統(tǒng)計數(shù)據(jù)伴隨著我們的工作和生活，是具體、詳細(xì)、清晰地認(rèn)識事物時不可或缺的重要工具。當(dāng)說明事物的狀態(tài)時，如果僅從定性的角度加以描述，很可能給人以模糊不清的印象。比如，評論某人收入很高，某企業(yè)發(fā)展很快，那么多少算高、多少算快呢？讓我們換一種說法來描述：某人月收入5萬元，某企業(yè)年銷售增長率達(dá)50%——這樣的信息，讓人們對某人的收入狀況與某企業(yè)的發(fā)展速度了然于心。這就是統(tǒng)計數(shù)據(jù)的魅力。統(tǒng)計數(shù)據(jù)在幫助我們認(rèn)識事物及決策方面具有迷人的功效。正如一位資深的統(tǒng)計學(xué)家所說：統(tǒng)計就和柴米油鹽醬醋茶一樣，存在的時候并不是很突出，一旦不見了，人生就是黑白的了。

然而，如果數(shù)據(jù)運用不當(dāng)，或者角度偏狹、單一，又或者缺乏對數(shù)據(jù)本質(zhì)的正確認(rèn)識，則不僅不能幫助我們正確認(rèn)識事物，甚至?xí)淙霐?shù)據(jù)的陷阱中。因此，數(shù)據(jù)運用不好，它又會讓人迷惑。就拿最常見的平均數(shù)來說，它似乎是統(tǒng)計中最簡單不過的概念了。然而，你真的了解它嗎？下面就讓筆者通過一些實例帶您領(lǐng)略平均數(shù)的獨特內(nèi)涵。

算術(shù)平均數(shù)的背后

算術(shù)平均數(shù)是最基本的也是最常用的平均指標(biāo)，它表明的是同類事物的一般水平。在現(xiàn)實應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)對算術(shù)平均數(shù)的理解出現(xiàn)偏差或者不理解的現(xiàn)象。在此，通過兩個例子對應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)的前提條件及其影響因素加以說明。

算術(shù)平均數(shù)的應(yīng)用前提——同質(zhì)總體

在日常工作及生活中，經(jīng)常用到算術(shù)平均數(shù)，如平均工資、人均消費支出、平均成績等。但是，媒體上發(fā)布的該類數(shù)據(jù)經(jīng)常會遭到公眾的質(zhì)疑。為什么會產(chǎn)生這樣的結(jié)果呢？在此通過一個簡單的例子來說明這個問題。

假如某公司有8個員工，基年和報告年年收入資料如下，計算人均收入增長率：

基年平均收入：

1310000/8=163750元

報告年平均收入：

1510000/8=188750元

人均收入報告年比基年增長：

188750/163750-1=15.27%

該計算結(jié)果發(fā)布出來，7人（占總?cè)藬?shù)的87.5%）會覺得不可思議：我們的收入沒有超過10萬的，平均收入?yún)s達(dá)到16萬以上；我們的收入一分沒漲，平均收入?yún)s增長15.2%。但是，平均收入計算是沒有錯誤的。

讓我們來看看平均數(shù)的計算過程：每一個人的收入在平均數(shù)的計算中都發(fā)揮了一定的作用，由于員工中出現(xiàn)一個極端高收入者，達(dá)到100萬元以上，致使總體的平均收入被大大拉高了，偏離了大多數(shù)員工的收入水平。因此，從計算的結(jié)果來看，該平均收入并不具有代表性。

平均數(shù)的本質(zhì)是反映同類事物數(shù)據(jù)一般水平的代表值，當(dāng)該數(shù)據(jù)不具有代表性時，說明總體并非同質(zhì)總體，即不是同一類事物。該例中8號員工不是普通的員工，作為高層管理人員和其他員工存在質(zhì)的差異，應(yīng)當(dāng)分別計算平均收入。

因此，不是任何一堆數(shù)據(jù)放在一起都是可以計算平均數(shù)的，對非同質(zhì)總體計算平均數(shù)毫無意義，強(qiáng)行計算出的平均數(shù)不具有代表性。在上述事例中，8號員工收入達(dá)到100萬，與另外7個人的收入出現(xiàn)顯著差異，8號員工與另外7人應(yīng)該不屬于同一總體范疇，而由此計算出的平均數(shù)163750元不能夠反映上述員工的收入一般水平，該平均數(shù)不具有代表性。對于該例，在計算平均收入時，應(yīng)將8號員工剔除出該總體范圍?？傊?，正確應(yīng)用平均數(shù)的基本前提條件是建立同質(zhì)總體。

