比大矢跨比結構要小，共振區(qū)較寬，且位移較小，抗豎向荷載干擾能力較強，大矢跨比的結構的共振區(qū)段出現(xiàn)分化，其中第一階低頻共振區(qū)位移占據絕對的地位，其他頻率可以忽略不計，但位移一般較大，達到0．24 m，故矢跨比大的結構對豎向荷載的諧響應要大得多，在設計時應該引起足夠的重視。

5 結語

1)通過與多層平面框架結構自振頻率分布對比發(fā)現(xiàn)，單拱結構低階頻率基本呈線性增加，較密集，分布均勻，中間無“斷層”，類似白噪聲。2)分析拱型結構線性諧響應的基本理論，推導出對不同ω求得不同頻率的外荷載對應的結構穩(wěn)態(tài)響應結果。3)1/5矢跨比的特征點1在低階頻率共振區(qū)的最大位移達到0．11 m，而1/3，1/7矢跨比結構相應的最大位移只有0．045 m～0．05 m之間，這說明參數矢跨比對簡諧荷載的動力響應很敏感。4)在同一個共振區(qū)段，1/3，1/7矢跨比結構的特征點3，4的位移甚至比拱部特征點1的位移還要大，此時結構中部已經發(fā)生了外凸或內凹變形，材料進入塑性狀態(tài)，結構易發(fā)生突然性“垮塌”，設計時不應該采用這種矢跨比結構。

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