孟新宇，寧 輝，王道波，王西超

（1.南京航空航天大學 自動化學院，南京210016；2.西北核技術(shù)研究所，烏魯木齊841700）

控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性是指按標稱系統(tǒng)設(shè)計的控制器，能使攝動后的系統(tǒng)在某種度量意義下，其附近的一族系統(tǒng)均穩(wěn)定。在目前大部分相關(guān)文獻中，通常僅對被控對象攝動情況下的閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性進行了分析［1－2］。然而，在實際問題中，由于元件老化、參數(shù)漂移等多種因素，控制器本身的攝動也是不可避免的。眾所周知，系統(tǒng)的各項性能指標在攝動情況下不一定能夠維持，因此，近年來系統(tǒng)的性能指標對攝動的敏感性、魯棒穩(wěn)定性以及非脆弱性等問題，已逐漸成為國內(nèi)外學者理論研究的熱點，并已初步取得一些研究成果［3－4］。在眾多研究方法中，互質(zhì)因子攝動描述已被證明是一種有用的不確定性描述方法，它允許攝動后的系統(tǒng)與標稱系統(tǒng)有不同的不穩(wěn)定極點和不穩(wěn)定極點的數(shù)目，且不需要對被控對象和控制器作某些附加的假設(shè)，因此研究互質(zhì)因子攝動系統(tǒng)的非脆弱魯棒性問題，更具普遍意義［5－7］。另外，工程上要求系統(tǒng)應(yīng)有良好的干擾抑制能力，而靈敏度正反映了系統(tǒng)對干擾的敏感性。本文運用該方法，對系統(tǒng)對攝動的靈敏度、魯棒穩(wěn)定性及非脆弱性進行討論。

1 問題描述

當矩陣

考慮圖1所示的標稱反饋系統(tǒng)，不難得出

圖1 反饋系統(tǒng)

可逆時，方程（1）有唯一解，稱系統(tǒng)（1）是適定的。圖1反饋系統(tǒng)適定的充分條件是P（s）為嚴格真的。假定P（s）滿足嚴格真的條件，則由式（1）得

的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

稱S（P，K）＝（I－KP）－1為系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)矩陣，它反映了系統(tǒng)對外部干擾的敏感性。

對P（s）和K（s）作雙互質(zhì)分解

在以下討論中均要求K（s）能鎮(zhèn)定P（s），即有H（P，K）∈RH∞，從而可推斷出靈敏度函數(shù)矩陣S（P，K）∈RH∞。設(shè)靈敏度函數(shù)矩陣S（P，K）和閉環(huán)傳遞函數(shù)陣H（P，K）的H∞范數(shù)滿足以下約束：

式中，hi（i＝1，2）為正常數(shù)。

與標稱系統(tǒng)相對應(yīng)，分別用SΔ、HΔ、PΔ、KΔ表示攝動系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)矩陣、閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣、被控對象傳遞函數(shù)和控制器傳遞函數(shù)。

本文所討論的非脆弱魯棒穩(wěn)定性問題，就是對系統(tǒng)（1）有式（3）所示的雙互質(zhì)分解，在互質(zhì)因子均存在攝動的情況下，使得攝動系統(tǒng)靈敏度函數(shù)矩陣SΔ和閉環(huán)傳遞函數(shù)陣HΔ均仍保持穩(wěn)定，且其H∞范數(shù)保持在有限范圍內(nèi)。

2 相關(guān)引理

引理1［1］設(shè)Δ∈RH∞，若‖Δ‖∞＜1，則有

引理2［1］若P（s）和K（s）有式（3）所示的雙互質(zhì)分解，且系統(tǒng)是能夠穩(wěn)定的，則可以選擇穩(wěn)定的矩陣M，N，?M，?N，U，V，?U，?V，使下式成立

引理3［3］設(shè)標稱系統(tǒng)（P，K）是穩(wěn)定的，且有穩(wěn)定的右互質(zhì)分解P＝NM－1，K＝UV－1，則對于被控對象和控制器的攝動族

σ（·）表示最小奇異值。

3 主要結(jié)果

由引理3可得如下推論：

推論1 設(shè)標稱系統(tǒng)（P，K）是穩(wěn)定的，且有穩(wěn)定的左互質(zhì)分解P＝?M－1?N，K＝?V－1?U，則對于被控對象和控制器的攝動族

σ（·）表示最小奇異值。

證明過程與引理3的證明過程類似，此略。

定理1 考慮圖1所示的標稱反饋系統(tǒng)，設(shè)被控對象P有右互質(zhì)分解P＝NM－1，控制器K有左互質(zhì)分解K＝?V－1?U，且滿足式（6），假定P和K存在互質(zhì)因子攝動ΔM，ΔN，Δ?U，Δ?V∈RH∞，若滿足以下兩個條件：

式中，0≤α1＜1.

則有：

1）靈敏度函數(shù)攝動矩陣

保持穩(wěn)定，且滿足

2）閉環(huán)傳遞函數(shù)攝動矩陣HΔ（P，K）保持穩(wěn)定，且滿足

很顯然，由式（6）得?VM－?UN＝I.令

再由引理1得（I＋Δ1）－1∈RH∞，又因為

則由式（4）與定理條件得

同理可推出

證畢。該定理對被控對象右互質(zhì)分解和控制器左互質(zhì)分解情況進行分析，分別得出了靈敏度函數(shù)攝動矩陣和閉環(huán)傳遞函數(shù)攝動矩陣與原標稱矩陣之間的關(guān)系，及其在能穩(wěn)定條件下H∞范數(shù)所滿足的條件。類似地，在被控對象左互質(zhì)分解和控制器右互質(zhì)分解情況下，可得如下推論：

推論2 考慮圖1所示的標稱反饋系統(tǒng)，設(shè)被控對象P有左互質(zhì)分解P＝?M－1?N，控制器K有右互質(zhì)分解K＝UV－1，且滿足式（6）假定P和K 存在互質(zhì)因子攝動Δ?M，Δ?N，ΔU，ΔV∈RH∞，若滿足以下兩個條件：

式中，0≤α2＜1.

則有：1）靈敏度函數(shù)攝動矩陣

證明過程與定理1類似，此略。以上分別對兩種攝動情況下系統(tǒng)的非脆弱魯棒穩(wěn)定性作了討論，這兩種情況之間的關(guān)系在下面的定理給出了回答。

定理2 圖1所示的標稱反饋系統(tǒng)，被控對象P和控制器K 有式（3）所示的穩(wěn)定的雙互質(zhì)分解，若其攝動族均能滿足定理1和推論2，則有又因為

代入得證。

4 結(jié)論

1）在推導過程中，引入了一個常數(shù)0≤αi＜1（i＝1，2）來衡量互質(zhì)因子攝動的程度，如果αi＝0（i＝1，2），則有εi＝γi＝0（i＝1，2），即系統(tǒng)不存在任何攝動；

2）如果被控對象P和控制器K的攝動是單獨出現(xiàn)的，只需在上述定理中令εi＝0（i＝1，2）或γi＝0（i＝1，2）便可得到相應(yīng)的結(jié)果；

3）不論被控對象P和控制器K的攝動程度如何，還是單獨出現(xiàn)攝動，均滿足定理2的內(nèi)容。

研究了被控對象和控制器均存在互質(zhì)因子攝動時，閉環(huán)系統(tǒng)的非脆弱魯棒穩(wěn)定性問題，并相應(yīng)地給出了兩類情況下的充分條件，并對兩類情況之間的關(guān)系作進一步研究，為互質(zhì)因子攝動下魯棒控制器的研究與設(shè)計問題提供了基礎(chǔ)。

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