摘 要：時(shí)域內(nèi)常用的幾種圖像縮放算法有：最近鄰插值、線性插值、二次插值、三次插值、拉格朗日插值、高斯插值等，對這些算法的性能進(jìn)行分析比較，綜合通帶、阻帶及截止頻率，最近鄰插值和線性插值應(yīng)該避免，高斯基函數(shù)(N較大者)具有較好性能；并且在頻域內(nèi)研究了二維可分離插值濾波器和不可分離插值濾波器，這兩種方法以對通帶和阻帶的要求作為優(yōu)化目標(biāo)，以濾波器的結(jié)構(gòu)為約束條件，將濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)約束優(yōu)化問題進(jìn)行解決；實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明二維不可分離插值濾波器的方法圖像縮放后的效果最好。



關(guān)鍵詞：插值濾波器; 圖像尺度變換; 變量分離; 采樣率轉(zhuǎn)換

中圖分類號：

TN911.7334； TP391

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004373X(2012)05

0048

04

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Research on image scaling algorithm



LI Xiuying1， YUAN Hong1

(1.Dept. of Mathematic Physics， Shanghai University of Electric Power， Shanghai 200090， China； 

2.Dept. of Mathematics， Linyi Normal University， Linyi 276005， China)



Abstract：

There are several kinds of image scaling methods in time domain: nearest neighbor interpolation， linear interpolation， quadratic interpolation， cubic interpolation， Lagrange interpolation， Gaussian interpolation， etc. The performance of these methods are compared according to passband， stopband and cutoff frequency. The result shows that the nearest interpolation and the linear interpolation should be avoided， and Gaussian basis function whose N value is larger has better performance. The 2D nonseparable interpolation filter and 2D separable interpolation filter are studied. With the requirements of passband and stopband as optimizing target， and the structure of filter as constraint condition， the filter design for them is converted into an optimization problem. The experiment result shows that the 2D nonseparable interpolation filter has better performance.



Keywords： interpolation filter; image scaling; separating variable; sampling rate conversion





收稿日期：20111108

基金項(xiàng)目：上海市科委項(xiàng)目(071605123);上海優(yōu)秀青年基金(B01691)

0 引 言

在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要對數(shù)字圖像進(jìn)行尺度轉(zhuǎn)換，在改變圖像尺寸方面，文獻(xiàn)［18］提出了通過三次樣條插值、三次卷積插值、二維快速傅立葉變換進(jìn)行圖像尺寸轉(zhuǎn)換的方法；這些算法比較簡單，性能受到了明顯的限制。

圍繞圖像縮放技術(shù)，本文對時(shí)域內(nèi)各種算法的性能進(jìn)行分析比較，并且在頻域內(nèi)研究了二維可分離插值濾波器和不可分離插值濾波器，這兩種方法都是將對通帶和阻帶的要求作為優(yōu)化的目標(biāo)，以濾波器的結(jié)構(gòu)為約束條件，將濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)約束優(yōu)化問題進(jìn)行解決。

1 時(shí)域縮放算法

1.1 最近鄰插值

最近鄰插值，是用圖像中的特定點(diǎn)的像素值填充縮放后的圖像，即將原始的信號進(jìn)行逐點(diǎn)處理，把其中的每一點(diǎn)都用其灰度值進(jìn)行m次復(fù)制(m為縮放倍數(shù))，即輸出像素的灰度值等于離它所映射到的位置最近的輸入像素的灰度值。最鄰近插值計(jì)算十分簡單，在許多情況下，其結(jié)果也可令人接受。然而，當(dāng)圖像中包含像素之間灰度級有變化的細(xì)微結(jié)構(gòu)時(shí)，最鄰近插值法會在圖像中產(chǎn)生人工的痕跡，出現(xiàn)明顯的塊狀現(xiàn)象，整幅圖像十分粗糙。

1.2 雙線性插值

線性插值算法由于其較低的計(jì)算量和高于最近鄰域插值的代數(shù)逆合(二階)而被廣泛應(yīng)用。因?yàn)椴捎镁€性插值算法在對圖像的放大是對行列信號作兩次處理后得到的，所以稱這種方法為雙線性插值。但是，它通常會平滑掉圖像中許多重要的高頻信息。

