摘 要：在分析CORDIC算法原理基礎上，提出了一種基于CORDIC算法的流水型DDS結構，用以取代傳統(tǒng)的ROM查找表法。同時對輸入角度進行預處理，對迭代結果進行后處理，實現(xiàn)了整個周期的三角函數計算。設計采用verilog語言描述，在Quartus Ⅱ 9.0下編譯綜合，以及Modelsimaltera 6.4進行了仿真。結果表明，該算法比傳統(tǒng)算法具有計算角度范圍大、高速度和低資源的優(yōu)勢。

關鍵詞：CORDIC算法； 直接數字頻率合成； 循環(huán)迭代； 流水線

中圖分類號：TN91134 文獻標識碼：A 文章編號：1004373X（2012）22010403

直接數字頻率合成（Direct Digital Synthesis，DDS）技術，最早于1971年，美國學者J.Tierney等撰寫的“A Digital Frequency Synthesizer”一文中提出的［1］。它以有別于其他頻率合成方法具有低成本、低功耗、高分辨率和快速轉換時間等優(yōu)點而得到廣泛的運用。但是傳統(tǒng)的DDS主要運用查找表結構，其存放相位到幅度轉換的查找表ROM的大小和相位精度的位數成指數關系，很難實現(xiàn)數字信號處理中的高精度、高分辨率、實時運算的要求［2］。而采用CORDIC算法的DDS很容易滿足這些要求。

本文提出了基于CORDIC算法的16位流水線并行結構的DDS，替代了傳統(tǒng)的查找表結構。實現(xiàn)了高速，高精度，硬件實現(xiàn)簡單的DDS。CORDIC算法只需要硬件的加、減法器和移位器就可以完成正、余弦函數的計算。

1 CORDIC基本原理

CORDIC 算法最早由J.Volder 于1959年在美國航天控制系統(tǒng)設計中提出［3］，其是一種用于計算運算函數的循環(huán)迭代算法。到1971年，Valther提出了統(tǒng)一的CORDIC算法［4］。如圖1所示，初始向量A（x0，y0）旋轉θ角度之后得到新的向量B（x1，y1），此向量滿足以下關系：x1

y1=cos θ－sin θ

sin θcos θx0

y0

=cos θ1－tan θ

tan θ1x0

y0

（1）

圖1 CORDIC算法圖解假設初始向量經過n次旋轉后得到新的向量，且每次旋轉的角度θi滿足條件tan θi=2－i，則第i次旋轉的角度θi=arctan 2－i。即cos θi=（1+2－2i）－12。引入s（i）={1；－1}，s（i）=1時表示逆時針旋轉，s（i）=－1時表示順時針旋轉。則第i步旋轉的向量關系可以表示為：xi+1

yi+1=cos θi1－si2i

si2i1xi

yi

=（1+2－2i）－121－si2i

si2i1xi

yi

（2）式中cos θi=（1+2－2i）－12稱為校模因子，收斂于一個常數，即∏∞i=0（1+2－2i）－12≈0.607 3

這樣，算法的每一步就可以簡化為：xi+1

yi+1=1－si2i

si2i1xi

yi

（3）式中對于移動角度θ，只需要硬件的移位器、加法器和減法器就可以實現(xiàn)。現(xiàn)在引入變量zi表示第i次旋轉后剩余未旋轉的角度。則zi+1=zi－siarctan 2－i。

2 CORDIC算法的DDS實現(xiàn)

本文設計主要實現(xiàn)正、余弦信號的產生。在高速數字信號處理系統(tǒng)中，系統(tǒng)的運算速度，已經成為衡量系統(tǒng)性能的一個重要指標。CORDIC 算法的實現(xiàn)可分為迭代結構和流水結構2種［56］ 。式（2）是CORDIC算法的迭代結構，傳統(tǒng)的方法是將角度集存放于查找表中，用狀態(tài)機跟蹤迭代過程。那么隨著迭代次數的增加，查找表的地址也隨著增加，而且每次迭代必須在前一次迭代完成后進行［7］。這不適合高速、高精度、實時處理的要求。而采用提高數據吞吐率的流水線結構，極大的提高了處理速度。本文設計了16級并行運算的流水線結構，相對于8級精度得到了很大的提高，但是增加了運算的復雜度。因此必需在精度和速度之間折中。流水結構只需要一個時鐘周期就能輸出一個數據。多級流水結構如圖2所示。

