華亮春 陳學(xué)工 劉智勇

摘要：本文在分析常用正射影像圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的基礎(chǔ)上，提出了使用仿射變換來(lái)模擬復(fù)雜、計(jì)算量大的影像圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，在保證精度的前提下提高轉(zhuǎn)換速度，具體闡述了轉(zhuǎn)換基本思路、九點(diǎn)法誤差控制方法和算法流程。

關(guān)鍵詞：正射影像圖；快速坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；仿射變換；平面四參數(shù)

隨著航空航天遙感技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，影像圖的空間分辨率越來(lái)越高，數(shù)據(jù)內(nèi)容越來(lái)越豐富，數(shù)據(jù)量日益龐大，常規(guī)的逐像素重采樣轉(zhuǎn)換速度勢(shì)必太慢，而分圖幅或者分區(qū)塊平移又不能滿足精度要求。本文將就影像圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換基本理論和快速轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行闡述和分析。

1影像圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

測(cè)繪成果坐標(biāo)轉(zhuǎn)換包括幾何變換和投影變換兩種類型，其中幾何變換多為二維坐標(biāo)系，三維高程一般要?dú)w化到橢球體和抵償面來(lái)考慮；投影變換是基于橢球體參數(shù)嚴(yán)密的空間坐標(biāo)變換，包括投影正算和投影反算。影像圖坐標(biāo)系統(tǒng)一般為平面坐標(biāo)系統(tǒng)，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，常用的模型有以下幾種：

1.1 二維七參數(shù)模型

二維七參數(shù)模型是基于橢球體嚴(yán)密的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，包括三個(gè)平移參數(shù)、三個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和一個(gè)尺度參數(shù)，適用如全國(guó)和省級(jí)大區(qū)域范圍不同橢球體坐標(biāo)系統(tǒng)間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，具體公式如下：

（1）

其中：

同一點(diǎn)位在兩個(gè)坐標(biāo)系下的緯度差、經(jīng)度差，單位為弧度，

橢球長(zhǎng)半軸差（單位為米）、扁率差（無(wú)量綱），

平移參數(shù)，單位為米，

旋轉(zhuǎn)參數(shù)，單位為弧度，

m 尺度參數(shù)（無(wú)量綱）。

1.2 平面四參數(shù)模型

平面四參數(shù)模型是一種基于二維平面綜合縮放、旋轉(zhuǎn)和平移三種幾何變換的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，其特點(diǎn)是不改變?cè)瓐D形的幾何形狀，適用于范圍不大的局部區(qū)域坐標(biāo)系統(tǒng)間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，具體公式如下：

（2）

其中：為平移參數(shù)，α為旋轉(zhuǎn)參數(shù)，m為尺度參數(shù)。

1.3 仿射變換模型

仿射變換模型和平面四參數(shù)模型都是基于二維平面的幾何變換，區(qū)別在于平面四參數(shù)在X和Y方向縮放比例是一致，是整體性的幾何變換，而仿射變換的縮放比例在X方向和Y方向是不同的。如果設(shè)s=1+m,將平面四參數(shù)公式（2）展開(kāi)如下：

（3）

設(shè)X方向縮放比例為s1，Y方向縮放比例為s2，則公式3變?yōu)椋?/p>

（4）

設(shè)則公式4變?yōu)榈湫偷姆律渥儞Q公式：

（5）

從上述推導(dǎo)過(guò)程看，顯然平面四參數(shù)是仿射變換的一種特例，如果原坐標(biāo)系統(tǒng)和目的坐標(biāo)系統(tǒng)的公共點(diǎn)存在系統(tǒng)誤差或者局部形變，使用平面四參數(shù)轉(zhuǎn)換公共點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生較大間隙，這時(shí)使用仿射變換就更為適合。仿射變換一般用于糾正原始圖形圖像中存在的誤差、糾正掃描圖紙產(chǎn)生的變形。

1.4 多項(xiàng)式逼近模型

多項(xiàng)式逼近模型采用曲面形態(tài)來(lái)模擬兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)之間坐標(biāo)點(diǎn)的映射關(guān)系，通過(guò)若干已知點(diǎn)對(duì)采用最小二乘法求解多項(xiàng)式參數(shù)，確定曲面起伏形態(tài)，求解原坐標(biāo)值所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)坐標(biāo)值。二次多項(xiàng)式變換是最常用的一種多項(xiàng)式變換，其公式如下：