雙線性插值比最鄰近域法產(chǎn)生的圖像平滑，但當(dāng)放大倍數(shù)增大時(shí)，放大后的圖像會出現(xiàn)明顯的塊狀現(xiàn)象。線性插值基本思想就是把目標(biāo)點(diǎn)附近的原始點(diǎn)的灰度值按一定的權(quán)值相加。

1.3 二次插值

二次插值采用對稱二次多項(xiàng)式：



Quadh3(x)=－2ax2+1/2(a+1)，

0≤x<1/2

ax2－(2a+1/2)x+3/4(a+1)，

1/2≤x<3/2

0，其他

(1)



1.4 三次插值

三次插值也稱三次卷積插值，高精度三次樣條插值或者雙三次插值［1014］，它是sin x/x的一個(gè)近似。其表達(dá)式為：



φa(t)=(a+2)t3－(a+3)t2+1，t<1

at3－5at2+8a|t|－4a，1≤t<2

0，2≤t

(2)



式中a為正則化參數(shù)。

1.5 三次B樣條插值

三次B樣條曲線是由多條三次多項(xiàng)式曲線拼接而成，整條曲線二階連續(xù)可導(dǎo)。對于三次B樣條曲線，設(shè)其控制點(diǎn)為P0，P1，…，Pn。第i段曲線可以用矩陣形式表示為：

在圖像放大時(shí)，需要由圖像上的點(diǎn)反算出B樣條控制頂點(diǎn)，這就是B樣條曲線的逆問題。討論三次B樣條，從每一小段三次B樣條曲線的端點(diǎn)與控制頂點(diǎn)的關(guān)系：

求出控制點(diǎn)P0，P1，…，Pn以后，將其代入式(3)，用新的采樣間隔選取t值，可以得到一組新的采樣點(diǎn)作為放大后圖像上的點(diǎn)。

1.6 拉格朗日插值

自由度為N-1的拉格朗日插值基函數(shù)定義為：



LagrahN(x)=

∏N-1j=0j-N/2+1≠nn-i-xn-i， n-1≤x≤n

0，其他

(6)



式中i=j-N/2+1。

1.7 高斯插值

M階高斯插值基函數(shù)：





GausshMN(x)=

∑Mm=0am·Gm(x，βm)，0≤x≤n/2

0，其他

(7)



式中Gm(x，βm)=mum12βe－x2/2β。

時(shí)域內(nèi)各種方法性能比較：

通帶：最近鄰插值和線性插值以及二次插值在通帶內(nèi)偏離理想的矩形形狀較大。因此在做插值時(shí)圖像將被平滑，這些方法僅使適用于沒有尖邊和局部高對比區(qū)域的場景圖像。最好的通帶特性可以由三次B樣條插值、三次插值和具有較大核尺寸的拉格朗日插值及所有的高斯基函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

截止頻率：三次B樣條插值以及三次插值、拉格朗日、高斯基函數(shù)(N>4)具有較好性能。最糟糕的是最近鄰插值?？紤]到截止標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該避免使用線性插值。

阻帶：阻帶特性影響到混疊和波紋效果。最近鄰插值、線性插值、二次插值、4×4三次插值和拉格朗日插值產(chǎn)生波紋和旁瓣大于1%。截?cái)郍aussian函數(shù)低于0.1%。

綜合通帶、阻帶及截止頻率的傅里葉分析，最近鄰插值和線性插值應(yīng)該避免，高斯基函數(shù)(N較大者)具有較好性能。

2 頻域縮放算法

在頻域里可以根據(jù)對阻帶和通帶的技術(shù)要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而能夠保證良好的通阻帶特性，以盡量減少在圖像縮放時(shí)的失真。

2.1 二維快速傅里葉變換法

對于時(shí)域數(shù)據(jù)的頻譜圖，如果從頻譜圖中去掉一些頻率分量，然后作IFFT，得到時(shí)域數(shù)據(jù)，可以實(shí)現(xiàn)對圖像的縮小。而如果在頻譜中加入一些零值，再作IFFT，得到時(shí)域數(shù)據(jù)，則可實(shí)現(xiàn)對圖像的放大。二維快速傅里葉變換法是先將時(shí)間序列進(jìn)行傅里葉變換，然后構(gòu)造一個(gè)中間序列，利用這個(gè)中間序列進(jìn)行二維傅里葉逆變換，實(shí)現(xiàn)圖像縮放［14］。

