王麗芳

（中北大學(xué) 電子與計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，山西 太原030051）

0 引 言

計(jì)算機(jī)斷層成像技術(shù)（computed tomography，CT），是通過利用物體在不同角度的射線投影來獲取物體橫截面信息的成像技術(shù)，涉及到物理學(xué)、數(shù)學(xué)、機(jī)械學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形圖像學(xué)以及許多專業(yè)的技術(shù)領(lǐng)域［1］。錐束CT系統(tǒng)通常由射線源、轉(zhuǎn)臺(tái)和探測(cè)器3部分組成。理想的CT系統(tǒng)要求射線源焦點(diǎn)、物體旋轉(zhuǎn)中心、平板探測(cè)器中心三點(diǎn)在一條直線上，并且該直線要垂直于平板探測(cè)器。然而由于機(jī)械系統(tǒng)不可避免的加工和安裝誤差，這一要求往往得不到充分的滿足，常常會(huì)出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)中心偏移、探測(cè)器傾斜或探測(cè)器偏移的情況。文獻(xiàn) ［2］針對(duì)CT掃描系統(tǒng)中，測(cè)量的投影中心與實(shí)際的投影中心存在較小的誤差，會(huì)使重建圖像變形并產(chǎn)生偽像的問題，分析了旋轉(zhuǎn)中心偏移對(duì)重建圖像質(zhì)量的影響，并以計(jì)算機(jī)模擬和對(duì)實(shí)際構(gòu)件CT重建說明了這種影響。文獻(xiàn) ［3］針對(duì)扇束工業(yè)CT系統(tǒng)普遍采用濾波反投影（FBP）重構(gòu)算法中存在的掃描檢臺(tái)旋轉(zhuǎn)中心須與FBP算法重構(gòu)中心一致，受掃描系統(tǒng)精度的限制，從而引起重構(gòu)圖像出現(xiàn)重影偽像的問題，推導(dǎo)了一種校正方法并用計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性。李羽等針對(duì)FDK算法中的大錐角問題，提出了改進(jìn)的TFDK算法，同時(shí)借助簡(jiǎn)易模具的投影，來計(jì)算獲取系統(tǒng)幾何失真參數(shù)，并通過測(cè)得的失真參數(shù)對(duì)FDK進(jìn)行修正［4］。文獻(xiàn)［5］針對(duì)射線源焦點(diǎn)與探測(cè)器中心的水下高度不一致及轉(zhuǎn)心偏移等原因會(huì)使獲得的實(shí)際投影數(shù)據(jù)發(fā)生偏移的問題，修正了Katsevich精確重建算法，以適應(yīng)偏心的CT成像系統(tǒng)，將投影數(shù)據(jù)的偏移轉(zhuǎn)換為探測(cè)器中心的偏移，在重建過程中，根據(jù)探測(cè)器的中心偏移量，對(duì)濾波線方程、濾波前后的重排和校正以及反投影過程進(jìn)行修正處理，以有效減小投影數(shù)據(jù)的偏移對(duì)重建圖像的影響。文獻(xiàn) ［6］從CT系統(tǒng)整體設(shè)計(jì)、X射線管和探測(cè)器等角度綜述了影響偽影形成的各種因素，并對(duì)每種偽影的成因作了歸納，針對(duì)這些偽影，跟蹤近些年文獻(xiàn)中主要的校正方法作了介紹，并對(duì)這些校正方法作了比較和總結(jié)。文獻(xiàn) ［7］分析了由于射線源位置錯(cuò)位引起的誤差，并提出相應(yīng)的校正方法。文獻(xiàn)［8］提出在X射線源和被檢測(cè)物體之間添加一個(gè)射束衰減網(wǎng)格裝置以校正散射，推導(dǎo)了基于射束衰減網(wǎng)格的錐束CT散射校正方法，通過圓柱樣品實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法能有效減少基于平板探測(cè)器的錐束CT系統(tǒng)散射偽影，提高了重建切片圖像的質(zhì)量。文獻(xiàn) ［9］介紹了一種Feldkamp－type錐束CT重建方法，利用錐束掃描模式存在的對(duì)稱性的反投影優(yōu)化性質(zhì)進(jìn)行算法優(yōu)化，并通過Shepp－Logan數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法可有效提高圖像重建的速度和圖像質(zhì)量。張豐收等采用實(shí)驗(yàn)的方法，利用標(biāo)準(zhǔn)鋼絲樣本和直尺樣本，用DR成像的方法大致確定投影中心的位置，然后利用黃金分割點(diǎn)逼近準(zhǔn)確位置，用最小半徑法確定鋼絲的中心，系統(tǒng)標(biāo)定后，對(duì)鋼絲樣本重新進(jìn)行了重建實(shí)驗(yàn)，使標(biāo)定后的系統(tǒng)精度提高5倍以上［10］。

