吳 曄， 朱曉峰， 陳峻山

（上海無(wú)線電設(shè)備研究所，上海200090）

0 引言

采用俯仰和偏航二軸框架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定平臺(tái)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單緊湊、兩通道相互耦合小、物理含義清晰、信息處理簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于紅外、激光、雷達(dá)等各種體制的導(dǎo)引頭，滿足單點(diǎn)式或成像式導(dǎo)引頭截獲和跟蹤的需要［1］。該類穩(wěn)定平臺(tái)在結(jié)構(gòu)上將俯仰框裝于偏航框上，但實(shí)際使用時(shí)卻常將俯仰和偏航分為相互獨(dú)立的通道分別設(shè)計(jì)［2］，并在工程中得到成功應(yīng)用，查找文獻(xiàn)未見(jiàn)原因說(shuō)明。

隨著捷聯(lián)慣導(dǎo)、捷聯(lián)導(dǎo)引頭等技術(shù)的發(fā)展以及導(dǎo)彈的功能和性能越來(lái)越高的要求，從事導(dǎo)引頭、彈體控制、導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的研究人員對(duì)導(dǎo)引頭探測(cè)器相關(guān)的軸角關(guān)系越來(lái)越關(guān)注，用于解決導(dǎo)引頭交班、信息處理等問(wèn)題［3-5］，因此研究傳統(tǒng)俯仰和偏航二軸穩(wěn)定平臺(tái)的各轉(zhuǎn)角關(guān)系及簡(jiǎn)化方式，對(duì)新技術(shù)、新要求的應(yīng)用具有研究參考價(jià)值。

本文基于導(dǎo)引頭相關(guān)坐標(biāo)系，應(yīng)用源于歐拉（Euler）定理的歐拉法［6］，推導(dǎo)了雷達(dá)導(dǎo)引頭俯仰和偏航二軸穩(wěn)定平臺(tái)的失調(diào)角、框架角、姿態(tài)角、視線角等角度之間的幾何關(guān)系，結(jié)合工程實(shí)際應(yīng)用，提出角度間的簡(jiǎn)化公式，將俯仰和偏航分離為相互獨(dú)立的兩個(gè)通道，并分析簡(jiǎn)化后的引入誤差。為簡(jiǎn)化問(wèn)題分析，本文僅討論“十-十”氣動(dòng)布局的導(dǎo)彈情況。

1 與導(dǎo)引頭有關(guān)的坐標(biāo)系

與導(dǎo)引頭有關(guān)的坐標(biāo)系有彈上參考坐標(biāo)系Oxyz、彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1、導(dǎo)彈視線坐標(biāo)系Oxsyszs、彈上測(cè)量坐標(biāo)系Oxmymzm［7］，其中彈上參考坐標(biāo)系的方向相對(duì)慣性坐標(biāo)系不變，彈體坐標(biāo)系用于研究彈體姿態(tài)偏航角ψ、俯仰角? 和滾動(dòng)角γ，導(dǎo)彈視線坐標(biāo)系用于研究彈上視線方位角qH和高低角qB，彈上測(cè)量坐標(biāo)系用于研究導(dǎo)引頭天線等探測(cè)裝置的自身運(yùn)動(dòng)和目標(biāo)探測(cè)。

彈上測(cè)量坐標(biāo)系Oxmymzm建在導(dǎo)引頭天線上，其原點(diǎn)為天線旋轉(zhuǎn)中心，考慮到彈目距離遠(yuǎn)大于彈體長(zhǎng)度，彈體又具有足夠剛度，為討論簡(jiǎn)單，將該坐標(biāo)系原點(diǎn)也轉(zhuǎn)移到其它三個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則在平臺(tái)零位狀態(tài)時(shí)彈上測(cè)量坐標(biāo)系Oxmymzm與彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1重合。

2 平臺(tái)中軸角關(guān)系和簡(jiǎn)化

2.1 框架角

依次轉(zhuǎn)動(dòng)偏航框架角ψa 和俯仰框架角?a后，測(cè)量坐標(biāo)系Oxmymzm的Oxm軸與彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1的Ox1軸的夾角為φa，如圖1所示。