（6）

平面四參數(shù)模型和仿射變換模型實(shí)質(zhì)都是線性轉(zhuǎn)換,如果兩個(gè)坐標(biāo)系之間局部性系統(tǒng)誤差或形變較為明顯時(shí),采用二次或者高次多項(xiàng)式逼近則更為精確，能夠消弱兩坐標(biāo)系統(tǒng)之間的旋轉(zhuǎn)、平移和地球橢球參數(shù)不同引起的誤差, 可以滿足更高的精度要求。從理論上講,只要選擇適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式階數(shù)和系數(shù), 就可以逼近到任意的程度, 并且保證點(diǎn)與點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的可逆連續(xù)轉(zhuǎn)換的特性。

2影像圖坐標(biāo)快速轉(zhuǎn)換方法

2.1 基本思路

正射影像圖的數(shù)據(jù)主體是一種行列式格網(wǎng)結(jié)構(gòu)體，行列式矩陣結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)就是其坐標(biāo)是按行列以固定值增量變化的，并且對(duì)于正射影像圖來(lái)說(shuō)，X方向和Y方向坐標(biāo)變化量是一般相同的?；谶@一特點(diǎn)我們可以找一個(gè)計(jì)算速度快的簡(jiǎn)單坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式替代計(jì)算速度慢的復(fù)雜公式。如果單個(gè)圖像范圍過(guò)大，可以考慮對(duì)原圖像按1/4進(jìn)行矩形劃分后逐區(qū)域進(jìn)行轉(zhuǎn)換。這種快速的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式需要滿足以下3個(gè)條件：

（1）目的x＇坐標(biāo)或者y＇坐標(biāo)的變化對(duì)于原X坐標(biāo)和Y坐標(biāo)的影響是一固定值。設(shè)影像地面分辨率為g,a、b、c和d為固定數(shù)值，則應(yīng)滿足如下條件公式：

（7）

（2）滿足接邊精度要求，即分區(qū)進(jìn)行影像圖坐標(biāo)變換能夠保證邊界上的連續(xù)性；

（3）滿足影像圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換平面精度要求。

設(shè)， 則公式（3）變?yōu)槠矫嫠膮?shù)的線性化形式：

（8）

設(shè)kp=k1*k1+k2*k2,則得出公式8的逆向公式9，用于由目的標(biāo)坐標(biāo)計(jì)算原坐標(biāo)。

（9）

將公式（9）套入公式（7）中，顯然滿足條件1的要求。類似推導(dǎo)，易得出仿射變換也滿足條件1的要求。

仿射變換具有“保持共線三點(diǎn)的單比不變”等性質(zhì)，能夠保證圖像在分區(qū)邊界上保持原來(lái)的連續(xù)性，所以能夠保證滿足接邊精度要求。平面四參數(shù)是仿射變換的一種特例，自然具有相同的性質(zhì)，也能夠滿足接邊精度要求。

是否能夠滿足條件（3），需要通過(guò)具體計(jì)算進(jìn)行精度評(píng)估。當(dāng)圖像區(qū)域范圍過(guò)大以至于不能滿足精度要求時(shí)，可以采用矩形分區(qū)逐步縮小范圍的方式解決。具體來(lái)說(shuō)可以采用如圖1所示的4+5九點(diǎn)法進(jìn)行參數(shù)計(jì)算和精度評(píng)估，使用原復(fù)雜的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型可以計(jì)算出高精度的9個(gè)同名點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)，其中區(qū)域四角4個(gè)實(shí)心黑點(diǎn)用于系數(shù)求解，另外中心和四邊5個(gè)空心點(diǎn)用于精度評(píng)估。如果這5個(gè)點(diǎn)的兩種模型計(jì)算出的坐標(biāo)差值都在精度范圍內(nèi)則表示滿足精度要求，反之則不滿足。

