1引言

采樣的理論基礎(chǔ)是采樣定理。它在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)之間架起了一座橋梁，為連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)的相互轉(zhuǎn)換提供了依據(jù)。而采樣定理又分為時(shí)域采樣定理和頻域采樣定理。時(shí)域采樣定理大家都比較熟悉，筆者發(fā)現(xiàn)頻域采樣定理對(duì)于初學(xué)者較為陌生，因此在這里著重證明和驗(yàn)證頻域采樣定理。

2頻域采樣定理的理論證明

我們以沖激取樣為例，設(shè)有一個(gè)信號(hào)f（t）為有限時(shí)間信號(hào)（簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)限信號(hào)），我們假設(shè)它在時(shí)間區(qū)間（-tm，tm）以外為零。f（t）的頻譜函數(shù)為F（jw），且為連續(xù)譜。

我們對(duì)連續(xù)譜F（jw）進(jìn)行間隔為ws的沖激采樣，抽樣函數(shù)的數(shù)學(xué)形式為：

啄ws（w）=∑∞n=-∞δ（w-nws）

取樣后信號(hào)fs（t）的頻譜函數(shù)為：Fs（jw）= F（jw）∑∞n=-∞δ（w-nws）

=∑∞n=-∞F（jnws）δ(w-nws)

有限時(shí)間信號(hào)f（t）的頻譜函數(shù)在被間隔為ws的沖激序列采樣之后，則被采樣之后的頻譜函數(shù)Fs（jw）所對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)fs（t）以Ts為周期而重復(fù)。所以為了從fs（t）中無(wú)失真地恢復(fù)f（t），我們?cè)跁r(shí)域上選擇一個(gè)理想的低通濾波器與fs（t）相乘，得到其在區(qū)間（-Ts/2，Ts/2）的一個(gè)周期。在這里我們?cè)O(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)的幅度為ws，截止時(shí)間為tm（tm≤Ts/2），即

3頻域采樣定理

最后我們可以得到著名的頻域采樣定理：

一個(gè)在時(shí)間區(qū)間（-tm，tm）以外為零的有限時(shí)間信號(hào)f（t）的頻譜函數(shù)F（jw），可唯一地由其在均勻頻率間隔fs（fs<1/2 tm）上的樣點(diǎn)值F（jnw）確定。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

F（jw）=∑∞n=-∞F（jnπ/tm）·Sa（w·tm-nπ）

其中tm=1/（2fs）。

4頻域采樣定理的matlab驗(yàn)證

對(duì)頻譜函數(shù)X（ej棕）=FT[x（n）]在區(qū)間[0，2仔]上等間

隔32點(diǎn)采樣，得到X32（k）。再對(duì)X32（k）進(jìn)行32點(diǎn)IFFT。分別畫(huà)出X（ej棕）、X32（k）的幅度譜，并繪圖顯示x（n）、X32（n）的波形。進(jìn)行對(duì)比和分析，驗(yàn)證總結(jié)頻域采樣理論。

頻域采樣定理驗(yàn)證程序exp.m

M=27；N=32；n=0:M；

%產(chǎn)生M長(zhǎng)三角波序列x（n）

xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa，xb];

Xk=fft(xn，1024);%1024點(diǎn)FFT[x(n)]，用于近似序列x(n)的TF

X32k=fft(xn，32) ;%32點(diǎn)FFT[x(n)]

x32n=ifft(X32k);%32點(diǎn)IFFT[X32(k)]得到x32(n)

subplot(2，2，2);stem(n，xn，’.’);box on

title(’(b)三角波序列x(n)’);xlabel(’n’);ylabel(’x(n)’);axis([0，32，0，20])

k=0:1023;wk=2*k/1024;%

subplot(2，2，1);plot(wk，abs(Xk));title(’(a)FT[x(n)]’);

xlabel (’\\omega/\\pi’);ylabel (’|X (e^j^\\omega)|’);axis ([0，1，0，200])

k=0:N-1;

subplot(2，2，3);stem(k，abs(X32k)，’.’);box on

title(’(e) 32點(diǎn)頻域采樣’);xlabel(’k’);ylabel(’|X_3_2(k)|’);axis([0，16，0，200])

5與時(shí)域采樣定理的對(duì)比

時(shí)域采樣定理和頻域采樣定理是通信系統(tǒng)和信號(hào)處理的重要理論。時(shí)域采樣后的信號(hào)在頻域上是周期拓展的，頻域采樣后的信號(hào)在時(shí)域上是周期拓展的。因此，我們可以說(shuō)這兩個(gè)采樣定理具有對(duì)偶性。