當n→∞旋轉角度和∑∞n=0arctan 2－n≈89.883°，所以只要迭代的次數足夠大，就可以實現(xiàn)－89.883°～89.883°之間的任意角度的轉換。在工程實際應用中，需要對－π～π之間任意角度值進行運算。由于sin θ和cos θ只需計算［0，π/2］便可恢復整個周期的值［810］。本文采用分象限法，將輸入角轉到第一象限之中，此稱為前處理。相位累加器對頻率控制字K進行線性累加，產生輸入相位，用16位的phase_in表示。利用它的最高兩位判斷該相位所在的象限，然后轉入到第一象限中。在同樣的精度下，可以節(jié)約硬件成本。前處理Verilog編寫的代碼如下：

begin

case（phase_in［15：14］）

2'b00：phase_in_reg <= phase_in；

2'b01：phase_in_reg <= phase_in-16'h40_00；

2'b10：phase_in_reg <= phase_in-16'h80_00；

2'b11：phase_in_reg <= phase_in-16'hc0_00；

default：；

endcase

end

圖2 流水線CORDIC結構在流水結構中，給定初值x0=16′h4D_B9，y0=16′h0和z0=phase_in，經過16次迭代后得到sin θ和cos θ在第一象限中的值，然后恢復其整個周期的值，此稱為后處理。后處理的象限映射關系如表1所示。

3 仿真實驗

針對本文的DDS系統(tǒng)結構，編寫Verilog代碼，在 Quartus Ⅱ 9.0軟件環(huán)境下編譯生成硬件算法模塊。并利用Modelsimaltera 6.4軟件進行了功能仿真，通過改變頻率控制字來控制輸出信號的頻率。輸出波形如圖3所示。從仿真結果可見，這種基于CORDIC算法的流水型DDS是可行的，可以產生特性較好的波形。

頻率控制字為25時產生的波形進行誤差分析，見表2。誤差不超過5×10－4，精度相當高。由DDS原理可知，信號的輸出頻率為f0=fc2N×K，這里信號頻率fc=100 MHz，N為相位累加器位數，代碼中phase_in為16位，那么頻率分辨率為1 526 Hz。改率頻率控制字K，可以得到所需要頻率的信號。

4 結 語

本文設計了基于CORDIC算法的流水型DDS，它在硬件上實現(xiàn)時只需要移位器、加法器和減法器就可以產生高精度的正、余弦波形，尤其適合FPGA的實現(xiàn)。流水結構提高了數據的吞吐率，具有高精度、高速度、硬件資源消耗少等優(yōu)點，相對于傳統(tǒng)的查找表方法，CORDIC算法的流水型DDS具有明顯的優(yōu)勢和廣泛的運用前景。

參 考 文 獻

［1］ 王旭東，潘明海.數字信號處理的FPGA實現(xiàn)［M］.北京：清華大學出版社，2011.

［2］ 何偉，逯金濤，李偉，等.基于CORDIC改進算法的DDS設計［J］.電子技術應用，2011，37（1）：6567.

［3］ VOLDER J E. The CORDIC trigonometric computing technique ＼[J＼]. IRE Trans. on Electronic Computers， 1959， EC8（3）： 330334.

［4］ WALTHER J S. A unified algorithm for elementary functions ＼[C＼]// Proceeding of of Spring Joint Computer Conference. New York， NY， USA： SJCC， 1971： 379385.

［5］ VLADIMIROVA T， TIGGELER H. FPGA implementation of sine and cosine generators using the CORDIC algorithm ＼[J/OL＼]. ＼[20110630＼]. http：// wenku.baidu.com/view/6a53cb.

［6］ WASSATSCH A，DOLLING S. Area minimization of redundat CORDIC pipeline architectures ＼[C＼]// Proceedings of International Conference on Computer Design： VLSI in Computers and Processors. Austin， TX： ICCD， 1998： 136141.

［7］ 謝建華，阮圓.基于CORDIC 算法的流水線型DDS設計［J］.微計算機信息，2008，24（29）：286287.

［8］ 田書林，王厚軍.一種基于CORDIC算法的信號發(fā)生器技術研究［J］.儀器儀表學報，2002，23（5）：150153.

［9］ 車力，黨幼云.基于CORDIC算法的正余弦函數FPGA實現(xiàn)［J］.西安工程大學學報，2010，24（6）：805809.

［10］ 陳立功，宋學瑞，王鑫.改進的CORDIC模塊實現(xiàn)的直接數字頻率合成器［J］.計算機工程與應用，2010，46（17）：5759.

作者簡介： 江金濃 男，1986年出生，碩士研究生。研究方向為嵌入式系統(tǒng)設計及其數字信號處理。

謝擴軍 男，1965年出生，副教授。主要從事物理電子學方面的研究和等離子體物理方面的研究工作。