結(jié)構(gòu)因素對平均數(shù)的影響

一個朋友在兩個地段分別經(jīng)營了兩個商鋪，某月份兩個店鋪每天的價格記錄如下。她困惑地找到我，為什么甲店每天的價格都比乙店高，而平均價格卻低于乙店?為了能夠更清楚地說明問題，在此將數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，并計算如下（見下表）：

平均數(shù)的影響因素有兩個：被平均的數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)。

f(或f/∑f)為權(quán)數(shù)，它具有權(quán)衡輕重的作用，即哪一組變量值出現(xiàn)的次數(shù)多，哪一組變量值在平均數(shù)計算的過程中發(fā)揮的作用就大。

該例資料顯示，盡管甲店每天的價格都高于乙店，但是平均價格甲店卻低于乙店。之所以會出現(xiàn)該種情形是因為甲店價格處于108以上的高位時，其銷售量占比為10%，而處于102及以下的低價位時，其銷量占比高達(dá)55%；乙店恰好相反，價格處于106以上高位時，銷量占比達(dá)55%，價格處于100及以下低位時，其銷售量占比為10%。

可見，數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)是平均數(shù)計算過程中的一個重要影響因素。

相對數(shù)的平均算法

正如前文所述，算術(shù)平均數(shù)是最常用的平均指標(biāo)，但是，對產(chǎn)品合格率這一類的相對數(shù)求平均，算術(shù)平均數(shù)就不適用了。請看下面二例：

（1）某種零件加工需經(jīng)過鋸、磨、車、插四道工序?，F(xiàn)加工1000個零件，各道工序的合格率分別是95%、98%、93%、100%，計算各道工序的平均合格率。由于合格率不能相加，所以采用算術(shù)平均法求平均合格率是不可行的。

下面分析一下該例的特點，四道工序存在相關(guān)性，后道工序必須在前道工序的基礎(chǔ)上進(jìn)行加工生產(chǎn)。經(jīng)過四道工序，最終得到的合格產(chǎn)品數(shù)量是：

1000×95%×98%×93%×100%

=865（件）

產(chǎn)品總的合格率為865/1000

=95%×98%×93%×100%

=86.5%

由于總的比率等于被平均比率的連乘積，因此，四道工序的平均合格率要用幾何平均法計算：

幾何平均數(shù)是針對特定的相對數(shù)求平均的方法，它是變量值連乘積的n次方根。當(dāng)被平均的相對數(shù)的連乘積等于總的比率或總速度時，應(yīng)該采用幾何平均法求平均。

（2）某公司下屬四個企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，某月份產(chǎn)出量分別為300件、500件、600件、1000件，合格率分別為95%、98%、93%、100%，計算該企業(yè)產(chǎn)品的平均合格率。

該問題也是對相對數(shù)求平均，但是，被平均的四個相對數(shù)之間沒有相關(guān)性。對這類相對數(shù)求平均既不能采用算術(shù)平均法，也不適合采用幾何平均法。

由于是對相對數(shù)求平均，最終結(jié)果仍然是相對數(shù)。而相對數(shù)是根據(jù)兩個數(shù)值之比求得，對這類不存在相關(guān)性的相對數(shù)求平均，其平均體現(xiàn)在該相對數(shù)的分子和分母上，即對該相對數(shù)的分子和分母分別求平均，再對比，在此，把它稱為比值平均數(shù)。本例產(chǎn)品平均合格率的計算方法如下：

對相對數(shù)求平均的方法提示：對相對數(shù)求平均，絕對不可采用算術(shù)平均法。當(dāng)被平均的相對數(shù)存在相關(guān)性時，即其連乘積等于總的比率，則采用幾何平均法；如果被平均的相對數(shù)不存在相關(guān)性，則采用比值平均法。

看似簡單的平均數(shù)其實奧妙無窮，正確加以運用，有助于我們認(rèn)識事物和分析問題，是科學(xué)決策不可缺少的有力武器。