上述各種方法從不同角度，針對(duì)平板探測(cè)器傾斜造成的偽影問題進(jìn)行了改進(jìn)，但普遍存在實(shí)現(xiàn)過程復(fù)雜，計(jì)算量大的缺點(diǎn)。本文針對(duì)平板探測(cè)器傾斜的情況，對(duì)其進(jìn)行校正，首先利用系統(tǒng)標(biāo)定的方法測(cè)得相應(yīng)的傾斜角度，然后對(duì)平板探測(cè)器進(jìn)行粗調(diào)，最后通過重建算法的修正來對(duì)其進(jìn)行校正，利用這種方法經(jīng)過兩次校正可以有效的抑制由于平板探測(cè)器傾斜造成的偽影。

1 錐束CT的FDK修正重建算法

1.1 系統(tǒng)標(biāo)定法測(cè)傾斜角度

本節(jié)采用文獻(xiàn) ［10］中對(duì)錐束CT系統(tǒng)進(jìn)行幾何標(biāo)定的方法，如圖1所示，正方形abcd為一塊正方形的有機(jī)玻璃（對(duì)X射線吸收率較?。?biāo)定模板，在其4個(gè)角上分別鑲嵌著一個(gè)點(diǎn)狀的金屬鉛球（對(duì)X射線的吸收率較大），兩個(gè)點(diǎn)狀金屬鉛球的距離為l。在理想情況下，標(biāo)定模板上的4個(gè)點(diǎn)狀金屬鉛球在平板探測(cè)器上所形成的投影恰好位于由abcd確定的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)上，但在實(shí)際應(yīng)用中由于機(jī)械誤差造成系統(tǒng)存在幾何失真，在正方形標(biāo)定模板上的4個(gè)點(diǎn)狀金屬球所形成4個(gè)點(diǎn)狀小孔在平板探測(cè)器上的投影不再位于由abcd所確定的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)上，而位于由任意4個(gè)點(diǎn)所確定的四邊形的頂點(diǎn)上。

使用該模板對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定時(shí)，僅需在一個(gè)投影角度下采集標(biāo)定模板的投影數(shù)據(jù)，就能提供求解平板探測(cè)器傾斜角度的足夠信息。根據(jù)4個(gè)點(diǎn)的目標(biāo)投影所在四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)及邊長(zhǎng)，通過解簡(jiǎn)單的解析式就可以求得平板探測(cè)器的傾斜角度［10］。上述方法可以有效的消除當(dāng)前大部分錐束CT系統(tǒng)標(biāo)定方法中需要在多種測(cè)定角度下采集投影數(shù)據(jù)從而造成機(jī)械誤差產(chǎn)生的機(jī)會(huì)增多，致使計(jì)算結(jié)果失真的問題，同時(shí)該方法也可以解決當(dāng)前的大部分標(biāo)定方法中存在的需要人為事先對(duì)某些參數(shù)進(jìn)行假設(shè)，需要通過解多元方程組，造成的計(jì)算結(jié)果陷入局部最優(yōu)解的問題。

圖1 理想情況下的傾斜角測(cè)定

對(duì)于測(cè)得的平板探測(cè)器傾斜角度，可以用粗調(diào)的方法對(duì)其進(jìn)行校正，校正后難免還會(huì)出現(xiàn)微小角度的傾斜，這時(shí)通過機(jī)械的方法對(duì)其進(jìn)行校正容易引進(jìn)新的誤差，因此考慮通過重建算法的修正來對(duì)平板探測(cè)器傾斜造成的影響進(jìn)行校正。