圖1 彈上測(cè)量坐標(biāo)系與彈上執(zhí)行坐標(biāo)系之間的關(guān)系

由AB ⊥OB，BC ⊥OC，得到OC ⊥AC，因此φa與ψa、?a的關(guān)系為

角度φa、ψa、?a均較小時(shí)，認(rèn)為OA ＝1≈OB≈OC，則近似得到

由AB2+BC2＝AC2得到

取

則得到簡(jiǎn)化方式為

通過(guò)式（5）將圖1表示的空間幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖2表示的平面角度矢量關(guān)系，即偏航框架角ψa和俯仰框架角?a相互正交獨(dú)立，測(cè)量裝置敏感軸Oxm相對(duì)彈體坐標(biāo)系Ox1軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角φa 由ψa和?a矢量相加而合成。

圖2 框架角的簡(jiǎn)化平面矢量圖

2.2 角預(yù)定

角預(yù)定的目的是將導(dǎo)引頭天線指向預(yù)先對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)或前置一個(gè)角度，以便目標(biāo)回波信號(hào)能準(zhǔn)確落在導(dǎo)引頭回波天線波束范圍內(nèi)，保證導(dǎo)引頭截獲目標(biāo)。角度預(yù)裝由彈上計(jì)算機(jī)給出角預(yù)定信號(hào)，提供給導(dǎo)引頭角預(yù)定回路來(lái)執(zhí)行。角預(yù)定回路是位置伺服回路，裝在穩(wěn)定平臺(tái)內(nèi)外框二個(gè)執(zhí)行軸上的電位器測(cè)量框架角信號(hào)，當(dāng)該信號(hào)與預(yù)定信號(hào)平衡時(shí)，預(yù)定功能完成。

當(dāng)彈上計(jì)算機(jī)給出導(dǎo)彈視線預(yù)裝的方位角qH和高低角qB后，則預(yù)裝的視線指向Oxs軸在參考坐標(biāo)系Oxyz中確定。在導(dǎo)彈偏航角ψ、俯仰角?和滾動(dòng)角γ已知時(shí)，由參考坐標(biāo)系Oxyz依次轉(zhuǎn)動(dòng)偏航角、俯仰角和滾動(dòng)角得到彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1，再通過(guò)穩(wěn)定平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)偏航框架角ψa 和俯仰框架角?a將彈上測(cè)量坐標(biāo)系Oxmymzm的Oxm軸與Oxs軸重合，完成角預(yù)定。

設(shè)導(dǎo)彈視線坐標(biāo)系Oxsyszs中預(yù)裝的目標(biāo)在Oxs軸上有單位矢量，得到該矢量在參考坐標(biāo)系Oxyz 上的坐標(biāo)點(diǎn)為

同理，當(dāng)完成角預(yù)定后，該矢量落在Oxm軸上，得到該矢量在參考坐標(biāo)系Oxyz 上的坐標(biāo)點(diǎn)為

由Oxs軸上單位矢量在參考坐標(biāo)系Oxyz 上的坐標(biāo)點(diǎn)與Oxm軸上單位矢量在參考坐標(biāo)系Oxyz 上的坐標(biāo)點(diǎn)相等，計(jì)算得到偏航框架角ψa和俯仰框架角?a。導(dǎo)彈通常能夠獲取預(yù)裝目標(biāo)在參考坐標(biāo)系上的坐標(biāo)（x，y，z），通過(guò)歸一化使x2+y2+z2＝1，則利用上兩式也可得到偏航框架角ψa 和俯仰框架角?a。

若無(wú)導(dǎo)彈姿態(tài)角的影響，即ψ＝?＝γ＝0°條件下，則由式（6）和式（7）相等得

即視線預(yù)裝分別由對(duì)應(yīng)通道轉(zhuǎn)動(dòng)相應(yīng)框架角來(lái)實(shí)現(xiàn)。

若姿態(tài)角較小，即設(shè)γ＝0°，ψ 和? 較小，則得

將上式與式（6）比較得到簡(jiǎn)化公式：

因此在彈體姿態(tài)變化時(shí)，視線預(yù)裝分別由對(duì)應(yīng)通道轉(zhuǎn)動(dòng)相應(yīng)框架角和補(bǔ)償姿態(tài)角來(lái)實(shí)現(xiàn)。