2.2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法流程

采用4+5九點(diǎn)法進(jìn)行參數(shù)計(jì)算和精度評(píng)估，其中參數(shù)計(jì)算可以采用最小二乘法求解，求出影像圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換分區(qū)范圍。一般來(lái)說(shuō)，如果是標(biāo)準(zhǔn)分幅的影像圖，單幅圖范圍完全能夠滿足精度要求。下面便以平面四參數(shù)轉(zhuǎn)換公式為例，采用自然語(yǔ)言描述分區(qū)或者分幅影像圖的快速坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法流程如下：

（1）計(jì)算目的圖像的范圍，采用與原圖像相同的地面分辨率,計(jì)算出其行數(shù)->nrow,列數(shù)->ncol,計(jì)算目的圖像左上角在原影像圖坐標(biāo)系中的坐標(biāo)tx,ly；

（2）應(yīng)用公式（9）和公式（7），計(jì)算出ag、bg、cg、dg的值；

（3）i = 0；

（4）lx->x, ty->y；

（5）j = 0；

（6）采用雙線性插值法從原圖像中內(nèi)插出目的圖像位于i行j列位置的像素值；

（7）j+1->j, x+bg->x, y+dg->y；

（8）如果j小于ncol,轉(zhuǎn)到步驟6執(zhí)行，否則轉(zhuǎn)到步驟9執(zhí)行；

（9）i+1->i, lx+ag->lx, ty+cg->ty；

（10）如果i小于nrow, 轉(zhuǎn)到步驟（4）執(zhí)行，否則,算法結(jié)束。

從上述過(guò)程中可以看出除了前2步涉及到一次復(fù)雜的坐標(biāo)計(jì)算外，其余的步驟都是采用簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算代替坐標(biāo)計(jì)算，必然能夠大幅提高程序的運(yùn)算速度。

3實(shí)驗(yàn)分析

本文選取東經(jīng)111°～114°、北緯27°30′～28°30′間的區(qū)域?yàn)閷?shí)驗(yàn)區(qū)（圖2），在該區(qū)域選取18幅1:1000影像圖，影像圖地面分辨率為0.1米，標(biāo)準(zhǔn)的50cm×50cm矩形分幅，其中左邊圖1～9的中央子午線為111°，其余右邊圖10～18的中央子午線為114°?，F(xiàn)要將這18幅都換帶為112°30′，分別采用常規(guī)高斯投影正反算和平面四參數(shù)模擬的投影換帶的方式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，比較兩種方式的計(jì)算精度和運(yùn)行時(shí)間，具體結(jié)果見(jiàn)表1。

在使用平面四參數(shù)模擬投影換帶進(jìn)行影像圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)，通過(guò)表1中的數(shù)據(jù)我們可以得出以下結(jié)論：

（1）模擬精度高且誤差分布均勻。18幅圖九點(diǎn)法解算系數(shù)的最大較差、全圖范圍最大較差和中誤差這3列中的最大誤差值均優(yōu)于1/200像素，精度非常高，且從表中我們可以看出18幅圖各項(xiàng)誤差值的變化非常小，說(shuō)明誤差分布很均勻。

（2）平面四參數(shù)模擬法提高計(jì)算速度在千倍以上。

（3）18幅圖“全圖范圍最大較差”都小于“九點(diǎn)法精度評(píng)估最大較差”,從實(shí)例證明九點(diǎn)法精度評(píng)估能夠預(yù)計(jì)全圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的誤差范圍，保證影像圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度。

4結(jié)語(yǔ)

本文闡述了使用仿射變換（包括平面四參數(shù)）分幅分區(qū)模擬計(jì)算量大復(fù)雜的影像圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的原理和方法,并通過(guò)實(shí)例分析證明這種模擬方法能夠極大提高計(jì)算速度；九點(diǎn)法精度評(píng)估能夠準(zhǔn)確計(jì)算轉(zhuǎn)換系數(shù)和預(yù)計(jì)全圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的誤差范圍，保證影像圖坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度。但是由于實(shí)際情況多樣性和復(fù)雜性，本方法不一定適用于模擬所有的復(fù)雜坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，實(shí)際使用時(shí)需要進(jìn)行分析計(jì)算來(lái)評(píng)估是否適用。