1.2 錐束CT的FDK重建算法

錐束CT重建幾何關(guān)系如圖2所示，xyz為空間直角坐標(biāo)系，uo′v為平板探測(cè)器坐標(biāo)系，S為射線源，射線源運(yùn)動(dòng)軌跡為（Rcosβ，Rsinβ，0），R為射線源到物體中心o的距離，D為射線源到平板探測(cè)器中心o′的距離，β為旋轉(zhuǎn)角度，P為物體上的任意一點(diǎn)，在β角度下，P點(diǎn)在平板探測(cè)器上的投影的位置為Q，其在uo′v坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（u，v），因此投影數(shù)據(jù)可表示為pβ（u，v）。

圖2 錐束CT幾何位置關(guān)系

Feldkamp，Davis and Kress在1984年提出了基于圓軌道重建的錐束近似重建算法—FDK算法，該算法形式簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、計(jì)算速度快，在錐角較小的情況下可以很好的滿足工程應(yīng)用的需要，因此在實(shí)際錐束重建中得到廣泛的應(yīng)用。FDK算法是從二維等距扇束濾波反投影重建算法推廣而來的，其重建公式如下

式中

用FDK算法進(jìn)行重建的時(shí)候，首先對(duì)投影數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)加權(quán)，然后再與濾波核函數(shù)進(jìn)行卷積，最后根據(jù)重建點(diǎn)位置進(jìn)行反投影。

1.3 平板探測(cè)器的FDK修正重建算法

如圖3所示，在理想情況下射線源焦點(diǎn)S、物體旋轉(zhuǎn)中心o、平板探測(cè)器中心o′這3點(diǎn)在一條直線上，且So′與平板探測(cè)器平面uov垂直，但是在實(shí)際錐束工業(yè)CT中，平板探測(cè)器會(huì)出現(xiàn)一定角度的傾斜，圖3中虛線部分為理想平板探測(cè)器傾斜α角度時(shí)的情形，通過物體上任意一點(diǎn)P（x，y，z）的射線與理想平板探測(cè)器uov交于點(diǎn)Q，其在uov坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（u，v），與傾斜平板探測(cè)器u′ov′交于點(diǎn)Q′，其在u′ov′坐標(biāo)系下的位置為（u′，v′），AB 為中心平面與標(biāo)準(zhǔn)平板探測(cè)器的交線，A′B′為中心平面與平板傾斜探測(cè)器的交線，點(diǎn)Q′和點(diǎn)Q在中心平面的投影分別為點(diǎn)H′和點(diǎn)H 。圖4為中心平面的示意圖，過點(diǎn)H′分別做直線So′、AB的垂線，交So′的延長(zhǎng)線于o″，交AB于J。

圖3 平板探測(cè)器傾斜的結(jié)構(gòu)

根據(jù)三角形的相似性可知

由于 Ho′＝u，H′o′＝u′，So′＝D ，所以

整理可得

圖4 中心平面

將u代入可得

根據(jù)圖1和圖2可知

由于Q′H′＝v′，QH＝v，所以

整理得

將v代入上式可得

由此得到平板探測(cè)器傾斜后投影的位置（u′，v′），即投影的X射線的真實(shí)位置偏離了反投影過程中計(jì)算的射線位置，在這種系統(tǒng)中，如果用沒有修正的FDK算法直接重建，即使存在較小的誤差，也會(huì)使得重建結(jié)果變形，產(chǎn)生偽影。因此，需要對(duì)FDK算法進(jìn)行修正。在平板探測(cè)器傾斜的CT系統(tǒng)中，利用式（5）和（6）對(duì)其進(jìn)行修正，得到修正的FDK重建公式