2.2 二維可分離插值濾波

文獻(xiàn)［14］提出一種分離變量的有理因子圖像尺寸轉(zhuǎn)換方法，即將圖像尺寸的縮放轉(zhuǎn)化為變量可分離的兩個(gè)一維離散信號的采樣率轉(zhuǎn)換來處理：分別沿著圖像的水平方向和垂直方向，在離散域獨(dú)立地進(jìn)行采樣率轉(zhuǎn)換，對圖像的列和行進(jìn)行尺度轉(zhuǎn)換。

在多速率信號處理中，上采樣過程和下采樣過程分別會帶來混疊效應(yīng)和鏡像效應(yīng)，這些效應(yīng)會降低圖像的質(zhì)量，因此必須加以抑制。所以上采樣之后的信號必須經(jīng)過一個(gè)低通濾波器進(jìn)行濾波。在下采樣之前，用一個(gè)低通抗混疊濾波器以限制頻帶是必不可少的。

理想插值濾波器是截止頻率為π/L，通帶增益為L的低通濾波器。引進(jìn)目標(biāo)函數(shù)為：

式中:h0(m)為插值濾波器h(n)的第一個(gè)多相位分量，第三個(gè)條件為正則階條件，正則階條件保證了內(nèi)插尺度濾波器在ω=0附件的平坦性。

抗混疊濾波器g(n)的設(shè)計(jì)同插值濾波器。

2.3 二維不可分離插值濾波

二維可分離插值濾波器將二維圖像信號分為水平方向和垂直方向的一維信號，使問題得到簡化，但為了更好地保持圖像的重要細(xì)節(jié)信息，可以采用二維不可分離的插值濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。由于不可分插值濾波器的優(yōu)化自由度比可分插值濾波器的高得多，在相同通帶和阻帶性能要求下，不可分插值濾波器支撐區(qū)更小，空間局部性更好，從而在圖像尺寸轉(zhuǎn)換過程中能夠更好地保持原有圖像的重要信息［15］。

二維不可分對稱插值濾波器設(shè)計(jì)可以描述成下面一個(gè)帶線性約束的二次優(yōu)化問題：

二維可分離和不可分插值濾波器由于需要求解最優(yōu)函數(shù)，因此需要較長的計(jì)算時(shí)間，對于那些對轉(zhuǎn)換速度要求比較高的場合不太適合，但由于這兩種方法由于可以嚴(yán)格保證通帶和阻帶性能，因此變換后的圖像具有較好的質(zhì)量，因此這兩種方法適宜質(zhì)量要求高，而對速度要求不是太高的場合。

3 圖像縮放實(shí)例

幾種圖像尺寸縮放方法的示例如圖1所示。從圖1中不難看出幾種方法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，其中二維不可分離插值濾波器器的方法放大后的圖像效果最好。

4 結(jié) 語

本文從頻域和時(shí)域出發(fā)，簡要介紹了幾種常見的圖像尺寸縮放方法，并指出了它們的優(yōu)劣。在進(jìn)行插值方法選擇時(shí)，應(yīng)盡量避免使用最近鄰插值和線性插值兩種方法，而選用高斯插值，若對圖像轉(zhuǎn)換質(zhì)量要求非常高，建議采用二維不可分插值方法。

參 考 文 獻(xiàn)

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作者簡介：

李秀英 女，山東臨沂人，碩士。主要研究方向?yàn)閳D像處理、計(jì)算數(shù)學(xué)。

(上接第47頁)

和V參數(shù)SVM不同核函數(shù)及每個(gè)核函數(shù)的不同參數(shù)實(shí)驗(yàn)，對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比分析，得到NuSVM V參數(shù)支持向量機(jī)的分類效果好，能準(zhǔn)確地從信號的相關(guān)分析中獲取煙氣輪機(jī)的正常工作狀態(tài)與故障狀態(tài)?；谥С窒蛄繖C(jī)的煙氣輪機(jī)故障診斷還可以延續(xù)到對故障類別的具體分析，從模型的故障狀態(tài)系數(shù)可以對故障狀態(tài)下的樣本進(jìn)行再訓(xùn)練，尋找最佳支持向量，并再分類，以此類推，從而獲得故障的多類型，對煙氣輪機(jī)故障狀態(tài)的預(yù)測具有十分重要的意義。

參 考 文 獻(xiàn)

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作者簡介：

王淑芳 女，1961年出生，山東威海人，高級工程師。主要研究方向?yàn)橹悄軝z測與控制。