2.3 視線穩(wěn)定

由式（6）可知，導(dǎo)彈視線坐標(biāo)系Oxsyszs由參考坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈視線方位角qH和高低角qB得到。當(dāng)導(dǎo)引頭跟蹤目標(biāo)時(shí)，彈上測(cè)量坐標(biāo)系Oxmymzm的Oxm軸與Oxs軸重合，為隔離彈體姿態(tài)角對(duì)視線的影響，在彈上測(cè)量坐標(biāo)系Oxmymzm的Oym軸和Ozm軸上分別安裝了偏航和俯仰速率陀螺，即兩個(gè)陀螺與天線固聯(lián)在一起。這樣，在角預(yù)定后導(dǎo)引頭截獲目標(biāo)前，接通陀螺反饋構(gòu)成穩(wěn)定回路，形成簡(jiǎn)易穩(wěn)定平臺(tái)，使測(cè)量軸Oxm在參考坐標(biāo)系內(nèi)保持不變。

設(shè)穩(wěn)定回路接通時(shí)刻偏航框架角為ψa0 和俯仰框架角?a0，對(duì)應(yīng)的彈體姿態(tài)角分別為偏航角ψ0、俯仰角?0和滾動(dòng)角γ0，則彈上測(cè)量坐標(biāo)系Oxmymzm在天線指向上單位矢量在參考坐標(biāo)系Oxyz 的值為

當(dāng)彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1變化時(shí)，彈體姿態(tài)角變化到偏航角ψ1、俯仰角?1和滾動(dòng)角γ1，在穩(wěn)定回路的理想作用下，天線指向在參考坐標(biāo)系內(nèi)仍保持不變，則彈體變化使穩(wěn)定平臺(tái)偏航框架角變?yōu)棣譨1和俯仰框架角變?yōu)?a1，其值可由下列公式求得

參照式（10）處理方法，在姿態(tài)角較小時(shí)，可近似得

由上式看到，在穩(wěn)定回路的理想作用下，彈體姿態(tài)角的變化只引起穩(wěn)定平臺(tái)兩個(gè)通道框架角的變化，視線穩(wěn)定由兩個(gè)通道隨對(duì)應(yīng)彈體姿態(tài)變化分別反轉(zhuǎn)相應(yīng)框架角來(lái)實(shí)現(xiàn)。

2.4 失調(diào)角

采用單脈沖測(cè)角方式的雷達(dá)導(dǎo)引頭，通過(guò)天線和接收機(jī)測(cè)得視線與天線電軸失調(diào)角ε 在偏航、俯仰兩個(gè)測(cè)量通道的分量εy、εz，這兩個(gè)失調(diào)角分別是彈目標(biāo)視線在彈上測(cè)量坐標(biāo)系Oxmymzm兩個(gè)正交平面xmOzm和xmOym的投影與Oxm軸的夾角，如圖3所示，圖中T 為目標(biāo)，φε為平面TOA 和xmOym的夾角。

由圖3得

圖3 視線在彈上測(cè)量坐標(biāo)系的測(cè)量值

即

實(shí)際使用過(guò)程中，尤其在跟蹤狀態(tài)時(shí)，失調(diào)角ε、εy、εz均較小，設(shè)OT 長(zhǎng)度為R，則OA、OB、OC長(zhǎng)度均近似為R，即AT＝Rε，AC＝Rεy，AB＝，得

通過(guò)式（17）將圖3表示的空間幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖4表示的平面角度矢量關(guān)系，即偏航、俯仰兩個(gè)相互正交獨(dú)立測(cè)量通道的分量εy、εz合成了視線與天線電軸失調(diào)角ε。

圖4 失調(diào)角的簡(jiǎn)化平面矢量圖

2.5 角跟蹤

通過(guò)角度預(yù)裝將導(dǎo)引頭天線指向目標(biāo)附近，此時(shí)導(dǎo)引頭截獲，按圖3測(cè)量得到視線與天線電軸失調(diào)角ε在偏航、俯仰兩個(gè)測(cè)量通道的分量εy、εz，這兩個(gè)分量控制穩(wěn)定回路減小失調(diào)角，試圖將彈上測(cè)量坐標(biāo)系Oxmymzm的Oxm軸與視線重合，也即與導(dǎo)彈視線坐標(biāo)系Oxsyszs的Oxs軸重合。

在無(wú)彈體姿態(tài)影響時(shí)，偏航需轉(zhuǎn)動(dòng)框架角Δψa，俯仰需轉(zhuǎn)動(dòng)框架角Δ?a，才可使天線電軸與視線重合，如圖5所示。

