唐利民

長沙理工大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，湖南長沙410004

非線性最小二乘問題的不適定性及算法研究

唐利民

長沙理工大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，湖南長沙410004

非線性模型廣泛存在于測量平差、變形監(jiān)測及路面模量反算領(lǐng)域中。諸如導(dǎo)線測量中以待定點坐標為未知參數(shù)的角度觀測方程和邊長觀測方程，它們都是待定點坐標的非線性函數(shù)；GPS偽距測量中，衛(wèi)星至測站的幾何距離的觀測方程是測站點待定坐標的非線性函數(shù)；路基沉降變形分析與預(yù)測模型中，沉降量是關(guān)于時間的非線性函數(shù)；路面模量反算的模型也是非線性函數(shù)等。一般的，這些模型的求解均基于非線性最小二乘原理。針對工程應(yīng)用上的特點，研究非線性最小二乘問題的性質(zhì)和解算方法，具有重要的理論意義和實踐價值。

求解非線性最小二乘問題可能會存在不適定現(xiàn)象。不合適的原始問題的函數(shù)模型或者解算方法的選擇不當都有可能導(dǎo)致非線性最小二乘問題的求解失敗，特別是數(shù)值迭代算法中涉及迭代矩陣的求逆運算，而迭代矩陣的病態(tài)或奇異則會導(dǎo)致算法失敗。有必要根據(jù)不適定理論，研究非線性最小二乘的不適定現(xiàn)象，為解決非線性最小二乘在工程實際問題應(yīng)用中的局限性提供理論和方法支持。本文針對不適定非線性最小二乘問題的現(xiàn)狀和存在的問題進行了研究，主要內(nèi)容有以下幾點：

（1）論文分析求解非線性最小二乘問題的經(jīng)典數(shù)值迭代法，提出求解非線性最小二乘問題的數(shù)值迭代法的統(tǒng)一模型，在此基礎(chǔ)上對非線性最小二乘問題可能產(chǎn)生的兩種不適定性進行了分析，給出兩種不適定性的定義。并明確指出統(tǒng)一模型中迭代矩陣的求逆運算是產(chǎn)生第一種不適定現(xiàn)象的重要原因。

（2）由于迭代矩陣求逆會導(dǎo)致非線性最小二乘問題產(chǎn)生第一種不適定性，研究迭代矩陣的病態(tài)判據(jù)就顯得尤其重要。論文分析非線性最小二乘數(shù)值迭代算法中迭代矩陣的特性，結(jié)合一般病態(tài)矩陣判據(jù)理論，給出迭代矩陣的病態(tài)判據(jù)，并研究一種新的替代矩陣，此替代矩陣可以有效地降低迭代矩陣的條件數(shù)，為后續(xù)研究相關(guān)算法提供了理論基礎(chǔ)。

（3）由于Landweber迭代無需矩陣求逆，避免一般非線性最小二乘問題解算方法中由于矩陣求逆而產(chǎn)生的不適定現(xiàn)象，論文基于Landweber迭代理論，建立不適定非線性最小二乘的Landweber迭代算法，此算法無需迭代矩陣求逆即可有效收斂。

（4）論文結(jié)合同倫延拓和正則化方法，構(gòu)造一個穩(wěn)定泛函，建立非線性最小二乘問題正則同倫解算方法，對其迭代過程進行了詳細的推導(dǎo)。在該泛函中，正則參數(shù)可同時起到同倫參數(shù)的作用。由于正則同倫參數(shù)的存在，可以根據(jù)迭代矩陣病態(tài)特點選取不同的正則同倫參數(shù)值來避免和改善迭代矩陣在迭代過程中的病態(tài)性或奇異性。

（5）基于Tikhonov正則化原理，通過添加穩(wěn)定泛函項，結(jié)合修正高斯－牛頓法，論文還建立起Tikhonov正則化修正高斯－牛頓法，此方法可以有效改善迭代矩陣在迭代過程中的病態(tài)程度。

（6）通過對迭代矩陣添加一個正則化因子α來改善矩陣在迭代過程中的病態(tài)程度，論文建立了不適定非線性最小二乘問題的正則化牛頓迭代算法，給出算法迭代步驟。基于路基沉降泊松預(yù)測模型的計算實例表明，此算法在改善迭代矩陣病態(tài)性或奇異性的同時，也較普通牛頓迭代法具有更好的擬合曲線。

（7）介紹正則參數(shù)選擇策略的研究進展，并對7種正則化因子選擇方法作了簡單的介紹。論文根據(jù)不適定非線性最小二乘問題的特點，提出直接搜索法和區(qū)間劃分法這兩種確定正則化因子的方法，此方法非常便于計算機實現(xiàn)。

（8）結(jié)合計算機語言，開發(fā)出相應(yīng)的求解不適定非線性最小二乘問題算法的INLS工具箱，利用此工具箱，可以很方便的解算不適定的非線性最小二乘問題。

Research on the Ill－posed and Solving Methods of Nonlinear Least Squares Problem

TANG Limin
School of Traffic and Transportation Engineering，Changsha University of Science Technology，Changsha410004，China

his doctorate from School of Geosciences and Info－Physics，Central South University in June 2011.His research interests include meassuring data processing and nonlinear ill－posed problems.

P207

D

1001－1595（2012）01－0632－01

2011－07－05

唐利民（1978—），男，講師，2011年6月于中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院獲得大地測量學(xué)與測量工程博士學(xué)位（指導(dǎo)教師：朱建軍教授）。研究方向為測量數(shù)據(jù)處理、非線性的不適定問題。

E－mail：tlmttt＠163.com