本文提出錐束CT中的FDK修正重建算法的具體執(zhí)行步驟：

（1）測(cè)得傾斜角度。利用1.1中的系統(tǒng)幾何標(biāo)定的方法測(cè)得平板探測(cè)器的偏移量，然后根據(jù)偏移量計(jì)算平板探測(cè)器的傾斜角度；

（2）對(duì)平板探測(cè)器粗調(diào)。對(duì)測(cè)得的傾斜角度取整，利用機(jī)械調(diào)整的方法對(duì)其進(jìn)行粗調(diào)，對(duì)平板探測(cè)器校正；

（3）利用修正的FDK重建算法進(jìn)行校正。經(jīng)過第（2）步后，平板探測(cè)器仍然有微小角度的傾斜，此時(shí)，利用式（7）修正的FDK重建算法進(jìn)行校正，即可得到較好的重建效果。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其分析

為了驗(yàn)證該方法的正確性，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)采用220kv，10mA的X射線源。采用的平板探測(cè)器為PAXSCAN 2520，探元大小為0.127mm。實(shí)驗(yàn)物體模型為一個(gè)大球體內(nèi)包含5個(gè)小球體，其中大球的半徑為80mm，5個(gè)小球 的 半 徑 分 別 13.275mm、10.62mm、10.62mm、8.85mm、7.08mm。掃描模式為：圓軌跡。射線源到旋轉(zhuǎn)中心的距離為850mm，物體中心到平板探測(cè)器的距離為150mm，有效的平板探測(cè)器大小為256＊256，用FDK重建算法進(jìn)行重建，重建大小為256＊256＊256。采用的計(jì)算機(jī)配置：CPU為AMD5200＋，內(nèi)存為2G，利用VC＋＋語言編程。首先根據(jù)1.1中系統(tǒng)標(biāo)定的方法測(cè)得了該錐束CT系統(tǒng)中平板探測(cè)器傾斜角度為1.35°。為了便于分析，取該Z軸中心層切片的重建結(jié)果來進(jìn)行比較。圖5為原始模型圖，圖6為用平板探測(cè)器沒有經(jīng)過任何校正采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行重建的結(jié)果，圖7為用平板探測(cè)器經(jīng)過粗調(diào)后的采集的數(shù)據(jù)的重建結(jié)果，圖8為經(jīng)過兩次校正后的重建結(jié)果。

從圖5和圖6可以看出，當(dāng)平板探測(cè)器傾斜一定角度時(shí)，用沒有修正的FDK算法直接重建出現(xiàn)從圖像中心向四周擴(kuò)散的偽影，對(duì)于圓心位于中心位置的圓表現(xiàn)為環(huán)狀偽影，對(duì)于其他位置的圓表現(xiàn)為拖尾現(xiàn)象，從圖7可以看出，其拖尾現(xiàn)象、偽跡明顯比圖5少，因此通過對(duì)平板探測(cè)器的機(jī)械校正可以減少偽影，從圖8可以看出，對(duì)平板探測(cè)器機(jī)械校正和重建算法校正同時(shí)使用，所得結(jié)果明顯得到改善，有效的抑制了由于平板探測(cè)器傾斜所造成的偽影，得到了較好的重建效果。

3 結(jié)束語

CT圖像的偽影產(chǎn)生的原因包括噪聲、散射、射線硬化、探測(cè)器的相應(yīng)不一致性、旋轉(zhuǎn)中心偏移、探測(cè)器傾斜、重建算法的優(yōu)劣等，要能及時(shí)地分析和辨別出影響CT圖像質(zhì)量因素，及時(shí)地加以校正，這樣才能保證CT圖像質(zhì)量。本文在錐束CT重建算法的基礎(chǔ)上，分析了平板探測(cè)器傾斜在圖像重建過程中的影響，針對(duì)該問題提出一種對(duì)平板探測(cè)器進(jìn)行機(jī)械校正和對(duì)重建算法修正同時(shí)校正的方法，利用該方法對(duì)物體重建能得到較好的重建效果。本文對(duì)于其他情況下的誤差沒有研究，下一步將研究平板探測(cè)器平移、旋轉(zhuǎn)、傾斜等系統(tǒng)誤差情況下的修正重建算法。

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