圖5 失調(diào)角與框架角的關(guān)系

由圖得到

在跟蹤狀態(tài)時(shí)失調(diào)角εy較小，由cosεy＝cosΔψa ≈1，得

由式（18）和式（20）可知，在無(wú)彈體姿態(tài)影響時(shí)，測(cè)得偏航、俯仰各自失調(diào)角分量分別轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)通道的框架角即可實(shí)現(xiàn)角跟蹤。存在彈體姿態(tài)變化時(shí)，則還需按式（13）由穩(wěn)定回路轉(zhuǎn)動(dòng)相應(yīng)框架角來(lái)消除彈體姿態(tài)的影響。

2.6 各軸角間的簡(jiǎn)化關(guān)系

按照框架角、角度預(yù)裝、視線穩(wěn)定、失調(diào)角和角跟蹤中提到的軸角關(guān)系，采用簡(jiǎn)化公式后，可以將俯仰和偏航兩個(gè)正交通道相互獨(dú)立開(kāi)來(lái)。以俯仰通道為例按單通道工作整理各軸角關(guān)系，并簡(jiǎn)化符號(hào)為失調(diào)角ε、框架角φ、姿態(tài)角?、視線角q。參照角度預(yù)裝的分析方式，可以得到天線電軸相對(duì)參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)角θ的簡(jiǎn)化關(guān)系為

再參照角跟蹤分析，可以得到

得到俯仰通道各軸角的一維簡(jiǎn)化關(guān)系圖如圖6所示，將帶正余弦的復(fù)雜關(guān)系簡(jiǎn)化為線性關(guān)系。

圖6 導(dǎo)引頭角度關(guān)系簡(jiǎn)化示意圖

圖中基準(zhǔn)為參考坐標(biāo)系的Ox 軸，彈軸為彈體坐標(biāo)系的Ox1軸，天線電軸為彈上測(cè)量坐標(biāo)系的Oxm軸，目標(biāo)為導(dǎo)彈視線坐標(biāo)系的Oxs軸。

3 簡(jiǎn)化引入的誤差

3.1 框架角簡(jiǎn)化的誤差

由式（5）選取不同的φa，隨著β（0°～90°）變化，精確式（1）與簡(jiǎn)化式（3）得到的合成角誤差曲線如圖7所示。

圖7 框架角簡(jiǎn)化公式的誤差曲線

由圖看到，φa 越大簡(jiǎn)化公式的誤差越大；φa 不變則β＝45°時(shí)，ψa ＝?a，簡(jiǎn)化公式的誤差最大；φa＝60°時(shí)簡(jiǎn)化公式的誤差最大為3°。由于結(jié)構(gòu)空間的限制，俯仰和偏航二軸穩(wěn)定平臺(tái)的框架角很難突破±60°，因此采用簡(jiǎn)化式（5）引入的誤差不會(huì)大于3°。在實(shí)際進(jìn)行角預(yù)定時(shí)，彈上計(jì)算機(jī)應(yīng)根據(jù)具體指標(biāo)要求并結(jié)合式（10）來(lái)確定視線預(yù)裝角。

3.2 失調(diào)角簡(jiǎn)化的誤差

由式（17）選取不同的ε，隨著β（0°～90°）變化，精確式（15）與簡(jiǎn)化式（16）得到的合成角誤差曲線如圖8所示。

圖8 失調(diào)角簡(jiǎn)化公式的誤差曲線

由圖看到，ε越大簡(jiǎn)化公式的誤差越大；ε不變則β＝45°時(shí)，εy＝εz，簡(jiǎn)化公式的誤差最大。在實(shí)際使用中，一般ε均小于10°，簡(jiǎn)化式（17）引入的誤差不會(huì)大于0.05°，滿足導(dǎo)引頭的使用要求，因此實(shí)際應(yīng)用時(shí)，直接由各自通道測(cè)得的失調(diào)角分量形成視線角速度去控制彈體對(duì)應(yīng)通道的舵機(jī)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文應(yīng)用歐拉法推導(dǎo)了雷達(dá)導(dǎo)引頭俯仰和偏航二軸穩(wěn)定平臺(tái)中各角度之間的關(guān)系，為導(dǎo)引頭天線位置控制提供了依據(jù)，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用方向余弦法、四元數(shù)法等無(wú)奇點(diǎn)算法，可開(kāi)展更深入、更廣泛的研究工作，對(duì)于捷聯(lián)導(dǎo)引頭的信息處理也有一定的參考價(jià)值。在誤差允許的條件下，采用簡(jiǎn)化公式可以將俯仰和偏航兩個(gè)通道相互分離，簡(jiǎn)化了二軸穩(wěn)定平臺(tái)的分析研究，使實(shí)際工程應(yīng)用更方便。

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