我們來做兩個游戲：

一、揉皺紙上一段線

用鉛筆和尺在紙上畫一段線。從線的左端起，標出四個點。然后揉皺這張紙，再把紙展開，但不要把紙攤平，你可以看到這段線在很多方面已經(jīng)改變了。

瞧，它已經(jīng)被扭曲了！但并不是所有的性質(zhì)都改變了。

這段線仍有一些沒有改變的性質(zhì)：它仍然是連著的，從一端到另一端；1到4的位置沒有變。如果你從點1開始，沿著線走，就會走到點2，然后點3，最后到點4。

二、拉長一條橡皮筋

找一條橡皮筋，把它剪斷，這樣就可以把橡皮筋拉成一直線。在橡皮筋上打兩個結(jié)，然后把這條橡皮筋拉長為原來的兩、三倍長。

這是另一種扭曲。拉長改變了橡皮筋的許多性質(zhì)，但并不是所有的性質(zhì)都改變了。

拉長的橡皮筋仍有一些沒有改變的性質(zhì)：它仍然是連著的，從一端到另一端；兩個結(jié)的位置沒有變。兩個結(jié)之間仍隔著一段橡皮筋，左邊的結(jié)仍然比另一個結(jié)更接近橡皮筋的左端。

從前面兩個游戲中，我們可以看出線和橡皮筋被扭曲后，有些性質(zhì)改變了，有些性質(zhì)不會改變。人們給不會改變的性質(zhì)一個名稱：不變性。

把線以及不同的圖形，經(jīng)過壓縮、卷曲或其他方式的扭曲之后，有些性質(zhì)會改變，有些性質(zhì)不會改變。研究這些不會改變的性質(zhì)的學科是“拓撲學”。拓撲學家是研究拓撲學的人。

拓撲學家看到一條揉皺或拉長的線，決不會去測量線有多長，而是試著去找出線的不變性。他們還關(guān)心把一條線彎曲成一個圓之后，所產(chǎn)生的一些變化情形。在一張空白的紙上畫一個圓。你知道你畫的圓對紙產(chǎn)生了什么影響嗎？

圓把紙分成兩部分。一部分在圓內(nèi)，另一部分在圓外。

正方形、三角形和圓一樣，把紙分成兩個部分。一部分在線內(nèi)，另一部分在線外。即使是一滴小水滴也是一樣。

在我們看來，曲線是一條彎曲得很平滑的線。但拓撲學家把任何將紙分成內(nèi)部和外部的封閉曲線，叫做“簡單封閉曲線”。小水滴、圓、三角形和正方形都叫做簡單封閉曲線。

在一塊橡膠上畫一個正方形。這樣無論你把正方形拉成任何彎曲的圖形，它都有兩個不變性。一、所有的曲線，都將橡膠表面分成內(nèi)部和外部。二、在封閉曲線上的每一個點的位置，都不會改變。A點始終位于B點和D點之間，B點始終位于A點和C點之間，等等。

圓、正方形和小水滴都是簡單封閉曲線，數(shù)字8也是封閉曲線——因為數(shù)字8曲線把紙分成兩個內(nèi)部和一個外部，也就是在曲線內(nèi)有兩個分離的內(nèi)部，曲線外是一個外部。

你能畫一條封閉曲線，把表面劃分成一個外部和幾個內(nèi)部嗎？

拓撲學家認為，從某一方面來說，棒球和畫在紙上的簡單封閉曲線很類似。

一個棒球只有一個內(nèi)部和一個外部。棒球皮以內(nèi)是棒球，表皮以外就是外部了。

類似簡單封閉曲線的東西還有蛋、籃球、足球等。拓撲學家把這些東西分成不同的組。每一組叫做一“族”。棒球、蛋、籃球、足球都屬于零族。

★什么是零族？

所有球狀物都屬于零族。

用黏土捏一個球。在球的表面畫一個圓或其他的簡單封閉曲線。

用刀沿著球上的曲線切下，你會把這個球切成兩個分離的部分。

在球狀物的表面上畫一條封閉曲線，如果沿著曲線切下，想不把球切成兩部分，是不可能的。如果你畫的曲線繞過球中央，那么就會把球切成平均的兩半。

沿著球上的一條簡單封閉曲線切下一圈，你不可能不把球切成兩部分。這就是球和所有的球狀物都屬于零族的原因。零是你不會把球切成兩部分的切割次數(shù)。

★什么是一族？

有一種形狀，你可以在它上面畫一個圈，并沿著圈切下，但不會把它切成兩部分。你能想象這樣的形狀嗎？比如甜甜圈。

你可以在甜甜圈上畫一個圈，并沿著圈切下一小塊。

你也可以橫切甜甜圈，把它切成兩大半。

還有一種切法，可以讓你切過甜甜圈，但仍然保持它的完整。

左邊的切法可以讓你切過甜甜圈，但仍舊保持它的完整。你只要多切一刀，就會把甜甜圈切成兩部分。

族的區(qū)分，是看你能切多少刀，而不會把東西切成兩部分來決定的。這就是球和甜甜圈不同族的原因。

你能夠沿著甜甜圈上的一條簡單封閉曲線切下一圈，但不會把它切成兩部分。所以，甜甜圈屬于一族。

除了甜甜圈之外，你還能想出哪些東西屬于一族？

唱片呢？咖啡杯呢？

你知道該怎么切嗎？

盤子和球都屬于零族。不需切開，也不用撕開，黏土做的盤子就能改變成球。同樣的，不能用刀切開，也不能用手撕開，你知道怎樣把黏土做的甜甜圈改變成咖啡杯嗎？

掛鎖是屬于零族還是一族？

掛鎖沒鎖上時，你沒有辦法切過它，但不把它切成兩部分。所以，當掛鎖沒鎖上時，屬于零族。

但是，掛鎖鎖上時，你無論怎樣切下一刀，仍然會保持掛鎖的完整。所以，當掛鎖鎖上時，屬于一族。

你能想出任何屬于二族的東西嗎？

數(shù)字8呢？

你知道怎么切兩刀，但仍然保持數(shù)字8的完整嗎？

你不可能切三刀而仍然保持數(shù)字8的完整。

不能用刀切開，也不能用手撕開，你知道怎么把黏土做的數(shù)字8，改變成有兩個把手的湯碗嗎？

你能找出其他屬于二族的東西嗎？

剪刀呢？眼鏡的鏡框呢？或是椅子？

你還能找出屬于三族、四族、五族，甚至更高族的東西嗎？